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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 So 21.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Wir haben in der Vorlesung eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X als offen definiert, wenn für alle Elemente x der Teilmenge die [mm] \epsilon-Kugeln [/mm] um x auch in der Teilmenge A liegen.
Nun sagen wir, die leere Menge ist offen, da kein x in ihr liegt.
Aber wenn kein x in ihr liegt, dann gibt es kein x, dass die Bedingung für Offenheit erfüllen kann. Wie kann die leere Menge dann offen sein?
Dann sagen wir, dass die Menge X selbst auch offen ist, da jede Kugel Teilmenge ist.
Aber was ist z.B. mit den natürlichen Zahlen, also [mm] X=\IN [/mm] ?
Die Menge der natürlichen Zahlen bildet doch auch einen metrischen Raum, oder?
Aber eine Umgebung um 1 liegt doch nicht ganz in der Menge der natürlichen Zahlen, die Umgebung ist ja dann ein Intervall, in dem die 1 drin liegt, aber die Umgebung geht ja rechts und links neben der 1 noch weiter.
Und was links von der 1 ist, gehört doch aber nicht mehr zur Menge der natürlichen Zahlen, oder?
Also liegt eine Umgebung von 1 nicht ganz in der Menge der natürlichen Zahlen, somit kann die Menge doch nicht offen sein, oder?
LG Nadine
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Hallo Paca,
> Wir haben in der Vorlesung eine Teilmenge A eines
> metrischen Raumes X als offen definiert, wenn für alle
> Elemente x der Teilmenge die [mm]\epsilon-Kugeln[/mm] um x auch in
> der Teilmenge A liegen.
So habt ihr das bestimmt nicht definiert, sondern vielmehr, wenn EINE [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um x auch in der Teilmenge liegt.
> Nun sagen wir, die leere Menge ist offen, da kein x in ihr
> liegt.
>
> Aber wenn kein x in ihr liegt, dann gibt es kein x, dass
> die Bedingung für Offenheit erfüllen kann. Wie kann die
> leere Menge dann offen sein?
Da schau dir mal die genaue Definition von offen an mit seinen Quantoren, die besagt:
A offen [mm] $\gdw \forall{x\in{A}} \exists{\varepsilon>{0}} B_\varepsilon(x) \subset [/mm] A $
D.h. für ALLE x der Menge muss obige Definition gelten.
Natürlich gilt die Aussage nun für alle $x [mm] \in \emptyset$ [/mm] oder nicht?
> Dann sagen wir, dass die Menge X selbst auch offen ist, da
> jede Kugel Teilmenge ist.
>
> Aber was ist z.B. mit den natürlichen Zahlen, also [mm]X=\IN[/mm]
> ?
>
> Die Menge der natürlichen Zahlen bildet doch auch einen
> metrischen Raum, oder?
Joar.
>
> Aber eine Umgebung um 1 liegt doch nicht ganz in der Menge
> der natürlichen Zahlen, die Umgebung ist ja dann ein
> Intervall, in dem die 1 drin liegt, aber die Umgebung geht
> ja rechts und links neben der 1 noch weiter.
Korrekt.
Was heisst denn [mm] B_\varepsilon(1) \subset \IN [/mm] ?
Hier hilft es sich die Definition von Teilmenge anzuschauen, denn die besagt:
Alle Elemente von [mm] B_\varepsilon(1) [/mm] müssen auch in [mm] \IN [/mm] enthalten sein, die Menge [mm] B_\varepsilon(1) [/mm] bezogen auf die Obermenge [mm] \IN [/mm] (!!) enthält für [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$ aber NUR die 1.
D.h. eine Kugel um 1 in den Natürlichen Zahlen ist eigentlich von der Form [mm] $B_\varepsilon(1) \cap \IN$, [/mm] wenn du annimmst, dass [mm] B_\varepsilon(x) [/mm] ein Intervall in [mm] \IR [/mm] ist.
> Und was links von der 1 ist, gehört doch aber nicht mehr
> zur Menge der natürlichen Zahlen, oder?
Kommt drauf an, ob 0 bei euch enthalten ist in den natürlichen Zahlen oder nicht
> Also liegt eine Umgebung von 1 nicht ganz in der Menge der
> natürlichen Zahlen, somit kann die Menge doch nicht offen
> sein, oder?
Das kommt wie gesagt auf die Bezugsmenge an.
[mm] \IN [/mm] ist in [mm] \IN [/mm] natürlich offen, in [mm] \IR [/mm] aber nicht.
Ich hoffe das ist dir nun klar.
MFG,
Gono.
> LG Nadine
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