Offene Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Für alle A, B [mm] \subset \mathbb [/mm] R gilt:
Sind A [mm] \cup [/mm] B und B offen, so folgt A ist offen.
Sind [mm] A\B, B\A [/mm] und A [mm] \cap [/mm] B offen, so folgt B offen. |
Sind die Aussagen oben korrekt?
1) Ich denke das ist richtig, außer wenn A [mm] \subset [/mm] B ist, oder? Also wäre die Aussage insgesamt falsch?
2)Ich denke das trifft zu. Sind die Angaben [mm] A\B [/mm] und [mm] B\A [/mm] offen eigenltich gebraucht? Kann ein Durchschnitt nicht nur offen sein, wenn alle Mengen des Durchschnitts offen sind?
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Für alle A, B [mm]\subset \mathbb[/mm] R gilt:
> Sind A [mm]\cup[/mm] B und B offen, so folgt A ist offen.
> Sind [mm]A\B, B\A[/mm] und A [mm]\cap[/mm] B offen, so folgt B offen.
> Sind die Aussagen oben korrekt?
> 1) Ich denke das ist richtig, außer wenn A [mm]\subset[/mm] B ist,
> oder? Also wäre die Aussage insgesamt falsch?
ja. gib ein egenbeispiel an.
> 2)Ich denke das trifft zu.
genau. probiere $B$ als vereinigung zweier offener mengen darzustellen. (nebenbei wird vom TeX-editor dein mengendifferenzzeichen und die zweite menge verschluckt, da [mm] "$\setminus$" [/mm] einen befehl in LaTeX einleitet. klicke auf die nächste formel um zu sehen, wie man das dennoch darstellen kann $A [mm] \setminus [/mm] B$).
> Sind die Angaben [mm]A\B[/mm] und [mm]B\A[/mm]
> offen eigenltich gebraucht? Kann ein Durchschnitt nicht nur
> offen sein, wenn alle Mengen des Durchschnitts offen sind?
ja. betrachte $A = [-1, 1), [mm] \; [/mm] B = (0, 2]$ sind nicht offen, jedoch ist $A [mm] \cap [/mm] B$ offen in [mm] $\mathbb{R}$.
[/mm]
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Wimme |
probiere B als vereinigung zweier offener mengen darzustellen.
-> das zielt wohl schon auf meine nächste Frage ab. Ich würde nämlich zB gerne wissen wie man denn zweite Behauptung beweist. Allerdings kann ich mit deinem Tipp noch nichts anfangen :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
du hast doch laut voraussetzung drei offene mengen gegeben. was erhälst du, wenn du zwei von ihnen vereinigst (probiere doch mal alle drei kombinationen durch).
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:36 Di 06.11.2007 | | Autor: | Wimme |
A \ setminus B = [mm] \complement [/mm] A [mm] \cup [/mm] B
A [mm] \setminus [/mm] B [mm] \cup [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = A
B [mm] \setminus [/mm] A [mm] \cup [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = B
?
Ich sehe aber immer noch nicht, wie mich das im formalen Beweis weiter bringen soll :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Di 06.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
mit $(B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = B$ bist du doch schon fast fertig. was weißt du über die vereinigung von zwei offenen mengen? wenn dir da nicht direkt etwas einfällt, poste doch mal die definition von offener menge, die du kennst.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:26 Di 06.11.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
> darzustellen. (nebenbei wird vom TeX-editor dein
> mengendifferenzzeichen und die zweite menge verschluckt, da
> "[mm]\setminus[/mm]" einen befehl in LaTeX einleitet. klicke auf die
> nächste formel um zu sehen, wie man das dennoch darstellen
> kann [mm]A \setminus B[/mm]).
Ein kleiner Hinweis hierzu: man kann es auch mit \backslash machen [mm] :$A\backslash [/mm] B$. Das kann ich persönlich mir besser merken - und im Moment wüsste ich gar nicht, wofür denn "setminus" steht? ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Übrigens sollte man sich immer die Vorschau genau anschauen, bevor man einen Artikel sendet. Mir ist es schon öfter passiert, dass ich Fragen gelesen habe, in denen auch einiges verschluckt wurde, und ich mit der Frage nichts anfangen konnte. Da denkt man nicht immer direkt daran, dass da vllt jemand einen Backslash eingegeben hat... Manchmal fällt es gar nicht auf, weil ich die Frage dann gar nicht weiter lese, und manchmal fällt es mir dann auf, wenn ich dazu dann etwas schreibe und den Quelltext vor mir sehe...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
|
