Offene Menge konstruieren < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei 0 < [mm] \alpha [/mm] < 1 eine beliebige Zahl. Konstruieren Sie eine offene Menge [mm] U\subset [/mm] [0,1] mit [mm] \overline{U}=[0,1] [/mm] und mit [mm] \lambda_{1}(U)=\alpha [/mm] |
Also, U habe ich so konstruiert:
[mm] U=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i} [/mm] , wo [mm] A_{i} [/mm] bestehen aus [mm] 2^{i-1} [/mm] offenen Intervalen, diese Intervalen haben Zentren in [mm] c_{(i)}, [/mm] wo [mm] c_{(i)}= \bruch{2^{k}-1}{2^{i}}, 1\le [/mm] k [mm] \le [/mm] i
Und [mm] \lambda_{1}(A_{i})=\bruch{\alpha}{2^{i}}
[/mm]
So, [mm] A_{1} [/mm] besteht aus einem offenen Intervall mit Zentrum in [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und Länge [mm] \bruch{\alpha}{2}
[/mm]
[mm] A_{2} [/mm] besteht aus 2 Intervallen mit Zentren in [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und [mm] \bruch{3}{4}, \lambda_{1}(A_{2})=\bruch{\alpha}{2^{2}}, [/mm] also, Länge von Intervallen ist [mm] \bruch{\alpha}{2^{3}}
[/mm]
usw....
ist klar, dass [mm] U\subset [/mm] [0, 1] und [mm] \lambda_{1}(U)=\lambda_{1}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{\alpha}{2^{i}}=\alpha
[/mm]
Ich kann aber nicht Zeigen, dass [mm] \overline{U}=[0, [/mm] 1], also dass es kein x aus (0, 1) existiert, dass x [mm] \not\in [/mm] U
Im Fall [mm] \alpha\in\IZ [/mm] habe ich dass bewiesen. Aber [mm] \alpha\in\IR [/mm] klappt nicht
deswegen biete um Hilfe.
Danke im voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Mi 31.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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