Offene Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 So 07.12.2008 | | Autor: | InoX |
Also es ist ja bekannt, dass für [mm] (x_1,x_2)\in [0,1]\times [0,1] [/mm] die Menge [mm] (x_1,1]\times [0,1]\cup \{x_1\}\times (x_2,1] [/mm] nicht offen in [mm] [0,1]\times [0,1] [/mm] ist.
Um das zu beweisen, habe ich einfach mal den Punkt [mm] (x_1,1) [/mm] herrausgenommen und gezeigt, dass dieser keine offene Umgebung hat. Gibt es hierfür auch eine offensichtlichere herangehensweise, so dass man auf den ersten Blick erkennen kann, dass diese Menge nicht offen ist. Ich brauche das Resultat für einen Vortrag und wäre froh wenn mir jemand sagen könnte wie ich das den Zuhörern am besten klar machen kann.
Danke,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Also in [mm] $\IR^2$ [/mm] mit dem "Standart-Offenheitsbegriff" ist eine Menge [mm] $X\subset IR^2$ [/mm] genau dann offen, wenn [mm] $\pi_1(X)$ [/mm] und [mm] $\pi_2(X)$ [/mm] offen in $IR$ sind. Dabei sind [mm] $\pi_i$ [/mm] die natürlichen Projektionen auf die erste bzw. zweite Komponente.
In diesem Beispiel ist nämlich [mm] $\pi_2((x_1,1]\times [0,1]\cup \{x_1\}\times (x_2,1])=[x_1,1]$ [/mm] abgeschlossen (in [mm] $\IR$).
[/mm]
Gruß, Robert
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