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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:19 Sa 08.02.2014 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Wir parametrisieren die Einheitssphäre [mm] $S^2$ [/mm] bis auf eine [mm] $\omega^{S^2}$-Nullmenge [/mm] durch
$f: [mm] U:=]0,\pi[\times ]-\pi,\pi[\to V:=\{(x,y,z)\in S^2|y=0, x\leq 0\}$,
[/mm]
[mm] $f(\theta,\phi)=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$
[/mm]
Berechne [mm] $\omega^{S^2}(S^2)$. [/mm] |
Hi,
bevor ich meine Fragen stelle möchte ich nur das Beispiel vervollständigen:
...Wir berechnen [mm] $f^{\*}\sigma_{(\theta,\phi)}=f^{\*}(dx\otimes dx+dy\otimes dy+dz\otimes dz)=\cdots=d\theta\otimes d\theta+\sin^2\theta d\phi\otimes d\phi$.
[/mm]
Wegen [mm] $0<\theta <\pi$:
[/mm]
[mm] $\sqrt{\text{det}(f^{\*}\sigma)_{(\theta,\phi)}}=\sin\theta$
[/mm]
[mm] $\omega^{f^{\*}\sigma}_{(\theta,\phi)}=\sin\theta d\theta\wedge d\phi$
[/mm]
Integration liefert die Kugeloberfläche:
[mm] $\omega^{S^2}(S^2)=\omega^{S^2}(V)=\int_U\omega^{f^{\*}\sigma}=\int_{-\pi}^\pi\int_0^{\pi}\sin\theta d\theta d\phi=4\pi$
[/mm]
Also, ich hab noch ziemliche Schwierigkeiten mit dem Oberflächenmaß auf Untermannigfaltigkeiten [mm] $\omega_M(A)=\phi[\omega^{\phi^{\*}\sigma}]$, [/mm] wobei [mm] $\phi:U\to\phi[U]\subseteq [/mm] M$ eine Parametrisierung von $M$ bei [mm] $x\in\phi[U]$ [/mm] ist und [mm] $\omega^{\phi^{\*}\sigma}=\phi^{\*}\omega^{\sigma}$ [/mm] die mit [mm] $\phi$ [/mm] zurückgezogene Riemannsche Volumenform bzgl. Skalarprodukt ist: [mm] $\omega^{\sigma}=\sqrt{\text{det}(\sigma)}dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$.
[/mm]
allgemeine Frage: Wär super, wenn jemand mir erklären könnte wozu man diese Riemannsche Volumenform braucht und was die macht. Sie soll angeblich das Volumenelement in beliebigen krummlinigen Koordinaten sein. Das verstehe ich nicht.
Fragen zum Beispiel:
1. Warum ist $V$ so eingeschränkt? Die Parameterdefinitionsbereiche erzeugen doch (fast) die ganze Kugel? $V$ soll aber nur der Halbkreis in der $x-z$ Ebene sein?!
2. Ich akzeptier für den Moment dass [mm] $S^2$ [/mm] wirklich gleich $V$ ist. Hat er dann einfach [mm] $\omega_{S^2}(S^2)=f(\omega^{f^{\*}\sigma})(S^2)=\omega^{f^{\*}\sigma}(f^{-1}[V])=\int_{f^{-1}[V]}\omega^{f^{\*}\sigma}=\cdots$ [/mm] gerechnet?
Des wärs fürs erste. Am wichtigsten ist mir, dass ich meine Anschauung für Oberflächenmaße auf Untermannigfaltigkeiten verbessern kann.
Herzlichen Dank für die Hilfe,
nbt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 12.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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