Oberflächenintegrale < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Kuebi |
| Aufgabe | Sei [mm] \overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}) [/mm] das Vektorfeld mit [mm] \overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\vektor{xy\\0\\-yz}.
[/mm]
Berechnen Sie das Oberflächenintegral von [mm] \overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}) [/mm] über die Oberfläche eines Ellipsoids, für den gilt: 0 = (x,y,z; [mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}+\bruch{z^2}{c^2}=1) [/mm] mit Hilfe des Gaußschen Satzes.
(a,b,c ... orthogonale Halbachsen).
Welchen Wert nimmt das Integral für eine beliebige Fläche an?
Bestimmen Sie das für das Vektorfeld [mm] \overrightarrow{A_{2}}=\vektor{x\\y\\z} [/mm] das Oberflächenintegral über eine beliebige geschlossene Fläche. |
Hey ihr!
Zu obiger Aufgabe habe ich mir mal folgendes gedacht, wäre nett wenn ihr euren Senf  dazu geben könntet ...
Nach dem Gauß'schen Satz gilt ja, dass das Oberflächenintegral über eine geschlossene Fläche gleich dem Integral über das Volumen ist (O sei hier die Oberfläche, V das Ellipsoidvolumen)
Also [mm] \integral_{O}{\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}) dO}=\integral_{V}{div(\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})) dV}
[/mm]
[mm] div(\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})) [/mm] habe ich berechnet, das Ergebnis (überprüft mit Maple) ist [mm] div(\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r}))=0.
[/mm]
Daraus würde für das obige Integral folgen, dass es gleich 0 ist!?
Durchaus ein kompakte und sehr explizites Ergbnis, aber ist es auch richtig?
Für beliebige geschlossene Oberflächen wäre es ja folglicherweise auch 0, da sich [mm] div(\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})) [/mm] ja nicht ändert!?
Für den Teil mit [mm] \overrightarrow{A_{2}}(\overrightarrow{r}) [/mm] ...
Die Divergenz dieses Feldes ist ja [mm] div(\overrightarrow{A_{2}}(\overrightarrow{r}))=3. [/mm] Folglich ist [mm] \integral_{O}{\overrightarrow{A_{2}}(\overrightarrow{r}) dO}=\integral_{V}{div(\overrightarrow{A_{2}}(\overrightarrow{r})) dV}=3\integral_{V}{dV}
[/mm]
*!?*
Und wie kann ich eine beliebige Fläche ausdrücken, sodass das Integral verschwindet?
Vielen Dank für eure Hilfen und Korrekturen!
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Sa 20.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kuebi
1. Teil richtig
2.Teil
Gemeint ist wahrscheinlich einfach das Integral ausgeführt =eingeschlossenes Volumen
Gruss leduart
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