Oberflächenintegral Kugel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben seien die Menge B = {(x, y, z) ∈ R3 : ||(x, y, z)|| ≤ 4, z ≥ 0} und das Vektorfeld f : R3 → R3, f(x, y, z) = [mm] (x^2 [/mm] + y, 4yz, [mm] x^6 +y^6 [/mm] − 2xz). Bestimmen Sie [mm] \integral_{\partial B}^{}{f do} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich stecke gerade mitten in der Klausurvorbereitung und wäre für einen kleinen Ansatz bei oben genannter Aufgabe dankbar. Ich vermute mal Ich benötige eine Parametrisierung der Kugel, und bilde dann das Kurvenintegral 2. Art (soweit ich mich an die Vorlesung erinnere), jedoch hakt es bei mir da ein bisschen. Is das soweit schonmal richtig oder bin ich jetzt schon auf dem Holzweg?
Danke schonmal im Voraus
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> Gegeben seien die Menge B = {(x, y, z) ∈ R3 : ||(x,
> y, z)|| ≤ 4, z ≥ 0} und das Vektorfeld f : R3
> → R3, f(x, y, z) = [mm](x^2[/mm] + y, 4yz, [mm]x^6 +y^6[/mm] −
> 2xz). Bestimmen Sie [mm]\integral_{\partial B}^{}{f do}[/mm]
> Ich
> habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
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> Hallo,
> ich stecke gerade mitten in der Klausurvorbereitung und
> wäre für einen kleinen Ansatz bei oben genannter Aufgabe
> dankbar. Ich vermute mal Ich benötige eine Parametrisierung
> der Kugel,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zuerst muß man sich mal klarmachen, welche Menge die Menge B ist.
Mit "Kugel" (Radius =4) bist Du schon dicht dran - aber das ist nicht die ganze Kugel, sondern nur die halbe. Siehst Du das?
Mit [mm] \partial [/mm] B ist der Rand von B gemeint, also die Oberfläche der Halbkugel.
Diese setzt sich aus zwei Teilen zusammen: aus der Halbkugelschale, und unten wird sie duch eine Kreisfläche abgeschlossen.
Du hast es also mit zwei Flächen zu tun.
Für die Parametrisierung der Halbkugelfläche bieten sich Kugelkoordinaten an, der Radius R ist ja konstant 4.
Wenn Du Deine Parameterdarstellung [mm] \varphi(\Theta, \Phi) [/mm] hast bekommst Du das (vektorielle !) Flächenelement [mm] d\vec{\sigma} [/mm] so:=
[mm] d\vec{\sigma}= [/mm] ( [mm] \varphi_{\Theta} [/mm] x [mm] \varphi_{\Phi}) d\Theta d\Phi. [/mm]
Nun kann es eigentlich losgehen.
Für die Unterseite überlegst Du dann vielleicht erstmal selbst. Welche Koordinaten bieten sich hier an?
Gruß v. Angela
und bilde dann das Kurvenintegral 2. Art (soweit
> ich mich an die Vorlesung erinnere), jedoch hakt es bei mir
> da ein bisschen. Is das soweit schonmal richtig oder bin
> ich jetzt schon auf dem Holzweg?
>
> Danke schonmal im Voraus
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Ich vermute mal es handelt sich um eine Halbkugel, da die z Koordinate nur positiv sein kann und somit die untere Halbkugel wegfällt. Ich habe nun die Polarkoordinaten als Parametrisierung genommen und das Kreuzprodukt gebildet. [mm] \vektor{cos²(\alpha)*cos(\beta) \\ sin(\alpha)*cos(\alpha)*cos²(\beta) \\ sin(\alpha)*cos(\alpha)} [/mm]
ich nehme an nun muss ich die komponenten dieses Vektors in die jeweiligen Komponenten des Vektorfeldes einsetzen und anschließend Integrieren. Als Grenzen würde ich für [mm] \beta [/mm] [0, [mm] 2\pi] [/mm] nehmen, da der ein über die komplette Grundfläche integriert wird und für [mm] \alpha [/mm] [0, [mm] \pi/2] [/mm] da nur die obere Kugelhälfte integriert wird. jedoch kommt mir der zu integrierende Vektor ziemlich kompliziert vor, wenn man bedenkt, dass wir den per Hand ausrechnen müssen. Ist mein Ansatz soweit korrekt oder habe ich irgendwo einen Denkfehler bzw. gibt es vll noch einfachere Wege?.
Für die Grundfläche kann man das Integral ja Analog mit Polarkoordinaten bestimmen. Das Kreuzprodukt liefert dann
[mm] \vektor{-r \\ r } [/mm] welcher dann ebenfalls in die Gleichung für das Vektorfeld eingesetzt und Integriert werden müsste. Unklar ist mir dann aber noch wie ich die z Komponente mit einbringe. ich würde den Vektor mit der Komponente z=0 erweitern. Als Grenzen wähle ich dann für [mm] \phi [/mm] [0, [mm] 2\pi] [/mm] und r [0, R=4].
So und nun bin ich für Bemerkungen dankbar was ich alles falsch gemacht hätte und bitte um Verbesserungsvorschläge.
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> Ich vermute mal es handelt sich um eine Halbkugel, da die z
> Koordinate nur positiv sein kann und somit die untere
> Halbkugel wegfällt. Ich habe nun die Polarkoordinaten als
> Parametrisierung genommen und das Kreuzprodukt gebildet.
> [mm]\vektor{cos²(\alpha)*cos(\beta) \\ sin(\alpha)*cos(\alpha)*cos²(\beta) \\ sin(\alpha)*cos(\alpha)}[/mm]
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> ich nehme an nun muss ich die komponenten dieses Vektors in
> die jeweiligen Komponenten des Vektorfeldes einsetzen und
> anschließend Integrieren. Als Grenzen würde ich für [mm]\beta[/mm]
> [0, [mm]2\pi][/mm] nehmen, da der ein über die komplette
> Grundfläche integriert wird und für [mm]\alpha[/mm] [0, [mm]\pi/2][/mm] da
> nur die obere Kugelhälfte integriert wird. jedoch kommt mir
> der zu integrierende Vektor ziemlich kompliziert vor, wenn
> man bedenkt, dass wir den per Hand ausrechnen müssen. Ist
> mein Ansatz soweit korrekt oder habe ich irgendwo einen
> Denkfehler bzw. gibt es vll noch einfachere Wege?.
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> Für die Grundfläche kann man das Integral ja Analog mit
> Polarkoordinaten bestimmen. Das Kreuzprodukt liefert dann
>
> [mm]\vektor{-r \\ r }[/mm] welcher dann ebenfalls in die Gleichung
> für das Vektorfeld eingesetzt und Integriert werden müsste.
> Unklar ist mir dann aber noch wie ich die z Komponente mit
> einbringe. ich würde den Vektor mit der Komponente z=0
> erweitern. Als Grenzen wähle ich dann für [mm]\phi[/mm] [0, [mm]2\pi][/mm]
> und r [0, R=4].
>
> So und nun bin ich für Bemerkungen dankbar was ich alles
> falsch gemacht hätte und bitte um Verbesserungsvorschläge.
>
Hallo Skaterboy,
wenn du diese Aufgabe wirklich mit Oberflächenintegralen
(über die Halbkugelfläche und die Kreisfläche) durchführen
willst (oder gar musst, was ich eher nicht glauben mag),
dann wird es tatsächlich ziemlich lästig.
Ich vermute aber, dass man diese Aufgabe elegant durch
Anwendung des Gaußschen Integralsatzes lösen kann !
Dann hat man nämlich anstatt der verzwickten Flächen-
integrale nur noch ein recht simples Volumenintegral !
LG
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Hallo,
ich habe nun entsprechend des Satzes von Gauß die divergenz bestimmt:
div f =4z. Wie gehe ich nun vor? Ich habe bisher nur Aufgaben gehabt wo die divergenz von keiner variablen abhängig war und stehe nun ein wenig auf dem Schlauch. Ich kann ja nun nicht einfach das komplette Volumen der Halbkugel einsetzen, da ich dann ja noch über z Integrieren müsste. jedoch kann ich keine Grenzen für z angeben. wie muss ich da nun vorgehen?
und noch einmal eine Frage zu meinem ersten Ansatz mittels Oberflächenintegral: war dieser Weg so wie ich ihn beschritten habe mathematisch korrekt oder habe ich da auch Fehler eingebaut? da es sein kann dass ich eine Aufgabe mittels ersteren Weges lösen muss wäre es mir wichtig wenn mir jemand sagen könnte ob, und falls ja welche fehler ich gemacht habe.
Gruß
sk8terb0i
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> Hallo,
> ich habe nun entsprechend des Satzes von Gauß die
> divergenz bestimmt:
> div f =4z.
Hallo,
ich hab' das jetzt nicht nachgerechnet.
Ich würde nun in Kugelkoordinaten weitermachen.
Die Winkel kennst Du doch, und der Radius läuft zwischen 0 und 4.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
> ich habe nun entsprechend des Satzes von Gauß die
> divergenz bestimmt:
> div f =4z.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig !
> Wie gehe ich nun vor? Ich habe bisher nur
> Aufgaben gehabt wo die divergenz von keiner variablen
> abhängig war und stehe nun ein wenig auf dem Schlauch. Ich
> kann ja nun nicht einfach das komplette Volumen der
> Halbkugel einsetzen, da ich dann ja noch über z Integrieren
> müsste. jedoch kann ich keine Grenzen für z angeben. wie
> muss ich da nun vorgehen?
Da der Integrand so einfach ist und nur von z
abhängig ist, kann man das Volumenintegral
sofort auf ein einfaches Integral nach z reduzieren:
I = [mm] \integral_{z=0}^{4}4z*dV
[/mm]
dV ist dabei das Volumen einer in der Höhe z aus
der Kugel geschnittenen Scheibe der Dicke dz. Dieses
Volumen dV ist das Zylindervolumen (Radius = [mm] \wurzel{16-z^2},
[/mm]
Höhe = dz), also:
[mm] dV=\pi*Radius^2*dz=\pi*(16-z^2)*dz [/mm]
Damit wird I = [mm] \integral_{z=0}^{4}4z*\pi*(16-z^2)*dz [/mm] = [mm] 4\pi*\integral_{z=0}^{4}z*(16-z^2)*dz
[/mm]
Dies ist leicht zu berechnen !
LG
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Hallo,
daß Du Dir die Integralsätze zunutze machen kannst und wohl auch solltest, hat ja mein Vorredner schon gesagt.
> Ich vermute mal es handelt sich um eine Halbkugel, da die z
> Koordinate nur positiv sein kann und somit die untere
> Halbkugel wegfällt. Ich habe nun die Polarkoordinaten als
> Parametrisierung genommen und das Kreuzprodukt gebildet.
> [mm]\vektor{cos²(\alpha)*cos(\beta) \\ sin(\alpha)*cos(\alpha)*cos²(\beta) \\ sin(\alpha)*cos(\alpha)}[/mm]
Hier muß etwas schiefgegangen sein, die richtige Lösung wäre
[mm] \vektor{16sin²(\alpha)*cos(\beta) \\ 16sin^2(\alpha)sin(\beta) \\ 16sin(\alpha)*cos(\alpha)} =16sin(\alpha)*\varphi(\alpha, \beta)
[/mm]
Ich nehme an, daß Du beim Kreuzprodukt was falsch gemacht hast, und den Radius hast Du wohl unterschlagen.
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> ich nehme an nun muss ich die komponenten dieses Vektors in
> die jeweiligen Komponenten des Vektorfeldes einsetzen und
> anschließend Integrieren. Als Grenzen würde ich für [mm]\beta[/mm]
> [0, [mm]2\pi][/mm] nehmen, da der ein über die komplette
> Grundfläche integriert wird und für [mm]\alpha[/mm] [0, [mm]\pi/2][/mm] da
> nur die obere Kugelhälfte integriert wird.
Das weitere Vorgehen planst Du richtig.
> jedoch kommt mir
> der zu integrierende Vektor
Du hast keinen zu integrierenden Vektor mehr, denn im Integral steht ja ein Skalarprodukt.
> ziemlich kompliziert vor, wenn
> man bedenkt, dass wir den per Hand ausrechnen müssen.
Wenn Sinüsse im Spiel sind, kann man ja das Glück haben, daß sich vieles in Wohlgefallen auflöst, aber es kann auch sein, daß das wirklich ziemlich umständlich würde.
Wahrscheinlich sollst Du wirklich mit den Integralsätzen arbeiten.
> Für die Grundfläche kann man das Integral ja Analog mit
> Polarkoordinaten bestimmen. Das Kreuzprodukt liefert dann
>
> [mm]\vektor{-r \\ r }[/mm]
Oh, Vorsicht!. Erstens ist das Kreuzprodukt nicht im Zweidimensionalen definiert.
Zweitens bist Du im Dreidimensionalen, kommst also mit ebenen Polarkoordinaten nicht aus.
Zylinderkoordinaten wären hier das Richtige, und z=0.
welcher dann ebenfalls in die Gleichung
> für das Vektorfeld eingesetzt und Integriert werden müsste.
> Unklar ist mir dann aber noch wie ich die z Komponente mit
> einbringe.
Ah, gut, das Problem ist Dir schon aufgefallen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Do 02.10.2008 | | Autor: | sk8terb0i |
Vielen Dank, ich denke ich habe das nun soweit verstanden, ihr habt mir wirklich sehr geholfen!
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