Oberflächenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Di 17.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | $ f(x,y) = \bruch{xy}{x^2+y^2+1} $
Berechnen Sie das Oberflächenintegral für den Integrationsbereich
$ B = \{\vec{x}=\vektor{x \\ y}|x > 0, y > 0, ||\vec{x}||_1 <1\} $ |
Gemeint ist hier die Summennorm. Also ist der Integrationsbereich zwischen x = 0 bis x = 1 und y = 0 bis y = 1 - x
$ I = \integral_{x=0}^{1}{\integral_{y=0}^{1-x}{\bruch{xy}{x^2+y^2+1} dy} dx} = \integral_{x=0}^{1}{\bruch{1}{2}\left[x ln (x^2+y^2+1)\right]_{y=0}^{1-x} dx = \bruch{1}{2} \integral_{x=0}^{1}{x ln (2x^2-2x+2) - x ln (x^2+1) dx} $
Also so weit bin ich gekommen. Dann wird es übelst fies.
Bei dem zweiten Summanden könnte man ja noch 0.5 rausziehen und g' f(g(x)) also Substitution anwenden. Beim ersten allerdings komme ich nicht weiter. Partielle Integration macht alles nur komplizierter und Substituieren scheint auch schwierig.
Habe ich mich vertan, oder gibt es vielleicht eine Regel, die ich hier zum finden der Stammfunktion anwenden könnte, an die ich nicht gedacht habe?
Danke :)
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Hallo BarneyS,
> [mm]f(x,y) = \bruch{xy}{x^2+y^2+1}[/mm]
>
> Berechnen Sie das Oberflächenintegral für den
> Integrationsbereich
>
> [mm]B = \{\vec{x}=\vektor{x \\ y}|x > 0, y > 0, ||\vec{x}||_1 <1\}[/mm]
>
> Gemeint ist hier die Summennorm. Also ist der
> Integrationsbereich zwischen x = 0 bis x = 1 und y = 0 bis
> y = 1 - x
>
> [mm]I = \integral_{x=0}^{1}{\integral_{y=0}^{1-x}{\bruch{xy}{x^2+y^2+1} dy} dx} = \integral_{x=0}^{1}{\bruch{1}{2}\left[x ln (x^2+y^2+1)\right]_{y=0}^{1-x} dx = \bruch{1}{2} \integral_{x=0}^{1}{x ln (2x^2-2x+2) - x ln (x^2+1) dx} [/mm]
>
> Also so weit bin ich gekommen. Dann wird es übelst fies.
>
> Bei dem zweiten Summanden könnte man ja noch 0.5
> rausziehen und g' f(g(x)) also Substitution anwenden. Beim
> ersten allerdings komme ich nicht weiter. Partielle
> Integration macht alles nur komplizierter und Substituieren
> scheint auch schwierig.
>
> Habe ich mich vertan, oder gibt es vielleicht eine Regel,
> die ich hier zum finden der Stammfunktion anwenden könnte,
> an die ich nicht gedacht habe?
Die Formel für das Oberflächenintegral lautet doch:
[mm]\integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{ \wurzel{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\ dx} \ dy}[/mm]
>
> Danke :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 17.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo BarneyS,
>
> > [mm]f(x,y) = \bruch{xy}{x^2+y^2+1}[/mm]
> >
> > Berechnen Sie das Oberflächenintegral für den
> > Integrationsbereich
> >
> > [mm]B = \{\vec{x}=\vektor{x \\ y}|x > 0, y > 0, ||\vec{x}||_1 <1\}[/mm]
>
> >
> > Gemeint ist hier die Summennorm. Also ist der
> > Integrationsbereich zwischen x = 0 bis x = 1 und y = 0 bis
> > y = 1 - x
> >
> > [mm]I = \integral_{x=0}^{1}{\integral_{y=0}^{1-x}{\bruch{xy}{x^2+y^2+1} dy} dx} = \integral_{x=0}^{1}{\bruch{1}{2}\left[x ln (x^2+y^2+1)\right]_{y=0}^{1-x} dx = \bruch{1}{2} \integral_{x=0}^{1}{x ln (2x^2-2x+2) - x ln (x^2+1) dx}[/mm]
>
> >
> > Also so weit bin ich gekommen. Dann wird es übelst fies.
> >
> > Bei dem zweiten Summanden könnte man ja noch 0.5
> > rausziehen und g' f(g(x)) also Substitution anwenden. Beim
> > ersten allerdings komme ich nicht weiter. Partielle
> > Integration macht alles nur komplizierter und Substituieren
> > scheint auch schwierig.
> >
> > Habe ich mich vertan, oder gibt es vielleicht eine Regel,
> > die ich hier zum finden der Stammfunktion anwenden könnte,
> > an die ich nicht gedacht habe?
>
>
> Die Formel für das Oberflächenintegral lautet doch:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{ \wurzel{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\ dx} \ dy}[/mm]
>
>
> >
> > Danke :)
>
>
> Gruss
> MathePower
Hm, das kenne ich nicht so.
Gesucht ist hier das Volumen zwischen der Fläche und den Funktionswerten. In der Vorlesung hieß das bei uns Integration über kartesische krummlinige Bereiche und ich habe das analog zu den Beispielen im Skript gemacht. Ich bin eigentlich sicher, dass der Ansatz richtig ist...
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Hallo BarneyS,
> > Hallo BarneyS,
> >
> > > [mm]f(x,y) = \bruch{xy}{x^2+y^2+1}[/mm]
> > >
> > > Berechnen Sie das Oberflächenintegral für den
> > > Integrationsbereich
> > >
> > > [mm]B = \{\vec{x}=\vektor{x \\ y}|x > 0, y > 0, ||\vec{x}||_1 <1\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Gemeint ist hier die Summennorm. Also ist der
> > > Integrationsbereich zwischen x = 0 bis x = 1 und y = 0 bis
> > > y = 1 - x
> > >
> > > [mm]I = \integral_{x=0}^{1}{\integral_{y=0}^{1-x}{\bruch{xy}{x^2+y^2+1} dy} dx} = \integral_{x=0}^{1}{\bruch{1}{2}\left[x ln (x^2+y^2+1)\right]_{y=0}^{1-x} dx = \bruch{1}{2} \integral_{x=0}^{1}{x ln (2x^2-2x+2) - x ln (x^2+1) dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also so weit bin ich gekommen. Dann wird es übelst fies.
> > >
> > > Bei dem zweiten Summanden könnte man ja noch 0.5
> > > rausziehen und g' f(g(x)) also Substitution anwenden. Beim
> > > ersten allerdings komme ich nicht weiter. Partielle
> > > Integration macht alles nur komplizierter und Substituieren
> > > scheint auch schwierig.
> > >
> > > Habe ich mich vertan, oder gibt es vielleicht eine Regel,
> > > die ich hier zum finden der Stammfunktion anwenden könnte,
> > > an die ich nicht gedacht habe?
> >
> >
> > Die Formel für das Oberflächenintegral lautet doch:
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{ \wurzel{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\ dx} \ dy}[/mm]
>
> >
> >
> > >
> > > Danke :)
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Hm, das kenne ich nicht so.
>
> Gesucht ist hier das Volumen zwischen der Fläche und den
> Funktionswerten. In der Vorlesung hieß das bei uns
> Integration über kartesische krummlinige Bereiche und ich
> habe das analog zu den Beispielen im Skript gemacht. Ich
> bin eigentlich sicher, dass der Ansatz richtig ist...
Angenommen, der Ansatz ist richtig. Dann ist die Integration nach y
und Einsetzen der Grenzen für y auch richtig. Um das entstehende
Integral dann zu lösen kannst Du z.B. die partielle Integration verwenden.
Poste daher Deine weiteren Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Di 17.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo BarneyS,
>
> > > Hallo BarneyS,
> > >
> > > > [mm]f(x,y) = \bruch{xy}{x^2+y^2+1}[/mm]
> > > >
> > > > Berechnen Sie das Oberflächenintegral für den
> > > > Integrationsbereich
> > > >
> > > > [mm]B = \{\vec{x}=\vektor{x \\ y}|x > 0, y > 0, ||\vec{x}||_1 <1\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Gemeint ist hier die Summennorm. Also ist der
> > > > Integrationsbereich zwischen x = 0 bis x = 1 und y = 0 bis
> > > > y = 1 - x
> > > >
> > > > [mm]I = \integral_{x=0}^{1}{\integral_{y=0}^{1-x}{\bruch{xy}{x^2+y^2+1} dy} dx} = \integral_{x=0}^{1}{\bruch{1}{2}\left[x ln (x^2+y^2+1)\right]_{y=0}^{1-x} dx = \bruch{1}{2} \integral_{x=0}^{1}{x ln (2x^2-2x+2) - x ln (x^2+1) dx}[/mm]
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> >
> > >
> > > >
> > > > Also so weit bin ich gekommen. Dann wird es übelst fies.
> > > >
> > > > Bei dem zweiten Summanden könnte man ja noch 0.5
> > > > rausziehen und g' f(g(x)) also Substitution anwenden. Beim
> > > > ersten allerdings komme ich nicht weiter. Partielle
> > > > Integration macht alles nur komplizierter und Substituieren
> > > > scheint auch schwierig.
> > > >
> > > > Habe ich mich vertan, oder gibt es vielleicht eine Regel,
> > > > die ich hier zum finden der Stammfunktion anwenden könnte,
> > > > an die ich nicht gedacht habe?
> > >
> > >
> > > Die Formel für das Oberflächenintegral lautet doch:
> > >
> > > [mm]\integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{ \wurzel{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\ dx} \ dy}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > >
> > > > Danke :)
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Hm, das kenne ich nicht so.
> >
> > Gesucht ist hier das Volumen zwischen der Fläche und den
> > Funktionswerten. In der Vorlesung hieß das bei uns
> > Integration über kartesische krummlinige Bereiche und ich
> > habe das analog zu den Beispielen im Skript gemacht. Ich
> > bin eigentlich sicher, dass der Ansatz richtig ist...
>
>
> Angenommen, der Ansatz ist richtig. Dann ist die
> Integration nach y
> und Einsetzen der Grenzen für y auch richtig. Um das
> entstehende
> Integral dann zu lösen kannst Du z.B. die partielle
> Integration verwenden.
>
> Poste daher Deine weiteren Rechenschritte.
>
>
> Gruss
> MathePower
:) Er ist richtig^^
(Wenn du mir nicht glaubst, poste ich den Teil aus dem Skript... :) )
Also erstmal der rechte Teil:
$ [mm] \integral [/mm] {x ln [mm] (x^2+1) [/mm] dx} = [mm] \bruch{1}{2}\integral [/mm] {2x ln [mm] (x^2+1) [/mm] dx} $
$ u = [mm] x^2+1 [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{2} \integral [/mm] {ln(u) du} = [mm] \bruch{1}{2}(u [/mm] ln(u)-u) = [mm] \bruch{1}{2}((x^2+1)ln(x^2+1)-(x^2+1)) [/mm] $
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 17.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
> > Hallo BarneyS,
> >
> > > > Hallo BarneyS,
> > > >
> > > > > [mm]f(x,y) = \bruch{xy}{x^2+y^2+1}[/mm]
> > > > >
> > > > > Berechnen Sie das Oberflächenintegral für den
> > > > > Integrationsbereich
> > > > >
> > > > > [mm]B = \{\vec{x}=\vektor{x \\ y}|x > 0, y > 0, ||\vec{x}||_1 <1\}[/mm]
>
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> > > >
> > > > >
> > > > > Gemeint ist hier die Summennorm. Also ist der
> > > > > Integrationsbereich zwischen x = 0 bis x = 1 und y = 0 bis
> > > > > y = 1 - x
> > > > >
> > > > > [mm]I = \integral_{x=0}^{1}{\integral_{y=0}^{1-x}{\bruch{xy}{x^2+y^2+1} dy} dx} = \integral_{x=0}^{1}{\bruch{1}{2}\left[x ln (x^2+y^2+1)\right]_{y=0}^{1-x} dx = \bruch{1}{2} \integral_{x=0}^{1}{x ln (2x^2-2x+2) - x ln (x^2+1) dx}[/mm]
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> > > > > Also so weit bin ich gekommen. Dann wird es übelst fies.
> > > > >
> > > > > Bei dem zweiten Summanden könnte man ja noch 0.5
> > > > > rausziehen und g' f(g(x)) also Substitution anwenden. Beim
> > > > > ersten allerdings komme ich nicht weiter. Partielle
> > > > > Integration macht alles nur komplizierter und Substituieren
> > > > > scheint auch schwierig.
> > > > >
> > > > > Habe ich mich vertan, oder gibt es vielleicht eine Regel,
> > > > > die ich hier zum finden der Stammfunktion anwenden könnte,
> > > > > an die ich nicht gedacht habe?
> > > >
> > > >
> > > > Die Formel für das Oberflächenintegral lautet doch:
> > > >
> > > > [mm]\integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{ \wurzel{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\ dx} \ dy}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Danke :)
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> > > Hm, das kenne ich nicht so.
> > >
> > > Gesucht ist hier das Volumen zwischen der Fläche und den
> > > Funktionswerten. In der Vorlesung hieß das bei uns
> > > Integration über kartesische krummlinige Bereiche und ich
> > > habe das analog zu den Beispielen im Skript gemacht. Ich
> > > bin eigentlich sicher, dass der Ansatz richtig ist...
> >
> >
> > Angenommen, der Ansatz ist richtig. Dann ist die
> > Integration nach y
> > und Einsetzen der Grenzen für y auch richtig. Um das
> > entstehende
> > Integral dann zu lösen kannst Du z.B. die partielle
> > Integration verwenden.
> >
> > Poste daher Deine weiteren Rechenschritte.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> :) Er ist richtig^^
>
> (Wenn du mir nicht glaubst, poste ich den Teil aus dem
> Skript... :) )
>
> Also erstmal der rechte Teil:
>
> [mm]\integral {x ln (x^2+1) dx} = \bruch{1}{2}\integral {2x ln (x^2+1) dx}[/mm]
>
> [mm]u = x^2+1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral {ln(u) du} = \bruch{1}{2}(u ln(u)-u) = \bruch{1}{2}((x^2+1)ln(x^2+1)-(x^2+1))[/mm]
Linker Teil:
Stammfunktion von $ x ln [mm] (2x^2-2x+2) [/mm] $
Partielle Integration:
$u= ln [mm] (2x^2-2x+2), u'=\bruch{x-1}{x^2-x+1}, [/mm] v'=x, [mm] v=\bruch{1}{2}x^2 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] uv- [mm] \integral {\bruch{x-1}{x^2-x+1}\left(\bruch{1}{2}\right)x^2 dx} [/mm] $
Betrachte nur das Integral (0.5 rausgezogen):
$ [mm] \integral {\bruch{x^3-x^2}{x^2-x+1} dx} [/mm] = [mm] \integral {x-\bruch{x}{x^2-x+1}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x^2-\integral {\bruch{x}{x^2-x+1}dx} [/mm] $
Und jetzt komme ich nicht weiter. Wie finde ich die Stammfunktion von $ [mm] \bruch{x}{x^2-x+1} [/mm] $ ?
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Hallo BarneyS,
> > > Hallo BarneyS,
> > >
> > > > > Hallo BarneyS,
> > > > >
> > > > > > [mm]f(x,y) = \bruch{xy}{x^2+y^2+1}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Berechnen Sie das Oberflächenintegral für den
> > > > > > Integrationsbereich
> > > > > >
> > > > > > [mm]B = \{\vec{x}=\vektor{x \\ y}|x > 0, y > 0, ||\vec{x}||_1 <1\}[/mm]
>
> >
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> > > > > >
> > > > > > Gemeint ist hier die Summennorm. Also ist der
> > > > > > Integrationsbereich zwischen x = 0 bis x = 1 und y = 0 bis
> > > > > > y = 1 - x
> > > > > >
> > > > > > [mm]I = \integral_{x=0}^{1}{\integral_{y=0}^{1-x}{\bruch{xy}{x^2+y^2+1} dy} dx} = \integral_{x=0}^{1}{\bruch{1}{2}\left[x ln (x^2+y^2+1)\right]_{y=0}^{1-x} dx = \bruch{1}{2} \integral_{x=0}^{1}{x ln (2x^2-2x+2) - x ln (x^2+1) dx}[/mm]
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> > > > > > Also so weit bin ich gekommen. Dann wird es übelst fies.
> > > > > >
> > > > > > Bei dem zweiten Summanden könnte man ja noch 0.5
> > > > > > rausziehen und g' f(g(x)) also Substitution anwenden. Beim
> > > > > > ersten allerdings komme ich nicht weiter. Partielle
> > > > > > Integration macht alles nur komplizierter und Substituieren
> > > > > > scheint auch schwierig.
> > > > > >
> > > > > > Habe ich mich vertan, oder gibt es vielleicht eine Regel,
> > > > > > die ich hier zum finden der Stammfunktion anwenden könnte,
> > > > > > an die ich nicht gedacht habe?
> > > > >
> > > > >
> > > > > Die Formel für das Oberflächenintegral lautet doch:
> > > > >
> > > > > [mm]\integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{ \wurzel{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\ dx} \ dy}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Danke :)
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
> > > >
> > > > Hm, das kenne ich nicht so.
> > > >
> > > > Gesucht ist hier das Volumen zwischen der Fläche und den
> > > > Funktionswerten. In der Vorlesung hieß das bei uns
> > > > Integration über kartesische krummlinige Bereiche und ich
> > > > habe das analog zu den Beispielen im Skript gemacht. Ich
> > > > bin eigentlich sicher, dass der Ansatz richtig ist...
> > >
> > >
> > > Angenommen, der Ansatz ist richtig. Dann ist die
> > > Integration nach y
> > > und Einsetzen der Grenzen für y auch richtig. Um
> das
> > > entstehende
> > > Integral dann zu lösen kannst Du z.B. die partielle
> > > Integration verwenden.
> > >
> > > Poste daher Deine weiteren Rechenschritte.
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > :) Er ist richtig^^
> >
> > (Wenn du mir nicht glaubst, poste ich den Teil aus dem
> > Skript... :) )
> >
> > Also erstmal der rechte Teil:
> >
> > [mm]\integral {x ln (x^2+1) dx} = \bruch{1}{2}\integral {2x ln (x^2+1) dx}[/mm]
>
> >
> > [mm]u = x^2+1[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{2} \integral {ln(u) du} = \bruch{1}{2}(u ln(u)-u) = \bruch{1}{2}((x^2+1)ln(x^2+1)-(x^2+1))[/mm]
>
> Linker Teil:
> Stammfunktion von [mm]x ln (2x^2-2x+2)[/mm]
>
> Partielle Integration:
>
> [mm]u= ln (2x^2-2x+2), u'=\bruch{x-1}{x^2-x+1}, v'=x, v=\bruch{1}{2}x^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow uv- \integral {\bruch{x-1}{x^2-x+1}\left(\bruch{1}{2}\right)x^2 dx}[/mm]
>
> Betrachte nur das Integral (0.5 rausgezogen):
>
> [mm]\integral {\bruch{x^3-x^2}{x^2-x+1} dx} = \integral {x-\bruch{x}{x^2-x+1}dx} = \bruch{1}{2}x^2-\integral {\bruch{x}{x^2-x+1}dx}[/mm]
>
> Und jetzt komme ich nicht weiter. Wie finde ich die
> Stammfunktion von [mm]\bruch{x}{x^2-x+1}[/mm] ?
Nun, da mußt Du zuerst eine Partialbruchzerlegung druchführen,
bevor Du die Stammfunktion ermitteln kannst.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Di 17.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo BarneyS,
>
> > > > Hallo BarneyS,
> > > >
> > > > > > Hallo BarneyS,
> > > > > >
> > > > > > > [mm]f(x,y) = \bruch{xy}{x^2+y^2+1}[/mm]
> > > > > >
> >
> > > > > > > Berechnen Sie das Oberflächenintegral für den
> > > > > > > Integrationsbereich
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]B = \{\vec{x}=\vektor{x \\ y}|x > 0, y > 0, ||\vec{x}||_1 <1\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Gemeint ist hier die Summennorm. Also ist der
> > > > > > > Integrationsbereich zwischen x = 0 bis x = 1 und y = 0 bis
> > > > > > > y = 1 - x
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]I = \integral_{x=0}^{1}{\integral_{y=0}^{1-x}{\bruch{xy}{x^2+y^2+1} dy} dx} = \integral_{x=0}^{1}{\bruch{1}{2}\left[x ln (x^2+y^2+1)\right]_{y=0}^{1-x} dx = \bruch{1}{2} \integral_{x=0}^{1}{x ln (2x^2-2x+2) - x ln (x^2+1) dx}[/mm]
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> > > > > > > Also so weit bin ich gekommen. Dann wird es übelst fies.
> > > > > > >
> > > > > > > Bei dem zweiten Summanden könnte man ja noch 0.5
> > > > > > > rausziehen und g' f(g(x)) also Substitution anwenden. Beim
> > > > > > > ersten allerdings komme ich nicht weiter. Partielle
> > > > > > > Integration macht alles nur komplizierter und Substituieren
> > > > > > > scheint auch schwierig.
> > > > > > >
> > > > > > > Habe ich mich vertan, oder gibt es vielleicht eine Regel,
> > > > > > > die ich hier zum finden der Stammfunktion anwenden könnte,
> > > > > > > an die ich nicht gedacht habe?
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Die Formel für das Oberflächenintegral lautet doch:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{ \wurzel{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\ dx} \ dy}[/mm]
>
> >
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> > > > >
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> > > > > > >
> > > > > > > Danke :)
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Gruss
> > > > > > MathePower
> > > > >
> > > > > Hm, das kenne ich nicht so.
> > > > >
> > > > > Gesucht ist hier das Volumen zwischen der Fläche und den
> > > > > Funktionswerten. In der Vorlesung hieß das bei uns
> > > > > Integration über kartesische krummlinige Bereiche und ich
> > > > > habe das analog zu den Beispielen im Skript gemacht. Ich
> > > > > bin eigentlich sicher, dass der Ansatz richtig ist...
> > > >
> > > >
> > > > Angenommen, der Ansatz ist richtig. Dann ist die
> > > > Integration nach y
> > > > und Einsetzen der Grenzen für y auch richtig. Um
> > das
> > > > entstehende
> > > > Integral dann zu lösen kannst Du z.B. die
> partielle
> > > > Integration verwenden.
> > > >
> > > > Poste daher Deine weiteren Rechenschritte.
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> > > :) Er ist richtig^^
> > >
> > > (Wenn du mir nicht glaubst, poste ich den Teil aus dem
> > > Skript... :) )
> > >
> > > Also erstmal der rechte Teil:
> > >
> > > [mm]\integral {x ln (x^2+1) dx} = \bruch{1}{2}\integral {2x ln (x^2+1) dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]u = x^2+1[/mm]
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{2} \integral {ln(u) du} = \bruch{1}{2}(u ln(u)-u) = \bruch{1}{2}((x^2+1)ln(x^2+1)-(x^2+1))[/mm]
>
> >
> > Linker Teil:
> > Stammfunktion von [mm]x ln (2x^2-2x+2)[/mm]
> >
> > Partielle Integration:
> >
> > [mm]u= ln (2x^2-2x+2), u'=\bruch{x-1}{x^2-x+1}, v'=x, v=\bruch{1}{2}x^2[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow uv- \integral {\bruch{x-1}{x^2-x+1}\left(\bruch{1}{2}\right)x^2 dx}[/mm]
>
> >
> > Betrachte nur das Integral (0.5 rausgezogen):
> >
> > [mm]\integral {\bruch{x^3-x^2}{x^2-x+1} dx} = \integral {x-\bruch{x}{x^2-x+1}dx} = \bruch{1}{2}x^2-\integral {\bruch{x}{x^2-x+1}dx}[/mm]
>
> >
> > Und jetzt komme ich nicht weiter. Wie finde ich die
> > Stammfunktion von [mm]\bruch{x}{x^2-x+1}[/mm] ?
>
>
> Nun, da mußt Du zuerst eine Partialbruchzerlegung
> druchführen,
> bevor Du die Stammfunktion ermitteln kannst.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ok, und wie geht das, wenn der Nenner keine reellen Nullstellen hat?
Ich denke da gerade schon ne Weile drüber nach, aber mir fällt kein Weg ein, den Bruch zu modifizieren, so dass irgendeine Methode greift...
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Hallo BarneyS,
>
> >
> > >
> > > Betrachte nur das Integral (0.5 rausgezogen):
> > >
> > > [mm]\integral {\bruch{x^3-x^2}{x^2-x+1} dx} = \integral {x-\bruch{x}{x^2-x+1}dx} = \bruch{1}{2}x^2-\integral {\bruch{x}{x^2-x+1}dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und jetzt komme ich nicht weiter. Wie finde ich die
> > > Stammfunktion von [mm]\bruch{x}{x^2-x+1}[/mm] ?
> >
> >
> > Nun, da mußt Du zuerst eine Partialbruchzerlegung
> > druchführen,
> > bevor Du die Stammfunktion ermitteln kannst.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Ok, und wie geht das, wenn der Nenner keine reellen
> Nullstellen hat?
>
> Ich denke da gerade schon ne Weile drüber nach, aber mir
> fällt kein Weg ein, den Bruch zu modifizieren, so dass
> irgendeine Methode greift...
Zerlege den Bruch zunächst so:
[mm]\bruch{Ableitung \ Nenner}{Nenner}+\bruch{Rest}{Nenner}[/mm]
Das erstere Integral ist Dir sicherlich bekannt.
Das zweite Integral gestaltet sich hier etwas schwieriger.
Wende hier zunächst quadratische Ergänzung auf den Nenner an.
Wähle dann die entsprechende Substitution.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 17.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo BarneyS,
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> > >
> > > >
> > > > Betrachte nur das Integral (0.5 rausgezogen):
> > > >
> > > > [mm]\integral {\bruch{x^3-x^2}{x^2-x+1} dx} = \integral {x-\bruch{x}{x^2-x+1}dx} = \bruch{1}{2}x^2-\integral {\bruch{x}{x^2-x+1}dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Und jetzt komme ich nicht weiter. Wie finde ich die
> > > > Stammfunktion von [mm]\bruch{x}{x^2-x+1}[/mm] ?
> > >
> > >
> > > Nun, da mußt Du zuerst eine Partialbruchzerlegung
> > > druchführen,
> > > bevor Du die Stammfunktion ermitteln kannst.
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Ok, und wie geht das, wenn der Nenner keine reellen
> > Nullstellen hat?
> >
> > Ich denke da gerade schon ne Weile drüber nach, aber mir
> > fällt kein Weg ein, den Bruch zu modifizieren, so dass
> > irgendeine Methode greift...
>
>
> Zerlege den Bruch zunächst so:
>
> [mm]\bruch{Ableitung \ Nenner}{Nenner}+\bruch{Rest}{Nenner}[/mm]
>
> Das erstere Integral ist Dir sicherlich bekannt.
>
> Das zweite Integral gestaltet sich hier etwas schwieriger.
> Wende hier zunächst quadratische Ergänzung auf den
> Nenner an.
> Wähle dann die entsprechende Substitution.
>
>
> Gruss
> MathePower
ok, der linke Teil ist klar.
der rechte Teil ergibt dann:
[mm] $-\bruch{x-1}{(x-\bruch{1}{2})^2+\bruch{3}{4}} [/mm] $
Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich substituieren soll?
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Hallo BarneyS,
> > Hallo BarneyS,
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Betrachte nur das Integral (0.5 rausgezogen):
> > > > >
> > > > > [mm]\integral {\bruch{x^3-x^2}{x^2-x+1} dx} = \integral {x-\bruch{x}{x^2-x+1}dx} = \bruch{1}{2}x^2-\integral {\bruch{x}{x^2-x+1}dx}[/mm]
>
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> > > > > Und jetzt komme ich nicht weiter. Wie finde ich die
> > > > > Stammfunktion von [mm]\bruch{x}{x^2-x+1}[/mm] ?
> > > >
> > > >
> > > > Nun, da mußt Du zuerst eine Partialbruchzerlegung
> > > > druchführen,
> > > > bevor Du die Stammfunktion ermitteln kannst.
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> > > Ok, und wie geht das, wenn der Nenner keine reellen
> > > Nullstellen hat?
> > >
> > > Ich denke da gerade schon ne Weile drüber nach, aber mir
> > > fällt kein Weg ein, den Bruch zu modifizieren, so dass
> > > irgendeine Methode greift...
> >
> >
> > Zerlege den Bruch zunächst so:
> >
> > [mm]\bruch{Ableitung \ Nenner}{Nenner}+\bruch{Rest}{Nenner}[/mm]
>
> >
> > Das erstere Integral ist Dir sicherlich bekannt.
> >
> > Das zweite Integral gestaltet sich hier etwas schwieriger.
> > Wende hier zunächst quadratische Ergänzung auf den
> > Nenner an.
> > Wähle dann die entsprechende Substitution.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> ok, der linke Teil ist klar.
>
> der rechte Teil ergibt dann:
>
> [mm]-\bruch{x-1}{(x-\bruch{1}{2})^2+\bruch{3}{4}}[/mm]
>
Ich hatte vergessen zu schreiben, daß ein Vorfaktor k
so gewählt werden muß, daß der lineare Anteil des
Zählers gleich dem k-fachen der Ableitung des Nenners ist.
> Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich substituieren
> soll?
Dann hast Du für das rechte Integral nur noch
[mm]\bruch{Konstante}{(x-\bruch{1}{2})^2+\bruch{3}{4}}[/mm]
Dann liegt hier die Substitution
[mm]x-\bruch{1}{2}=\bruch{\wurzel{3}}{2}*\tan\left(t\right)[/mm]
nahe.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:20 Di 17.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo BarneyS,
>
> > > Hallo BarneyS,
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Betrachte nur das Integral (0.5 rausgezogen):
> > > > > >
> > > > > > [mm]\integral {\bruch{x^3-x^2}{x^2-x+1} dx} = \integral {x-\bruch{x}{x^2-x+1}dx} = \bruch{1}{2}x^2-\integral {\bruch{x}{x^2-x+1}dx}[/mm]
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> > > > > >
> > > > > > Und jetzt komme ich nicht weiter. Wie finde ich die
> > > > > > Stammfunktion von [mm]\bruch{x}{x^2-x+1}[/mm] ?
> > > > >
> > > > >
> > > > > Nun, da mußt Du zuerst eine Partialbruchzerlegung
> > > > > druchführen,
> > > > > bevor Du die Stammfunktion ermitteln kannst.
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
> > > >
> > > > Ok, und wie geht das, wenn der Nenner keine reellen
> > > > Nullstellen hat?
> > > >
> > > > Ich denke da gerade schon ne Weile drüber nach, aber mir
> > > > fällt kein Weg ein, den Bruch zu modifizieren, so dass
> > > > irgendeine Methode greift...
> > >
> > >
> > > Zerlege den Bruch zunächst so:
> > >
> > > [mm]\bruch{Ableitung \ Nenner}{Nenner}+\bruch{Rest}{Nenner}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das erstere Integral ist Dir sicherlich bekannt.
> > >
> > > Das zweite Integral gestaltet sich hier etwas schwieriger.
> > > Wende hier zunächst quadratische Ergänzung auf den
> > > Nenner an.
> > > Wähle dann die entsprechende Substitution.
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > ok, der linke Teil ist klar.
> >
> > der rechte Teil ergibt dann:
> >
> > [mm]-\bruch{x-1}{(x-\bruch{1}{2})^2+\bruch{3}{4}}[/mm]
> >
>
>
> Ich hatte vergessen zu schreiben, daß ein Vorfaktor k
> so gewählt werden muß, daß der lineare Anteil des
> Zählers gleich dem k-fachen der Ableitung des Nenners
> ist.
>
>
> > Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich substituieren
> > soll?
>
>
> Dann hast Du für das rechte Integral nur noch
>
> [mm]\bruch{Konstante}{(x-\bruch{1}{2})^2+\bruch{3}{4}}[/mm]
>
> Dann liegt hier die Substitution
>
> [mm]x-\bruch{1}{2}=\bruch{\wurzel{3}}{2}*\tan\left(t\right)[/mm]
>
> nahe.
>
>
> Gruss
> MathePower
Alter Schwede^^ und das ist dann $ [mm] cos^2(t) [/mm] $ ...
Ich glaub jetzt habe ich es.
Aber bevor ich mir jetzt die Mühe mache und alles rückwärts zusammensetze, können wir nochmal über den Ansatz reden?
Hier: http://i53.tinypic.com/a3pili.jpg ist ein Auszug aus unserem Skript. Dort wird es genauso gemacht, was ist denn daran nicht richtig?
Hier nochmal als Bild:
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
du gibst an, Urheber eures Skriptes zu sein.
Das kommt mir sehr spanisch bis vorsätzlich gelogen vor, daher habe ich den Auszug gesperrt.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Di 17.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
Hey, sorry, da habe ich nicht drüber nachgedacht.
Selbstverständlich bin ich nicht der Urheber, sondern ich habe nur den Screen Shot selbst gemacht.
Kann ich das irgendwie nachträglich ändern? Es war wirklich nicht meine Absicht, hier falsche Angaben zu machen. Welchen Nutzen sollte ich auch davon haben?
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Hallo nochmal,
> Hey, sorry, da habe ich nicht drüber nachgedacht.
>
> Selbstverständlich bin ich nicht der Urheber, sondern ich
> habe nur den Screen Shot selbst gemacht.
>
> Kann ich das irgendwie nachträglich ändern? Es war
> wirklich nicht meine Absicht, hier falsche Angaben zu
> machen.
Ja, kein Ding, ist ja schnell passiert. Wollte ich dir auch nicht unterstellen ...
Nur müssen wir uns ja auch schützen ...
> Welchen Nutzen sollte ich auch davon haben?
Wenn das Skript frei (ohne account an der Uni o.ä.) aufrufbar ist, kannst du es ja verlinken ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Di 17.05.2011 | | Autor: | BarneyS |
So weit ich weiß, ist es nicht online verfügbar.
Ich habe ja auch noch einen Link zum Screen Shot in meiner Frage.
Soll ich den auch rausnehmen?
...Würde aber wirklich gerne eine Antwort auf die Frage haben^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 20.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Di 17.05.2011 | | Autor: | MathePower |
Hallo BarneyS,
> > Angenommen, der Ansatz ist richtig. Dann ist die
> > Integration nach y
> > und Einsetzen der Grenzen für y auch richtig. Um das
> > entstehende
> > Integral dann zu lösen kannst Du z.B. die partielle
> > Integration verwenden.
> >
> > Poste daher Deine weiteren Rechenschritte.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> :) Er ist richtig^^
>
> (Wenn du mir nicht glaubst, poste ich den Teil aus dem
> Skript... :) )
Ich glaube Dir, dass dies der richtige Ansatz ist.
>
> Also erstmal der rechte Teil:
>
> [mm]\integral {x ln (x^2+1) dx} = \bruch{1}{2}\integral {2x ln (x^2+1) dx}[/mm]
>
> [mm]u = x^2+1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral {ln(u) du} = \bruch{1}{2}(u ln(u)-u) = \bruch{1}{2}((x^2+1)ln(x^2+1)-(x^2+1))[/mm]
>
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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