Oberflächenelement in Kugelkoo < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Di 31.08.2010 | | Autor: | Adri_an |
| Aufgabe | | Schreiben Sie das Oberflächenelement [mm]d\vec{a}[/mm] von [mm]S=\{\vec{r}\in \IR^3:|\vec{r}|=r_o\}[/mm] in Kugelkoordinaten, d.h. mithilfe der Variablen [mm]r,\theta,\phi[/mm] der Differentiale [mm] d\theta, d\phi [/mm] und der normierten Einheitsvektoren [mm]\vec{e}_r,\vec{e}_{\theta},\vec{e}_{\phi}[/mm] |
Grob gesagt, verstehe ich die Aufgabe so: Ein Vektor soll mittels der in der Aufgabenstellung genannten Basisvektoren dargestellt werden. Richtig?
Das Oberflächenelement ist definiert als [mm]\vec{e}_n da[/mm] , wobei [mm]\vec{e}_n[/mm] ein zur Oberfläche senkrechter Einheitsvektor ist. Aber das hilft mir auch nicht weiter.
Würde mich über jeden Tipp/Idee freuen. Lieben Gruß, Adrian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Di 31.08.2010 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Schreiben Sie das Oberflächenelement [mm]d\vec{a}[/mm] von
> [mm]S=\{\vec{r}\in \IR^3:|\vec{r}|=r_o\}[/mm] in Kugelkoordinaten,
> d.h. mithilfe der Variablen [mm]r,\theta,\phi[/mm] der Differentiale
> [mm]d\theta, d\phi[/mm] und der normierten Einheitsvektoren
> [mm]\vec{e}_r,\vec{e}_{\theta},\vec{e}_{\phi}[/mm]
> Grob gesagt, verstehe ich die Aufgabe so: Ein Vektor soll
> mittels der in der Aufgabenstellung genannten Basisvektoren
> dargestellt werden. Richtig?
Im Prinzip ja.
>
> Das Ober flächenelement ist definiert als [mm]\vec{e}_n da[/mm] ,
> wobei [mm]\vec{e}_n[/mm] ein zur Oberfläche senkrechter
> Einheitsvektor ist. Aber das hilft mir auch nicht weiter.
Manche Körper haben verschiedene Flächenelemente (z.B. der Zylinder), deshalb halte ich es für besser wenn man nicht von Oberflächen- sondern nur von Flächenelement spricht.
Bei dieser Aufgabe soll also das Flächenelement einer Kugel bestimmt werden.
Du hast ja schon richtig gesagt, dass wir einen Vektor senkrecht zur Oberfläche brauchen.
Die "Variable" r ist ja nach Voraussetzung konstant, es bleiben also noch [mm] $\theta$ [/mm] und [mm] $\phi$ [/mm]
ein infinitessimales Flächenelement wird also durch Variation dieser beiden Variablen aufgespannt. Die Richtung dieser Variation geschieht entweder nach:
[mm] $\frac{\partial\vec{r}}{\partial\theta}$ [/mm] oder [mm] $\frac{\partial\vec{r}}{\partial\phi}$
[/mm]
Wir brauchen jetzt also einen Vektor der senkrecht auf denen beiden steht.
Kennst Du vielleicht einen? 
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Mi 01.09.2010 | | Autor: | Adri_an |
Verstehe ich dich richtig: Der Ortsvektor [mm]\vec{r}[/mm] ist in dieser Aufgabe eine Funktion, die von [mm]\theta, \phi[/mm] abhängt, also mehrdimensional ist und eine Funktion, die eine Kugeloberfläche bei Variation obiger Parameter beschreibt.
Dann wären dies zwei sogenannte Tangentialvektoren:
[mm]\frac{\partial\vec{r}}{\partial\theta}=:\vec{r}_{\theta}[/mm], [mm]\frac{\partial\vec{r}}{\partial\phi}=:\vec{r}_{\phi}[/mm].
Sie spannen eine zur Kugeloberfläche tangentiale Ebene auf. Um den Einheitsvektor zu finden, der zur Kugeloberfläche senkrecht steht, muss ich das Vektorprodukt
[mm]\vec{e}_n=\bruch{\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}}{|\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}|}[/mm]
ausrechnen. Was ist aber dann [mm]da[/mm]?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Mi 01.09.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Verstehe ich dich richtig: Der Ortsvektor [mm]\vec{r}[/mm] ist in
> dieser Aufgabe eine Funktion, die von [mm]\theta, \phi[/mm]
> abhängt, also mehrdimensional ist und eine Funktion, die
> eine Kugeloberfläche bei Variation obiger Parameter
> beschreibt.
Genau. Das ist eine Parametrisierung einer Kugeloberflaeche. Im Allgemeinen hat man ja sowas wie
[mm]\renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\theta}{\vartheta} \varphi(r,\vartheta,\phi) = \begin{pmatrix} r\sin\theta\cos\phi \\
r\sin\theta\cos\phi \\
r\cos\theta \end{pmatrix}[/mm]
Und wenn wir jetzt [mm]r=r_0=\text{const}[/mm] setzen, beschreiben wir damit eine Kugeloberflaeche.
>
> Dann wären dies zwei sogenannte Tangentialvektoren:
> [mm]\frac{\partial\vec{r}}{\partial\theta}=:\vec{r}_{\theta}[/mm],
> [mm]\frac{\partial\vec{r}}{\partial\phi}=:\vec{r}_{\phi}[/mm].
>
Genau.
> Sie spannen eine zur Kugeloberfläche tangentiale Ebene
> auf.
Ja, und wenn wir das infinitesimal machen wollen, kommt dabei
[mm]\vec{r}_\vartheta \,\mathrm{d}\vartheta[/mm] und [mm]\vec{r}_\varphi\,\mathrm{d}\varphi[/mm] bei raus.
>Um den Einheitsvektor zu finden, der zur
> Kugeloberfläche senkrecht steht, muss ich das
> Vektorprodukt
>
> [mm]\vec{e}_n=\bruch{\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}}{|\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}|}[/mm]
>
> ausrechnen.
Genau, und du wirst dich wundern, was dabei rauskommt...
>Was ist aber dann [mm]da[/mm]?
Meinst du damit den Betrag des Oberflaechenelements oder das vektorielle Oberflaechenelement, das senkrecht zur Tangentialebene steht, und als Betrag die Obeflaeche hat?
Das eine ist
[mm]\mathrm{d}\vec{A} = \vec{r}_\vartheta \times \vec{r}_\varphi \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\vartheta[/mm]
also das Vektorielle.
Das 'Skalare' Oberflaechenelement ist einfach
[mm]\mathrm{d}A = |\vec{r}_\vartheta \times \vec{r}_\varphi|\,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\vartheta[/mm]
Hilft dir das weiter?
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 02.09.2010 | | Autor: | Adri_an |
Ich verstehe es immernoch nicht. Was ist [mm]da[/mm]?
Ich hatte oben geschrieben, dass
[mm]d\vec{a}=\vec{e}_n\cdot da =\bruch{\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}}{|\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}|}\cdot da[/mm]
Wie kommst du (Kroni) darauf, dass [mm]da=|\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}|d\theta d\phi[/mm] ist? Es ergibt für mich irgendwie keinen Sinn.
Auf jeden Fall habe ich die partiellen Ableitungen und das Vektorprodukt mit [mm]\vec{r}=\varphi[/mm] ausgerechnet:
[mm]\vec{r}_{\theta}=\vec{e}_1(r_0 cos\theta cos\phi)+\vec{e}_2(r_0 cos\theta sin\phi)+\vec{e}_3(-r_0sin\theta) [/mm]
[mm]\vec{r}_{\phi}=\vec{e}_1(-r_0 sin\theta sin\phi)+\vec{e}_2(r_0 sin\theta cos\phi)[/mm]
[mm]\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}=\vmat{\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\\r_0 cos\theta cos\phi&r_0 cos\theta sin\phi&-r_0sin\theta\\-r_0 sin\theta sin\phi& r_0sin\theta cos\phi&0}=\vec{e}_1(r_0^2 cos\phi sin^2\theta)+\vec{e}_2(r_0^2 sin^2 sin\phi)+\vec{e}_3(r_0^2 cos\theta sin\theta)[/mm]
Zudem den Betrag
[mm]|\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}|= r_0^2 |sin\theta|[/mm].
Damit erhalte ich zwei Einheitsvektoren, die senkrecht auf der Oberfläche von S stehen:
Für [mm]0<\theta<\pi[/mm] ist [mm]\vec{e}_n=\vec{e}_r[/mm].
Für [mm]\pi<\theta<2\pi[/mm] ist [mm]\vec{e}_n=-\vec{e}_r[/mm].
Ist das die Lösung der Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Fr 03.09.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Ich verstehe es immernoch nicht. Was ist [mm]da[/mm]?
[mm] $\mathrm{d}a$ [/mm] ist das skalare Oberflaechenelement, das dir angibt, wie 'gross' das (infinitesimale) Oberflaechenelement ist, dir aber nichts ueber die Richtung aussagt.
>
> Ich hatte oben geschrieben, dass
>
> [mm]d\vec{a}=\vec{e}_n\cdot da =\bruch{\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}}{|\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}|}\cdot da[/mm]
Genau. Das ist das vektorielle Oberflaechenelement, dessen Betrag dir sagt, wie gross die Flaeche in Flaecheneinheiten ist. Wenn du den Betrag berechnest, kommst du ja auch genau darauf, dass es [mm] $\mathrm{d}a$ [/mm] ist.
>
>
> Wie kommst du (Kroni) darauf, dass
> [mm]da=|\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}|d\theta d\phi[/mm] ist?
Weil das die Definition dafuer ist. Das Kreuzprodukt gibt dir ja genau an, wie gross der Flaecheninhalt des von [mm] $\vec{r}_\vartheta$ [/mm] und [mm] $\vec{r}_\varphi$ [/mm] aufgespannten Parallelogramms ist, was man dann als die 'Flaeche' definiert. In karthesischen Koordinaten ist dann ja beispielsweise alles senkrecht aufeinander, die Betraege sind gleich $1$, so dass dan [mm] $\mathrm{d}a [/mm] = [mm] \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ [/mm] rauskommt.
Die [mm] $\mathrm{d}\vartheta \, \mathrm{d}\varphi$ [/mm] kommen ja noch daher, dass das ja meine Parameter sind, die mir die Flaeche erst beschreiben.
Das kann man sich dann so vorstellen:
Nehemen wir an, wir haben eine $2$dimensionale Ebene gegeben, wobei wir die $x$-Achse [mm] $\varphi$ [/mm] und die $y$-Achse [mm] $\vartheta$ [/mm] nennen.
Dann ist auf der sicherlich, weil dort ja alles schoen rechtwinklig ist, ein infinitesimales Flachenelement durch [mm] $\mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\vartheta$ [/mm] gegeben.
Da die Kugel, auf der wir das ganze berechnen, aber nicht mehr so schoen kartesisch ist, ist das Oberflaechenelment eben nicht mehr ohne weiteres das Produkt aus den beiden Differentialen, sondern man muss es noch skalieren. Als den Skalierungsfaktor hat man sich dann den Betrag des Kreuzproduktes hergenommen, weil das eben genau der Flaecheninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogrammes entspricht.
> Es ergibt für mich irgendwie keinen Sinn.
Nochmal anders:
Wir haben
[mm] $\mathrm{d}\vec{a} [/mm] = [mm] \frac{\vec{r}_\vartheta \times \vec{r}_\varphi}{| \vec{r}_\vartheta \times \vec{r}_\varphi|} \,\mathrm{d}A$ [/mm]
da sagt dir vorne der normierte Vektor aus, dass er ein Einheitsvektor in Richtung der Normalen ist, also senkrecht auf der Tangentialebene steht. Das ist also genau dein [mm] $\vec{e}_n$, [/mm] den wir haben wollen. Das gibt dir dann die Richtung an, in der dein Flaechenvektor steht.
Wir wollen aber auch, dass [mm] $|\mathrm{d}\vec{a}| [/mm] = [mm] \mathrm{d}a$ [/mm] ist, also den Betrag der Flaeche angibt.
Wenn wir den Ausdruck von oben hernehmen:
[mm] $\mathrm{d}\vec{a} [/mm] = [mm] \vec{e}_n \mathrm{d}a$, [/mm] und den Betrag bilden, sehen wir sicher, dass der Betrag des Vektors gleich [mm] $\mathrm{d}a$ [/mm] ist.
Jetzt stellen wir uns die Frage, wie gross dann das Flaechenelement betragsmaessig ist, weil wir ja die Richtungsfrage mit dem normierten Kreuzprodukt beantwortet haben.
Dass die Flaeche sicherlich proportional zu [mm] $\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta$ [/mm] ist, ist 'intuitiv' klar.
Da wir aber nicht mehr auf einer kartesischen Oberflaeche leben, sondern eine gekruemmte Oberflaeche haben, brauchen wir noch einen Skalierungsfaktor davor.
Und weil nun der Betrag des Kreuzproduktes uns den Flaecheninhalt des von den Tangentialvektoren aufgespannten Parallelogrammes gibt, nehmen wir das als Definition der 'Oberflaeche' her. Also:
[mm] $\mathrm{d}a [/mm] = [mm] |\vec{r}_\vartheta \times \vec{r}_\varphi| \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\vartheta$.
[/mm]
Alternativ kann man auch ueber Metriken gehen und das ganze etwas mehr 'Differentialgeoemetrisch' betrachten, aber das ist hier mit den Kreuzprodukten genau so gut (geht aber leider nur im [mm] $\mathbbm{R}^3$.
[/mm]
Das zeigt, dass wir also zwischen dem 'skalaren' Oberflaechenelement und dem vektoriellen Oberflaechenelement unterscheiden.
Warum unterscheidet man die?
Das skalare kann man benutzen, um einfach den Betrag einer Oberflaeche zu berechnen. So kann man zB von einer Kugeloberflaeche den Betrag durch Integration ueber [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\vartheta$ [/mm] zu [mm] $4\pi [/mm] r$ bestimmen.
Das Vektorielle Oberflaechenelement kann nutzelich sein, wenn man irgendwelche Divergenzen ausrechnen will, man das auf ein Oberflaechenintegral zurueckfuehrt, indem dann expilzit
[mm] $\int \vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{a}$ [/mm] steht, denn wenn dann zB [mm] $\vec{A}$ [/mm] nicht senkrecht auf der Oberflaeche steht, bekommt man hierdurch sofort den Anteil des Vektors heraus, der senkrecht auf der Oberflache steht, der uns also interessiert.
Ich hoffe, dass die Definition nun etwas klarer geworden ist. Es ist nun halt etwas Schreibsache, was man genau meint, ob skalar oder vektoriell. Schreibt man dann zB
[mm] $\mathrm{d}\vec{a} [/mm] = [mm] \frac{\vec{r}_\vartheta \times \vec{r}_\varphi}{|\vec{r}_\vartheta \times \vec{r}_\varphi|} \,\mathrm{d}a$ [/mm] mit der obigen Def. von [mm] $\mathrm{d}a$ [/mm] aus, so kommt sofrot
[mm] $\mathrm{d}\vec{a} [/mm] = [mm] \vec{r}_\vartheta \times \vec{r}_\varphi \mathrm{d}\varphi [/mm] , [mm] \mathrm{d}\vartheta$ [/mm] raus.
>
> Auf jeden Fall habe ich die partiellen Ableitungen und das
> Vektorprodukt mit [mm]\vec{r}=\varphi[/mm] ausgerechnet:
Ist da ein TeX-Fehler? Warum [mm] $\vec{r} [/mm] = [mm] \varphi$?
[/mm]
>
> [mm]\vec{r}_{\theta}=\vec{e}_1(r_0 cos\theta cos\phi)+\vec{e}_2(r_0 cos\theta sin\phi)+\vec{e}_3(-r_0sin\theta)[/mm]
>
> [mm]\vec{r}_{\phi}=\vec{e}_1(-r_0 sin\theta sin\phi)+\vec{e}_2(r_0 sin\theta cos\phi)[/mm]
>
> [mm]\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}=\vmat{\vec{e}_1&\vec{e}_2&\vec{e}_3\\
r_0 cos\theta cos\phi&r_0 cos\theta sin\phi&-r_0sin\theta\\
-r_0 sin\theta sin\phi& r_0sin\theta cos\phi&0}=\vec{e}_1(r_0^2 cos\phi sin^2\theta)+\vec{e}_2(r_0^2 sin^2 sin\phi)+\vec{e}_3(r_0^2 cos\theta sin\theta)[/mm]
>
> Zudem den Betrag
>
> [mm]|\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{\phi}|= r_0^2 |sin\theta|[/mm].
Genau.
>
> Damit erhalte ich zwei Einheitsvektoren, die senkrecht auf
> der Oberfläche von S stehen:
>
> Für [mm]0<\theta<\pi[/mm] ist [mm]\vec{e}_n=\vec{e}_r[/mm].
>
> Für [mm]\pi<\theta<2\pi[/mm] ist [mm]\vec{e}_n=-\vec{e}_r[/mm].
Da muss man aufpassen:
[mm] $\vartheta$ [/mm] ist doch eigentlich sowieso nur zwischen $0$ und [mm] $\pi$ [/mm] definiert. Von daher existiert eigentlich nur einer.
Man kann aber auch ueber die Richtung des Oberflaechenelementes reden, weil es einmal nach aussen zeigen kann und einmal nach 'innen', quasi in die Kugel rein.
Welche Vorzeichen man waehlt, haengt von der gewuenschten Orientierung der Oberflaeche ab, denn man kann sie einmal so orientieren, dass der Flaechennormalenvektor nach aussen zeigt (was er in deinem Fall macht, wenn man [mm] $+\vec{e}_r$ [/mm] waehlt, oder dass er nach innen zeigt, was er macht, wenn man [mm] $-\vec{e}_r$ [/mm] waehlt.
>
>
> Ist das die Lösung der Aufgabe?
Ja. Weil du dann gezeigt hast, dass
[mm] $\mathrm{d}\vec{a} [/mm] = [mm] r^2 \sin\vartheta \vec{e}_r \mathrm{d}\vartheta \,\mathrm{d}\varphi$ [/mm] gilt und [mm] $\mathrm{d}a [/mm] = [mm] r^2\sin\vartheta \mathrm{d}\vartheta\,\mathrm{d}\varphi$.
[/mm]
Ich hoffe, es ist nun etwas klarer.
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Adri_an |
Danke für die Bemühungen es mir zu erklären Kroni !!! Ja, mir war nicht klar, dass es noch eine Definition für das skalare Oberflächenelement gibt.
> Warum [mm]\vec{r}=\varphi[/mm]?
Das habe ich wohl etwas schlecht formuliert in meinem Artikel, ich meinte:
Auf jeden Fall habe ich die partiellen Ableitungen [mm]\vec{r}_{\theta}[/mm] und [mm]\vec{r}_{\phi}[/mm] mit [mm]\vec{r}=\varphi[/mm] ausgerechnet. Habe deine Parametrisierung einfach umbenannt, weil es ja vorher schon so dastand :).
Ich habe etwas von dir gelernt und freue mich darüber! Nochmals danke!
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