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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Mi 18.01.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Oberfläche des Hyperboloids $ [mm] -x^2-y^2+z^2=1, [/mm] \ \ \ \ \ [mm] 1\le [/mm] z<2 $
Rotationsfläche: [mm] h(t,\phi)=(\wurzel{t^2-1}*cos(\phi),\wurzel{t^2-1}*sin(\phi),t) [/mm] |
Hallo!
Das ganze rotiert um die z-Achse, also muss ich doch [mm] -x^2-y^2+z^2=1 [/mm] erstmal nach z umstellen und habe dann eine Funktion f(z).
Soweit richtig? Dann ist
[mm] f(z)=\wurzel{1+x^2+y^2}
[/mm]
Kann ich daraus jetzt eine Funktion f(t) machen, indem ich x und y aus der Parametrisierung einsetze und das dann in die Formel für Rotationsflächen einsetze oder bin ich da auf dem Holzweg?
Danke schonmal!
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mi 18.01.2012 | | Autor: | chesn |
ne das war quatsch..
Es wäre dann [mm] f(z)=\wurzel{z^2-1} [/mm] oder ist das auch müll?
Blicke in Differentialgeometrie einfach nicht durch.. wäre nett wenn mich jemand auf die Sprünge hilft.
Danke schonmal!
Gruß
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mi 18.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Fläche ist dir doch schon in parametrisierter Form gegeben, also rechne doch mit den dazu natürlichen Koordinaten.
wie man damit flächen berechnet sollte in deinem skript oder Buch stehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Fr 20.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Naja, es wäre schön wenn man das was im Skript steht auch direkt anwenden könnte..
Also ich denke mal 1 [mm] \le [/mm] z < 2 sind meine Integrationsgrenzen?!
Jetzt ist [mm] h(t,\phi) [/mm] die Parametrisierung der Fläche und [mm] g(t,\phi) [/mm] die Gramsche Determinante, dann gilt für das Obeflächenintegral:
[mm] A=\integral_{1}^{2}\integral_{1}^{2}{f(h(t,\phi))*\wurzel{g(t,\phi)} \ \ d(t,\phi)}
[/mm]
oder habe ich da was falsch verstanden?
Meine Frage ist jetzt, wie ich darauf komme, was hier f ist. Der Rest ist ja kein Problem. Muss ich dazu [mm] -x^2-y^2+z^2=1 [/mm] irgendwie umstellen (unter berücksichtigung, dass z die Rotationsachse ist) und dann aus der Parametrisierung einsetzen? Ist meine Funktion dann f(z) oder f(x,y)?
Vielen Dank schonmal! :)
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 20.01.2012 | | Autor: | chesn |
Ach nee.. das ist der Flächeninhalt der erzeugenden Fläche, ich brauch hier für die Oberfläche:
[mm] M=2*\pi*\integral_{1}^{2}{f(x)*(f'(x))^2 dx}
[/mm]
Angenommen in meinem Fall wäre es richtig (das weiss ich ja noch nicht) mit einer Funktion f(x,y) zu arbeiten, dann hätte ich:
[mm] M=2*\pi*\integral_{1}^{2}{f(x,y)*(f(x,y)')^2 \ dx \ dy}
[/mm]
oder lieg ich total daneben?
Gruß chesn
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> Hallo!
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> Naja, es wäre schön wenn man das was im Skript steht auch
> direkt anwenden könnte..
>
> Also ich denke mal 1 [mm]\le[/mm] z < 2 sind meine
> Integrationsgrenzen?!
>
> Jetzt ist [mm]h(t,\phi)[/mm] die Parametrisierung der Fläche und
> [mm]g(t,\phi)[/mm] die Gramsche Determinante, dann gilt für das
> Obeflächenintegral:
>
> [mm]A=\integral_{1}^{2}\integral_{1}^{2}{f(h(t,\phi))*\wurzel{g(t,\phi)} \ \ d(t,\phi)}[/mm]
>
> oder habe ich da was falsch verstanden?
>
> Meine Frage ist jetzt, wie ich darauf komme, was hier f
> ist. Der Rest ist ja kein Problem. Muss ich dazu
> [mm]-x^2-y^2+z^2=1[/mm] irgendwie umstellen (unter
> berücksichtigung, dass z die Rotationsachse ist) und dann
> aus der Parametrisierung einsetzen? Ist meine Funktion dann
> f(z) oder f(x,y)?
>
> Vielen Dank schonmal! :)
>
> Gruß
> chesn
Hallo chesn,
ich weiß nicht, ob du die gegebene Parametrisierung
verwenden musst. Es geht aber schon auch mit der
einzigen Integrationsvariablen z. Dazu musst du die
Gleichung in die Form $\ r=f(z)$ bringen, wobei [mm] r=\sqrt{x^2+y^2}
[/mm]
der Abstand eines Flächenpunktes von der Rotations-
achse ist. Dann ist der gesuchte Flächeninhalt
$\ A\ =\ [mm] 2\,\pi*\integral_{z=1}^{2} [/mm] f(z) [mm] *\sqrt{1 + (f'(z))^2}\,dz$
[/mm]
Am besten machst du die Rechnung natürlich nach den
beiden Methoden (mit und ohne Funktionaldeterminante)
und verschaffst dir dabei ein unbezahlbares Erfolgserlebnis,
wenn du auf beiden Wegen zum selben Ergebnis kommst ! 
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Fr 20.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke erstmal.. wie sieht das jetzt aus?:
Mit [mm] f(z)=\wurzel{z^2-1} [/mm] folgt
[mm] A=2*\pi*\integral_{2}^{1}{\wurzel{z^2-1}*\wurzel{1+\bruch{z^2}{z^2-1}}}
[/mm]
passt das jetzt so? Komme in etwa auf [mm] A\cong [/mm] 11.6635.
Aber was in der Version mit Funktionaldeterminante ist jetzt [mm] f(h(t,\phi))?
[/mm]
Mir ist immer noch nicht klar wie die funktion f in Abhängigkeit von der Parametrisierung [mm] h(t,\phi) [/mm] aussieht bzw wie man darauf kommt.
Vielleicht indem ich z aus der Parametrisierung in f(z) einsetze? Dann hätte ich [mm] f(t,\phi)=\wurzel{t^2-1} [/mm] ?
Gruß
chesn :)
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> Hallo! Danke erstmal.. wie sieht das jetzt aus?:
>
> Mit [mm]f(z)=\wurzel{z^2-1}[/mm] folgt
>
> [mm]A=2*\pi*\integral_{2}^{1}{\wurzel{z^2-1}*\wurzel{1+\bruch{z^2}{z^2-1}}}[/mm]
Hast du den Integranden nicht vereinfacht ??
> passt das jetzt so? Komme in etwa auf [mm]A\cong[/mm] 11.6635. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber was in der Version mit Funktionaldeterminante ist
> jetzt [mm]f(h(t,\phi))?[/mm]
> Mir ist immer noch nicht klar wie die funktion f in
> Abhängigkeit von der Parametrisierung [mm]h(t,\phi)[/mm] aussieht
> bzw wie man darauf kommt.
Was für eine Funktion f meinst du jetzt hier ?
> Vielleicht indem ich z aus der Parametrisierung in f(z)
> einsetze? Dann hätte ich [mm]f(t,\phi)=\wurzel{t^2-1}[/mm] ?
Lies zuerst mal meine andere Antwort, die ich gerade
geschrieben habe !
LG
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> Berechnen Sie die Oberfläche des Hyperboloids
> [mm]-x^2-y^2+z^2=1, \ \ \ \ \ 1\le z<2[/mm]
>
> Rotationsfläche:
> [mm]h(t,\phi)=(\wurzel{t^2-1}*cos(\phi),\wurzel{t^2-1}*sin(\phi),t)[/mm]
> Hallo!
>
> Das ganze rotiert um die z-Achse, also muss ich doch
> [mm]-x^2-y^2+z^2=1[/mm] erstmal nach z umstellen und habe dann eine
> Funktion f(z).
> Soweit richtig? Dann ist
>
> [mm]f(z)=\wurzel{1+x^2+y^2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein. Was du meinst, ist einfach [mm]z\ =\ \wurzel{1+x^2+y^2}[/mm]
Und was du wolltest, wäre die Funktion r=f(z), welche den
Abstand [mm] r=\sqrt{x^2+y^2} [/mm] eines Punktes von der z-Achse durch
z ausdrückt.
> Kann ich daraus jetzt eine Funktion f(t) machen, indem ich
> x und y aus der Parametrisierung einsetze und das dann in
> die Formel für Rotationsflächen einsetze oder bin ich da
> auf dem Holzweg?
Hallo,
zur Lösung mittels der einzigen Integrationsvariablen z
habe ich in meiner anderen Antwort einen Tipp gegeben.
Vermutlich war aber ein Lösungsweg via Parametrisierung,
Jacobi-Matrix und Gramsche Determinante gemeint.
Um diesen Weg für zweidimensionale Flächen im [mm] \IR^3
[/mm]
besser zu verstehen, eignet sich auch die Berechnung
des ![[]](/images/popup.gif) Oberflächenelements mittels Vektorprodukt der
Tangentialvektoren.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Fr 20.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo nochmal! Danke erstmal! Ich meinte die Formel:
$ [mm] A=\integral_{1}^{2}\integral_{1}^{2}{f(h(t,\phi))\cdot{}\wurzel{g(t,\phi)} \ \ d(t,\phi)} [/mm] $
Wie sieht [mm] f(h(t,\phi)) [/mm] in meinem speziellen Fall aus und wie komme ich darauf?
Das ist das einzige Problem..
die Gramsche Determinante bzw das Oberflächenelement kann ich ja berechnen.
Gruß
chesn :)
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> Hallo nochmal! Danke erstmal! Ich meinte die Formel:
>
> [mm]A=\integral_{1}^{2}\integral_{1}^{2}{f(h(t,\phi))\cdot{}\wurzel{g(t,\phi)} \ \ d(t,\phi)}[/mm]
>
> Wie sieht [mm]f(h(t,\phi))[/mm] in meinem speziellen Fall aus und
> wie komme ich darauf?
>
> Das ist das einzige Problem..
>
> die Gramsche Determinante bzw das Oberflächenelement kann
> ich ja berechnen.
>
> Gruß
> chesn :)
Du willst (bzw. sollst) ja nur den Flächeninhalt berechnen,
also ist das Integral
[mm] $\iint\limits_G d\sigma$
[/mm]
zu berechnen. Also wenn du willst: [mm] $\iint\limits_G [/mm] 1* [mm] d\sigma$
[/mm]
wobei $\ [mm] d\sigma\ [/mm] =\ [mm] \parallel\overrightarrow{h}_{t}\times \overrightarrow{h}_{\phi}\parallel\ [/mm] du\ dv$
oder $\ [mm] d\sigma\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{Gram-Determinante}\ [/mm] du\ dv$
Die Integrationsvariable [mm] \phi [/mm] muss natürlich von 0 bis [mm] 2\,\pi
[/mm]
laufen und nicht von 1 bis 2 .
LG Al-Chw.
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