Obere/Untere Schranke < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Do 02.09.2010 | | Autor: | Teresa_C |
| Aufgabe | Folge:
an = 3n - 2 / 2n + 3
vermute obere und untere Schranke und beweise sie |
ich versteh das mit den Schranken einfach nicht, bis jetzt hatte ich immer eine Schranke angegeben und musste einfach nur beweisen, aber hier ist ja nichts angegeben.
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
leider sieht man bei dir nicht im geringsten, wie die Folge gemeint ist.
Nutze doch unseren Formeleditor oder setze, wenn nötig, Klammern.
So wie du die Folge aufgeschrieben hast, würde da stehen:
[mm] $a_n [/mm] = 3n - [mm] \bruch{2}{2n} [/mm] + 3 $
Da das aber wenig Sinn macht (kürzen usw.) vermute ich mal, dass das nicht gemeint ist.
Ansonsten: Untersuch doch mal das Verhalten der Folge. Was fällt dir auf?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Do 02.09.2010 | | Autor: | Teresa_C |
Die Folge sieht so aus: an = (3n-2)/(2n+3)
Die Monotonie hab ich schon bewiesen (streng monoton wachsend)
und die ersten 4 Folgeglieder ausgerechnet.
Ich komm einfach nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Do 02.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Folge sieht so aus: an = (3n-2)/(2n+3)
>
> Die Monotonie hab ich schon bewiesen (streng monoton
> wachsend)
> und die ersten 4 Folgeglieder ausgerechnet.
>
> Ich komm einfach nicht weiter.
sorry, ich hatte mich eben verklickt und Gonozals Antwort noch nicht gelesen. Trotzdem:
Lies bitte hier weiter.
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Do 02.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Folge:
>
> an = 3n - 2 / 2n + 3
setze doch bitte Klammern, ich gehe mal davon aus, dass Du nicht
[mm] $$a_n=3n-\frac{2}{2n}+3\,,$$
[/mm]
sondern [mm] $a_n=(3n-2)/(2n+3)$ [/mm] meinst.
> vermute obere und untere Schranke und beweise sie
> ich versteh das mit den Schranken einfach nicht, bis jetzt
> hatte ich immer eine Schranke angegeben und musste einfach
> nur beweisen, aber hier ist ja nichts angegeben.
Wenn man gar keine Idee hat, dann kann man sich mal den Graphen von
[mm] $$f(x)=\frac{3x-2}{2x+3}\;\;\; [/mm] (x [mm] \in \IR)$$
[/mm]
plotten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und dann schauen, wie der für natürliche [mm] $x=n\,$ [/mm] ausschaut.
Dann "sieht" man schon, was man beweisen könnte:
[mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist streng monoton wachsend. (Was bedeutet das bzgl. einer (vielleicht sogar größten) unteren Schranke?).
Und bzgl. einer oberen Schranke: Die "kleinste" obere Schranke wird wohl
[mm] $$\lim_{n \to \infty}a_n$$
[/mm]
sein, sofern man sich überlegt, dass dieser Limes hier existiert (und nein: Das muss man nicht über den Hauptsatz über monotone Folgen machen - denn der wäre erst anwendbar, nachdem man (auch) gezeigt hat, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nach oben beschränkt ist. Dass [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n$ [/mm] hier (in [mm] $\IR$) [/mm] existiert, kann man hier alleine mit "Rechenregeln für konvergente Folgen" nachweisen!).
Beste Grüße,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 07.09.2010 | | Autor: | Teresa_C |
dankeschön!
also als untere Schranke nehme ich dann 1/5, da es sich hier ja um eine streng monoton steigene Folge handelt.
und die obere schranke kann ich mir mit:
$ [mm] \lim_{n \to \infty}a_n [/mm] $ aurechnen, was bei mir 3/2 wäre
wenn ich das einsetzte in an [mm] \le [/mm] M bekomme ich aber am schluss -4 [mm] \le [/mm] 9 raus
sonst bekomm ich immer n [mm] \le [/mm] irgendeine Zahl raus.
Ist das egal wenn mit bei der oberen Schranke das n wegfällt??
danke im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Di 07.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Terasa!
Die beiden Schranken (untere und obere) hast Du korrekt ermittelt.
Aber Deine (hier leider nicht einsehbare) Rechnung bzw. das Ergebnis erscheinen mir etwas undurchsichtig.
Auf jeden Fall sollte hier jeweils eine wahre Aussage am Ende durch die Äquivalenzumformungen entstehen (und ja: es kann auch passieren, dass das $n_$ dabei herausfliegt):
[mm]\bruch{1}{5} \ \le \ \bruch{3n-2}{2n+3}[/mm]
[mm]\bruch{3n-2}{2n+3} \ \le \ \bruch{3}{2}[/mm]
Bei der oberen Schranke kannst Du auch das strengere [mm]<_[/mm] anstatt [mm]\le[/mm] nehmen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Do 09.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> dankeschön!
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> also als untere Schranke nehme ich dann 1/5, da es sich
> hier ja um eine streng monoton steigene Folge handelt.
>
> und die obere schranke kann ich mir mit:
>
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}a_n[/mm] aurechnen, was bei mir 3/2 wäre
>
> wenn ich das einsetzte in an [mm]\le[/mm] M bekomme ich aber am
> schluss -4 [mm]\le[/mm] 9 raus
ich weiß, oft ist es in der Schule verhasst, aber bitte:
Vorrechnen bzw. Rechnung posten. Dann kann man es auch kontrollieren (und ggf. korrigieren).
> sonst bekomm ich immer n [mm]\le[/mm] irgendeine Zahl raus.
> Ist das egal wenn mit bei der oberen Schranke das n
> wegfällt??
Wie Loddar schon sagte: Es kann passieren - ob es egal ist oder nicht, hängt davon ab, was am Ende da steht und wie das alles zusammenpasst. Die Frage ist daher etwas "zu allgemein".
P.S.:
In der Tat ist für [mm] $a_n=(3n-2)/(2n+3)$ [/mm] dann [mm] $(a_n)_n$ [/mm] streng monoton wachsend und gegen $3/2$ konvergent, so dass $3/2=1,5$ eine obere Schranke für [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist. Es ist aber auch sozusagen die "optimale" obere Schranke - nämlich die kleinste - für [mm] $(a_n)_n\,.$
[/mm]
Es wäre übrigens auch keine Kunst gewesen, sich vielleicht mal [mm] $(a_n)_n$ [/mm] zu veranschaulischen und dann einfach eine obere Schranke zu raten - z.B. hättest Du ja [mm] $a_n \le [/mm] 10$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] behaupten können. Hier könnte man das in der Tat direkt beweisen - aber wenn das mal nicht so offensichtlich geht, ist oft ein Induktionsbeweis ein Mittel zum Zweck.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Teresa_C |
Hallo!
Hab mir die Rechnung nochmal angesehen und ich verstehe mein Ergebnis bei der unteren Schranke nicht.
Also, als untere Schranke hab ich ja: [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
ich rechne [mm] \bruch{3n-2}{2n+3}\ge\bruch{1}{5}
[/mm]
und als Lösung bekomm ich n [mm] \ge [/mm] 1 w.A.
warum weiß ich dass hier eine wahre Ausage herauskommt? wo kann ich denn diesen 1er einsetzen?
Danke im Voraus
Teresa
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> Hallo!
> Hab mir die Rechnung nochmal angesehen und ich verstehe
> mein Ergebnis bei der unteren Schranke nicht.
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> Also, als untere Schranke hab ich ja: [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> ich rechne [mm]\bruch{3n-2}{2n+3}\ge\bruch{1}{5}[/mm]
>
> und als Lösung bekomm ich n [mm]\ge[/mm] 1 w.A.
>
> warum weiß ich dass hier eine wahre Ausage herauskommt?
Hallo,
es ist
[mm] $\bruch{3n-2}{2n+3}\ge\bruch{1}{5}$
[/mm]
<==>
[mm] 5(3n-2)\ge [/mm] (2n+3)
<==>
13n [mm] \ge [/mm] 13
<==>
[mm] n\ge [/mm] n.
Letztere Aussage ist wahr, weil Du die Folge [mm] (a_n) [/mm] betrachtest, also [mm] n\in \IN [/mm] einsetzt.
Eine untere Schranke wäre aber auch -4711 und viele andere zahlen.
Gruß v. Angela
> wo
> kann ich denn diesen 1er einsetzen?
>
> Danke im Voraus
> Teresa
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