Obere Dreiecksmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine quadratische (n,n)-Matrix [mm] A=([\alpha]ij) [/mm] heiße obere Dreiecksmatrix genau dann, wenn [mm] ([\alpha]ij)=0 [/mm] für i>j.
(Bei einer solchen Matrix stehen also unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen).
Nun seien V, U, W jeweils Vektorräume über K der Dimension n. Ferner sei {v1, v2, ..., vn} eine Basis von V, {u1, ..., un} eine Basis von U und {w1, ..., wn} eine Basis von W.
a) f: V [mm] [\to] [/mm] U sei eine lineare Abbildung. Zeigen sie für die Matrix Af bzgl. der angegebenen Basen von V und U:
(*) Af obere Dreiecksmatrix [mm] [\gdw] [/mm] f(vj) [mm] [\varepsilon] [/mm] <u1, ..., uj> für alle j [mm] [\varepsilon] [/mm] {1, ..., n}.
b) Weiter sei jetzt Ag die Matrix von g und [mm] Ag[\circ]f [/mm] die Matrix von [mm] g[\circ]f [/mm] bzgl. der angegebenen Basen und es seien Af und Ag obere Dreiecksmatrizen. Zeigen Sie: [mm] Ag[\circ]f [/mm] ist obere Dreiecksmatrix
i)unter Verwendung der rechten Seite von (*) für f und (analog) für g,
ii)mit der formalen Definition der Matrizenmultiplikation. |
Sorry für die lange Aufgabenstellung! Ich habe es leider nicht hingekriegt kleine Buchstaben zu schreiben...hoffe, ihr versteht es trotzdem!
Muss ich die a) in beide Richtungen beweisen? Es ist doch: f(vj)=a1j u1+a2j u2+...+ajj uj+a(j+1)j u(j+1)+....+anj un.
Da aij=0, falls i>j, werden die aij ab a(j+1)j =0. Aber wie komm ich hier weiter?
Zu b): Bei der i) weiß ich nicht, was ich genau machen soll. Bei der ii) habe ich folgendes:
Af=akj, Ag=bik, [mm] Ag[\circ]f=cij.
[/mm]
[mm] Ag[\circ]f [/mm] = Ag*Af= (bik)(akj) [mm] [\Rightarrow] [/mm] cij= [mm] [\summe_{k=1}^{n}] [/mm] bik akj.
bik=0, falls i>k und akj=0, falls k>j. Daraus folgt, dass i>j und daraus wiederum, dass cij=0. Reicht das???
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mi 23.05.2007 | | Autor: | auweia |
zu a): schau dir doch mal an, welche u übriggeblieben sind.
zub):
i) du hast mit a) doch Af <=> f(vj) <u1,...,un>
und analog g(uj) <w1,...,wj>
dann gibt g°f?
ii) vielleicht kommst du weiter, wenn du (bik)(akj) anders darstellst als
bi1a1j+... und dann mal schaust, was dabei rauskommt.
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| Aufgabe | ii) vielleicht kommst du weiter, wenn du (bik)(akj) anders darstellst als
bi1a1j+... und dann mal schaust, was dabei rauskommt. |
Die a) habe ich jetzt verstanden. Danke.
Habe die ii) so aufgeschrieben, wie du meintest....komme dadurch aber auch nicht weiter. Wäre nett, wenn du mir noch ein wenig auf die Sprünge helfen könntest :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mi 23.05.2007 | | Autor: | auweia |
schreib es "komplett" auf als
bi1 a1j+bi2 a2j+...+bij ajj+bij+1 aj+1i+...+bin anj
dann kannst du die Summe aufteilen in zwei Teile: 1. bij=0 und2. aij=0
von da ausist es nur noch ein kleiner Schritt zu cij=0
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