Obere Dreieckmatrixen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Di 17.05.2005 | | Autor: | Neperka |
Hallo!
Ich habe diese Aufgabe:
Welche (m x m) obere Dreieckmatrix A über [mm] \IR [/mm] haben die folgende Eigenschaft: Es gibt eine natürliche Zahl n, so dass gilt : [mm] A^{n}=0 [/mm] Matrix.
Soll ich jezt bei diese Aufgabe jeder (m x m) obere Dreieckmatrix probieren zB (2x2) (3x3) .... multiplizieren bis ich dieses n finde oder gibt es ein anderer Weg.
Grüße
Neperka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 17.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Dies sind genau diejenigen oberen Dreicksmatrizen, die auf der Diagonalen nur lauter Nullen stehen haben.
Klar ist: Ist ein Diagonalelement von $A$ ungleich $0$, etwa [mm] $a_{ii} \ne [/mm] 0$, dann gilt auch für das Diagonalelement von [mm] $A^n$: $a^n_{ii} \ne [/mm] 0$.
Sind umgekehrt alle Diagonalelemente gleich $0$, so kannst du ja mal per Induktion nachweisen, dass alle Elemente der Matrix [mm] $A^n$ [/mm] an der Stelle $(i,j)$ für $i-j [mm] \le [/mm] n-1$ verschwinden. Daraus folgt:
[mm] $A^m=0$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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