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| Aufgabe | Beweisen Sie: Für f : [mm] \IR^n \to \IR [/mm] gilt
[mm] \underline{\integral}{f(x) dx} [/mm] = sup { [mm] \integral_{\IR^n}{\phi(x) dx}; \phi \in C_c(\IR^n), \phi \le{f} [/mm] },
[mm] \overline{\integral}{f(x) dx} [/mm] = inf { [mm] \integral_{\IR^n}{\xi(x) dx}; \xi \in C_c(\IR^n), \xi \ge{f} [/mm] } .
Hinweis: Wegen der völligen Analogie genügt es, die Formel für das Ober- oder das
Unterintegral herzuleiten. |
Hallo,
in der Vorlesung haben wir das Ober- und das Unterintegral schon für die Treppenfunktion in genau der selben Form bestimmt, haben da aber nichts hergelitten. Komm nun einfavh nicht drauf, wie ich vorgehen soll. Kann mir da jemand helfen?
Schon jetzt Danke!
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Ich würde die Integrale rechts durch Ober- bzw. Unterintegrale ersetzen (das geht ja, wenn die Funktionen integrierbar sind) und dann mal die Differenz betrachten...
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Hallo,
Wie genau meinst du das? Wie habe ich denn dann das Supremum bzw. Infimum hergelitten? Denn das ist ja in der Aufgabe gefragt. Bitte erklär doch mal genauer, was du meinst.
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Wenn eine Funktion int.bar ist, dann stimmen Ober- und Unterintegral gerade mit dem Integral überein. Das war ja die Definition von int.bar. Also kannst du umgekehrt die Integrale durch Ober- bzw. Unterintegrale ersetzen.
Dann könntest du dir überlegen, was passiert, wenn man die beiden Seiten der Gleichung auf eine Seite bringt. (Es entsteht eine Differenz - wie verhält sie sich? Geht sie gegen 0? Warum?)
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