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hay leute, eine frage zum schmidtschen orthonormalisierungsverfahren ....
sei
[mm] span(\vektor{1\\0\\0\\0\\0},\vektor{1\\0\\1\\0\\0},\vektor{1\\1\\1\\0\\2},\vektor{2\\1\\0\\2\\3})
[/mm]
ich moechte zu diesem untervektorraum des R5 nun ein orthonormalsystem erstellen ....
ich gehe wie folgt vor
ich wähle ein v, welches im span liegt,v= [mm] \vektor{1\\0\\0\\0\\0} [/mm] und ein weiteres [mm] w1=\vektor{1\\0\\1\\0\\0}
[/mm]
nun moechte ich das schmitsche system benutzen um ein orthogonalsystem zu konstruiren ...
also
w'= < v,w1 > w1 = w1
weil ja das skalarprodukt von v und w1 1 ist ....
nun berechne ich
w= v-w'
[mm] =\vektor{1\\0\\0\\0\\0}-\vektor{1\\0\\1\\0\\0}=\vektor{0\\0\\-1\\0\\0}
[/mm]
so, damit habe ich nun einen orthogonalen vektor zu v gefunden ... wie geht das verfahren nun weiter ?
ich versuchs mal ...
setze nun v = [mm] \vektor{1\\1\\1\\0\\2}
[/mm]
[mm] w1=\vektor{1\\0\\0\\0\\0}
[/mm]
[mm] w2=\vektor{0\\0\\-1\\0\\0}
[/mm]
w2'= < v,w1 > w1 + < v,w2>w2 = w1-w2
da die skalarprodukte 1 und -1 sind
also ist
w2' = [mm] \vektor{1\\0\\1\\0\\0}
[/mm]
nun errechne ich einen weiteren orthogonalen vektor mittels
w=v-w2' = [mm] \vektor{0\\1\\0\\0\\2}
[/mm]
ich erkenne direkt das auch DIESER vektor orthogonal zu den beiden bisherigen vektoren sind, meine 3 basis vektoren lauten nun :
[mm] \vektor{0\\1\\0\\0\\2},\vektor{0\\0\\-1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\0\\0\\0}
[/mm]
wie finde ich nun den vierten ???? alle meine versuche endeten in NICHT orthogonalen vektoren, wo liegt mein fehler ?
wäre super wenn jemand sich noch heute dieses problemchens annehmen koennte ...
GROSSES DANKE IM VORRAUS !
ich habe diese frage nirgendzwo anders schon gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du hast einfach vergessen den letzten Vektor [mm] $\pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\0 \\2}$ [/mm] zu normieren.
Teile also durch dessen Norm (also durch [mm] $\sqrt{5}$) [/mm] und mache das gleiche Spielchen jetzt mal mit
[mm] $\frac{1}{\sqrt{5}} \pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\0 \\2}$ [/mm]
anstelle von
[mm] $\pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\0 \\2}$.
[/mm]
Dann sollte es hinkommen. 
(Vorher bei den entstehenden Vektoren war das nicht nötig, weil die eh die Norm $1$ hatten...)
Viele Grüße
Stefan
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[mm]span(\vektor{1\\0\\0\\0\\0},\vektor{1\\0\\1\\0\\0},\vektor{1\\1\\1\\0\\2},\vektor{2\\1\\0\\2\\3})[/mm]
[mm]\vektor{0\\1\\0\\0\\2},\vektor{0\\0\\-1\\0\\0}[/mm] und [mm]\vektor{1\\0\\0\\0\\0}[/mm]
das problem welches ich bei dieser aufgabe habe ist das, das der letzte vektor
[mm] \vektor{2\\1\\0\\2\\3} [/mm] schon orthogonal zu dem vektor [mm] \vektor{0\\0\\-1\\0\\0} [/mm] ist, und ich ihn deshalb nicht wählen kann ....
wie waehle ich den letzten vektor, damit ich den orthogonalen kumpanen finde ?!??!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:25 Di 05.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, du liegst falsch. Verfahre bitte so wie von mir angegeben.
Leider hast du meine Antwort fälschlicherweise als "fehlerhaft" markiert.
Viele Grüße
Stefan
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es tut mir leid das ich deine antwort faelschlicherweise als falsch markiert habe, da die klausur aber nun vorbei ist, habe ich keinen nerv mehr das nachzurechnen, trotzdem wundere ich mich, das verfahren
funktioniert doch auch wenn man am ende erst normiert, und nicht schon am anfang, oder habe ich da wieder etwas falsch verstanden ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo ehrlichbemühter!
Das Verfahren funktioniert i.A. nur dann, wenn man nach jedem Schritt den neu entstandenen Basisvektor normiert, bevor man ihn zur Errechnung des nächsten Elementes der ON-Basis verwendet.
In diesem Fall klappt es (nur) so, ich habe es nachgerechnet.
Viele Grüße
Stefan
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