ORTHOGONALE ABBILDUNG < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mo 09.05.2005 | | Autor: | NECO |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe ein Problem. Ist diese Aufgabe schwer, oder was, verstehe ich nicht.
Es seien U, V [mm] \subset \IR^{n} [/mm] Untervektorräume und f: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n} [/mm] eine orthogonale Abbildung mit f(U)=W. Zeigen Sie, dass dann auch
[mm] f(U^{T}) [/mm] = [mm] W^{T}
[/mm]
gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo NECO!
Zu zeigen ist wohl eher:
[mm] $f(U^{\perp})=W^{\perp}$.
[/mm]
[mm] "$\subset$":
[/mm]
Es sei $x [mm] \in f(U^{\perp})$. [/mm] Dann gibt es ein [mm] $u^{\*} \in U^{\perp}$ [/mm] mit [mm] $f(u^{\*})=x$. [/mm] Sei nun $w [mm] \in [/mm] W$ beliebig gewählt. Dann gibt es ein [mm] $u'\in [/mm] U$ mit $f(u')=w$.
Wir erhalten:
[mm] $\langle [/mm] x,w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = 0$,
also:
[mm] $u^{\*} \in U^{\perp}$.
[/mm]
Versuche bitte selber die Lücken zu füllen. 
[mm] "$\supset$":
[/mm]
Es sei $y [mm] \in W^{\perp}$. [/mm] Da $f$ als orthogonale Abbildung invertierbar ist, gibt es ein $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit $f(x)=y$. Zu zeigen bleibt: $x [mm] \in U^{\perp}$.
[/mm]
Es gilt aber für alle $u [mm] \in [/mm] U$:
[mm] $\langle [/mm] u,x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] f(u),f(x) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = 0$.
Versuche auch hier bitte die Lücken zu füllen.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:29 Di 10.05.2005 | | Autor: | NECO |
"
Wir erhalten:
[mm] $\langle [/mm] x,w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = 0$,
Ich denke mal <w,x>
[mm] $\langle [/mm] u,x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] f(u),f(x) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = 0$.
und hier <f(x),f(u)>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Di 10.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo NECO!
Versuche es doch bitte noch einmal. 
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 10.05.2005 | | Autor: | NECO |
Wir erhalten:
[mm] $\langle [/mm] x,w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = 0$,
das kann man aber ne? für erste Lücke [mm] [/mm]
Für die zweite fählt mir jetz nichs ein. Danke dir nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo NECO!
> das kann man aber ne? für erste Lücke [mm][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genauer:
[mm] $\langle [/mm] u,x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle f(u^{\*}),f(u') \rangle [/mm] = [mm] \langle u^{\*},u' \rangle [/mm] = 0$
wegen [mm] $u^{\*} \in U^{\perp}$, [/mm] $u' [mm] \in [/mm] U$. Bechte bitte, dass hier die Orthogonalität (Winkel-/Abstandserhaltung) von $f$ verwendet wurde.
> Für die zweite fählt mir jetz nichs ein. Danke dir nochmal
Hier muss hin:
[mm] $\langel [/mm] u,x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] f(u),f(x) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] f(u),y [mm] \rangle [/mm] =0$
wegen $f(u) [mm] \in [/mm] W$, $y [mm] \in W^{\perp}$. [/mm] Auch hier wurde die Orthogonalität von $f$ ausgenutzt.
Viele Grüße
Stefan
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