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| Aufgabe | U sei Lösungsraum des homogenen lin Gleichungssystems:
x1+2x2+2x3+x4 =0
2x1+3x2+4x3+2x4 =0
und v = (1,1,1,3) im R4 Man berechne den Vektor der durch Orthogonalprojektion auf U entsteht. |
Meine eigentliche frage ist wie bekomme ich aus U eine EBENE? - ist U überhaupt eine ebene??
mit einer 2zeilen 4 spalten matrix kommt man doch auf ein nicht lösbares gl system?
Sollte ich irgendwie die 2 richtungsvektoren von U bekommen müsste ich einen Normalenvektor bilden(wie geht das im R4 :/) mit diesem als richtung und V als Startpunkt als gerade festlegen und diese dann mit der ebene schneiden - und man hat den Schnittpunkt - so einfach :( - aber es scheiterleider an der Vorstellung des R4´s
Kann mir vielleicht jemand helfen?
danke im vorraus
Mit fruendlichen Grüßen
Mathe-mata
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Di 05.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo mata
> U sei Lösungsraum des homogenen lin Gleichungssystems:
> x1+2x2+2x3+x4 =0
> 2x1+3x2+4x3+2x4 =0
> und v = (1,1,1,3) im R4 Man berechne den Vektor der durch
> Orthogonalprojektion auf U entsteht.
> Meine eigentliche frage ist wie bekomme ich aus U eine
> EBENE? - ist U überhaupt eine ebene??
>
> mit einer 2zeilen 4 spalten matrix kommt man doch auf ein
> nicht lösbares gl system?
Nicht eindeutig loesbar heisst auch loesbar, nur gibt es viele Vektoren, die es loesen.
du kannst dir 2 lin. unabhaengige davon aussuchen, am besten gleich orthogonale einheitsvektoren. dann den Vektor v skalar mit den beiden Basisvektoren von U multiplizieren, und du kennst die 2 Komponenten in diesen Richtungen und damit die Projektion von v. das schneiden von v mit der ebene projiziert v ja nicht.
Gruss leduart
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Hallo
vielen dank für die super schnelle antwort - allerdings ist mir das jetzt nicht mehr so klar :/
1. wenn ich die basis zu u ausrechne hab ich ja folgende matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 2 } [/mm] da kommt dann in der letzten
0 + 1x2 + 0 + 0 = 0 -> damit ist das ganze doch nicht lösbar nur für die triviale lösung x2 = 0 - also damit kommt doch da ein wieder spruch raus??
wie kann ich mir jetzt 2 lin unabhängige davon aussuchen ??
also, und dann sollte ich irgendwie 2 orthogonale nehmen können - wieso komm ich dann mit dem skalarprodukt mit v auf die KOMPONENTEN? (was ist das? :)) - und wie komm ich dann auf die projektion?? :)
wenn ich die senkrechte gerade durch v gehen lasse und die mit der ebene schneide - dann bekomm ich doch die spitze von dem projezierten vektor ? (v´) und mein ganzer vektor geht dann vom fußbpunkt von v bis zu v´  ? - oder nicht
wär schön wenn du mir des v.a. mit komponenten erklären würdest?
gibts das vieleicht irgendwo zum nachlesen? - mit beispielen?
würd ich ja gerne auch mir selber aneignen :)
grüße mathe-mata
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Mi 06.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 1. wenn ich die basis zu u ausrechne hab ich ja folgende
> matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 2 }[/mm] da kommt dann in
> der letzten
> 0 + 1x2 + 0 + 0 = 0 -> damit ist das ganze doch nicht
> lösbar nur für die triviale lösung x2 = 0 - also damit
> kommt doch da ein wieder spruch raus??
Ne, es bleibt ja noch x1+2x3+x4=0, das wird z.Bsp. von (1,0,0,-1) und (1,0,-0.5,0) gelöst und vielen mehr.
> wie kann ich mir jetzt 2 lin unabhängige davon aussuchen
> ??
Die 2 sinds schon, andere findest du sicher noch!
> also, und dann sollte ich irgendwie 2 orthogonale nehmen
> können - wieso komm ich dann mit dem skalarprodukt mit v
> auf die KOMPONENTEN? (was ist das? :)) - und wie komm ich
> dann auf die projektion?? :)
Jeden Vektor v in einer Ebene kann man als Summe von 2 lin.unabh. Vektoren dieser Ebene a und b schreiben. Die Faktoren der 2vektoren heissen Komponenten von v in Richtung a und b.
also v=r*a+s*b r ist Komponente von v in Richtung a.
Wenn man v=(2,0,1) schreibt, ist 2 die Komp. in x1 richtung, 0 in x2 richtung und 1 in x3 Richtung.
das Skalarprodukt (v*a)/|a| ergibt die Komponente in Richtung a.
>
> wenn ich die senkrechte gerade durch v gehen lasse und die
> mit der ebene schneide - dann bekomm ich doch die spitze
> von dem projezierten vektor ? (v´) und mein ganzer vektor
> geht dann vom fußbpunkt von v bis zu v´ ? - oder
> nicht
v ist ein Richtungsvektor, d.h. er hat keinen Fusspunkt. wenn du ihn allerdings vom 0Pkt aus betrachtest, also als Ortsvektor, kannst du wirklich den Punkt den er erreicht finden. wenn die Ebene auf die du proj. auch durch 0 geht, dann geht das.
Gruss leduart
> wär schön wenn du mir des v.a. mit komponenten erklären
> würdest?
> gibts das vieleicht irgendwo zum nachlesen? - mit
> beispielen?
> würd ich ja gerne auch mir selber aneignen :)
>
> grüße mathe-mata
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 So 10.12.2006 | | Autor: | Mathe-mata |
ahhh vielen vielen dank - langsam steig ich durch - hab zwar jetzt mal ne andere lösung auch versucht - die ist allerdings bisschen länger
also vielen dank nochmal ;)
gruß mathe mata
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