Nutzenmaximierung < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Haushalt mit der Nutzenfunktion [mm] U(x_{1}, x_{2}) [/mm] = ln [mm] x_{1} [/mm] + ln [mm] x_{2} [/mm] verfügt über ein Einkommen M > 0 und ist auf den Gütermärkten mit den Preisen [mm] p_{1} [/mm] und [mm] p_{2} [/mm] konfrontiert.
(a) Führen Sie die Nutzenmaximierung durch und leiten Sie die Marshall'schen Nachfragefunktionen für die beiden Güter ab. |
Da ich glaube, dass es sich hierbei um eine Cobb-Douglas Funktion handelt, habe ich den Lagrange Ansatz aufgestellt:
L [mm] (x_{1},x_{2}, \lambda [/mm] ) = ln [mm] x_{1} [/mm] + ln [mm] x_{2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] (M - [mm] p_{1}x_{1} [/mm] - [mm] p_{2}x_{2})
[/mm]
Bei den Bedingungen erster Ordnung bin ich mir allerdings sehr unsicher:
1) [mm] \bruch{\partial L }{\partial x_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_{1}} [/mm] - [mm] \lambdap_{1} [/mm] = 0
2) [mm] \bruch{\partial L }{\partial x_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_{2}} [/mm] - [mm] \lambdap_{2} [/mm] = 0
3) [mm] \bruch{\partial L }{\partial\lambda} [/mm] = M - [mm] p_{1}x_{1} [/mm] - [mm] p_{2}x_{2} [/mm] = 0
aus (1) und (2) ergibt sich dann:
[mm] \bruch{x_{2}}{x_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{p_{1}}{p_{2}}
[/mm]
also ist:
4) [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{1}*\bruch{p_{1}}{p_{2}} [/mm] (Expansionspfad)
4) eingesetzt in 3) ergibt:
5) [mm] x_{1}^{M} [/mm] = [mm] \bruch{M}{2p_{1}}
[/mm]
5) eingesetzt in 4) ergibt:
6) [mm] x_{2}^{M} [/mm] = [mm] \bruch{M}{2p_{2}}
[/mm]
...stimmt das so?? ich bin mir total unsicher, weil es so einfach ging, ich aber schlecht mit logarithmus funktionen klarkomme...danke schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi MissChilli,
erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") *smile* !!!
> Da ich glaube, dass es sich hierbei um eine Cobb-Douglas
> Funktion handelt, habe ich den Lagrange Ansatz aufgestellt:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, denn hier handelt es sich um eine abnehmende Grenzrate der Substitution! Soll heißen: Ist eine Cobb-Douglas-Nutzenfunktion. Ja, über den Lagrange-Ansatz ist das der übliche Weg. 
> L [mm](x_{1},x_{2}, \lambda[/mm] ) = ln [mm]x_{1}[/mm] + ln [mm]x_{2}[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
> (M - [mm]p_{1}x_{1}[/mm] - [mm]p_{2}x_{2})[/mm]
> 1) [mm]\bruch{\partial L }{\partial x_{1}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x_{1}}[/mm] -
> [mm]\lambdap_{1}[/mm] = 0
> 2) [mm]\bruch{\partial L }{\partial x_{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x_{2}}[/mm] -
> [mm]\lambdap_{2}[/mm] = 0
> 3) [mm]\bruch{\partial L }{\partial\lambda}[/mm] = M - [mm]p_{1}x_{1}[/mm] -
> [mm]p_{2}x_{2}[/mm] = 0
> [mm]\bruch{x_{2}}{x_{1}}[/mm] = [mm]\bruch{p_{1}}{p_{2}}[/mm]
Was kannst du daraus schließen? Das Preisverhältnis ist gleich...?
> also ist:
> 4) [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{1}*\bruch{p_{1}}{p_{2}}[/mm] (Expansionspfad)
Langfristiger Expansionspfad um genau zu sein *zwinker*!
> 5) [mm]x_{1}^{M}[/mm] = [mm]\bruch{M}{2p_{1}}[/mm]
> 6) [mm]x_{2}^{M}[/mm] = [mm]\bruch{M}{2p_{2}}[/mm]
> ...stimmt das so?? ich bin mir total unsicher, weil es so
> einfach ging, ich aber schlecht mit logarithmus funktionen
> klarkomme...danke schon mal!
Ja, sieht alles soweit gut aus. Sei dir nicht so unsicher, denn die Aufgabe ist eigentlich trivial und nicht komplex, von daher -> gute Arbeit!!!
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
PS: Sieht gefährlich nach "Mikro I" aus, wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 So 10.02.2008 | | Autor: | MissChilli |
Hallo Analytiker,
dankeschön :)
ich bin mir deshalb unsicher, weil ich mit logarithmus funktionen nicht gut rechnen kann und ich dort ständig fehler mache. außerdem wurde uns gesagt, dies sei eine schwere funktion...na toll ;)
yup, ist mikro...leider :(
achso, warum ist das eigentlich nur ein langfristiger expansionspfad...wie wär denn der kurzfristige? und was bedeutet das genau?
vielen dank noch mal, bin froh, dass es stimmt!
LG
MissChilli
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