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Nur für Bastiane: n-te Wurzel aus n
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:01 Do 07.04.2005
Autor: Paulus

Liebe Christiane

da sich ja ohnehin niemand dafür interessiert (jedenfalls nicht zu später Nachtstunde ;-)), versuch ichs halt hier nochmals!

Ich setze Voraus, dass bekannt sei, dass das Geometrische Mittel von positiven reellen Zahlen kleiner-gleich dem Arithmetischen Mittel ist. (Lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen).

Stell dir vor, du hast $n_$ Zahlen, und zwar 2 mal die [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] und (n-2) mal die $1_$.

Das Geometrische Mittel ist dann [mm] $\wurzel[n]{n}$ [/mm]

Das Arithmetische Mittel ist aber [mm] $\bruch{2\wurzel{n}+n-2}{n}$ [/mm]

Es gilt also:

[mm] $\wurzel[n]{n} \le \bruch{2\wurzel{n}+n-2}{n} [/mm] = [mm] 1+\bruch{2}{\wurzel{n}}-\bruch{2}{n} [/mm] < [mm] 1+\bruch{2}{\wurzel{n}}$ [/mm]

Da auch gilt (klar): [mm] $\wurzel[n]{n} [/mm] > 1$ (für $n > 1_$) gilt somit:

$1 <  [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] < [mm] 1+\bruch{2}{\wurzel{n}}$ [/mm]

Durch Subtraktion von $1_$:

$0 <  [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] -1 < [mm] \bruch{2}{\wurzel{n}}$ [/mm]

Der Ausdruck ganz rechts geht mit wachsendem $n_$ gegen Null, womit [mm] $\wurzel[n]{n} [/mm] -1$ zwischen Null und einer immer kleiner werdenden positiven Zahl mit wachsendem $n$ ins Sandwich genommen wird, also gegen Null strebt!

Damit ist der Beweis abgeschlossen!

Mit lieben Grüssen

Paul

P.S. Ich wünsche dir noch viel Glück bei den heutigen Prüfungen! [kleeblatt]
        
Bezug
Nur für Bastiane: Danke. :-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:38 Do 07.04.2005
Autor: Bastiane

Lieber Paul!

Danke für deinen Beweis - ist er dir denn jetzt von selber eingefallen? ;-)
Sieht alles sehr verständlich aus und ich hab's mir mal direkt ausgedruckt. :-)

Meine Klausur ist erst morgen - heute habe ich noch etwas Zeit zu lernen... [lehrer]

Viele Grüße
Christiane
[cap]


Bezug
                
Bezug
Nur für Bastiane: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:06 Do 07.04.2005
Autor: Paulus

Liebe Christiane

> Lieber Paul!
>  
> Danke für deinen Beweis - ist er dir denn jetzt von selber
> eingefallen? ;-)

Bitte sehr! :-)

Nein, ich habe ihn wieder nachschauen müssen (Walter, Analysis 1)! Da er eigentlich so einfach ist, ist mir das schon ein wenig [peinlich]!

Immerhin hat er mir aber doch gezeigt, dass ja noch vage Erinnerungen da waren. Du erinnerst dich: ich hatte in Untertiefengrün etwas von Geometrischen und Arithmetischen Mitteln gesprochen. Nur die genaue Aufteilung in die n Faktoren hatte ich nicht mehr aus meinem wohl schon etwas altersschwachen Gedächtnis kramen können! C' est la vie (das ist der Wein)! ;-)

Mit lieben Grüssen

Paul
Bezug
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