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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 So 06.01.2008 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Das folgende Integral soll durch eine numerische Quadratur berechnet werden
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{\wurzel{1-0,25*sin^{2}x} dx}
[/mm]
Berechnen sie die Näherungslösung mit Hilfe der Simpson Formel. Verwenden sie dazu 4 Doppelintervalle. |
Hi,
hab die Aufgabe einmal im "rad" modus und einmal im "deg" Modus meines Taschenrechners gerechnet. Das Ergebnis mit "rad" Modus ist das Richtige. Woher weiss ich in der Klausur mit was ich rechnen soll? Es ist sonst keine Angabe in der Aufgabe.
Danke
Stefan
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Hallo!
Der RAD-Modus ist eigentlich immer der richtige. Bei dieser Aufgabe siehst du es auch daran, daß die obere Grenze das Pendant zu 90° im Gradmaß ist.
Das Gradmaß kannst du weiterhin bei eher geometrischen Aufgabenstellungen verwenden, sprich sinus-Satz, Cosinussatz, und was es da sonst noch so gibt. Aber sobald ein Winkelargument (hier das x) auch außerhalb einer trig. Funktion auftaucht, mußt du zwingend in Radiant rechnen. Das gilt insbesondere auch für Integrale und Ableitungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:02 So 06.01.2008 | | Autor: | polyurie |
Ah, ok danke. Gibts dafür aber auch einen einleuchtenden Grund? Das [mm] \pi/2 [/mm] hat mich auch auf die Idee gebracht es mal mit rad zu probieren...
Danke nochmal für die Antwort.
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Hallo!
Ja, den gibt es. Das Gradmaß mit seinen 360° hat irgendwer mal willkürlich festgelegt. (es gibt auch Neugrad, da hat wer 400 für nen Vollkreis genommen, aber das ist mir noch nie untergekommen)
Das Bogenmaß ist da eher eine natürliche Einheit. Teile die Länge eines kreisbogens einfach durch den Radius, und du hast den Winkel. Beim Vollkreis ist der Kreisbogen gleich dem Umfang [mm] $2\pi [/mm] r$, und damit ist der volle Winkel [mm] \frac{2\pi r}{r}=2\pi [/mm] .
Der Vorteilist hier, daß du nicht ständig so nen Faktor [mm] \frac{180}{\pi} [/mm] hast, wenn du mit Kreisbögen etc. rechnest. Winkel x Radius = Bogenlänge
Jetzt zu den Ableitungen:
Du weißt, [mm] \sin'(a)=\cos(a)
[/mm]
Schaun wir mal: [mm] \sin'(0)=\cos(0)=1
[/mm]
Aber jetzt schau dir die Sinus-Kurve im Gradmaß mal an:
[mm] \sin(0)=0 [/mm]
[mm] \sin(10)=0,17
[/mm]
Bilden wir damit mal den Differenzenquotienten (Die Sinus-Funktion verläuft ausreichend "grade" an der Stelle, daß das kein problem ist)
[mm] \sin'(0)=\frac{\sin(10)-\sin(0)}{10-0}=0,017
[/mm]
Du siehst, das weicht etwa um den Faktor 60 ab. Richtig müßte es im Gradmaß heißen: [mm] sin'=\frac{\pi}{180}*cos
[/mm]
Genauso beim Integrieren:
[mm] \int_0^{\pi}\sin(x)dx=(-cos(\pi))-(-cos(0))=2
[/mm]
Jetzt schätzen wir
[mm] \int_0^{180}\sin(x)dx
[/mm]
mal grob ab. Der Sinus geht durch (0|0), (90|1) und (180|0). Dieses Dreieck hat ne Fläche von 90, obwohl seine Fläche ein ganzes Stück zu klein ist! Auch hier müßte man mit solchen komischen Faktoren rechnen.
Das sind nur ein paar Beispiele, aber sie zeigen schon, daß das Bogenmaß in den Formeln einfach vorteilhafter ist, weil es keine Umrechnungsfaktoren gibt.
Der Nachteil ist, daß das Bogenmaß meist mit kurmmen Zahlen oder Bruchteilen von [mm] \pi [/mm] arbeitet, worunter man sich wenig vorstellen kann. Daher kannst du gerne ein ergebnis, das einen Winkel darstellt, auch im Gradmaß angeben, aber rechnen solltest du im Bogenmaß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 So 06.01.2008 | | Autor: | polyurie |
Ok, super. Danke für die ausführliche Antwort!
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