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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Sa 01.12.2012 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Sei [mm][mm] \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \in \IR^3[/mm] [mm] ein vom Nullvektor verschiedener Vektor und [mm] A:= [mm] \begin{pmatrix}
a & c & b \\
b & a & c \\
c & b & a
\end{pmatrix}[/mm] [mm].
a) Zeige: Ist a+b+c =0, so ist A nicht invertierbar.
b) Zeige: Ist A nicht invertierbar und a=0, so gilt a+b+c=0.
c) Kann man in b) auf die Voraussetzung a=0 verzichten? |
Hallo zusammen,
also ich habe mir darüber schon ein paar Gedanken gemacht, weiß aber nicht ob diese so ok bzw. zielführend sind.
Vorweg habe ich det A "berechnet": [mm] det A= [mm] a^3+b^3+c^3-3abc[/mm] [mm]
a)Sei a+b+c=0 dann kann ich drei Fälle unterscheiden, nämlich:
Fall1: Sei c=0
Fall2: Sei b=0
Fall3: Sei a=0
In allen 3 Fällen läuft es dann analog wie folgt ab:
z.B. Fall1: Sei c=0. Dann folgt daraus a+b=0, woraus b= -a folgt.
Eingesetzt in det A folgt: [mm] det A= [mm] a^3-a^3 [/mm] =0 [mm]
Woraus folgt, dass A nicht invertierbar ist.
b) Da det A=0 ist, folgt:
[mm] [mm] a^3+b^3+c^3-3abc [/mm] = 0 und mit a=0: [mm] b^3+c^3=0[/mm] [mm]
Dann ist [mm] [mm] b^3= -c^3[/mm] [mm].
Folgt dann daraus, dass wir uns in [mm] [mm] \IR[/mm] [mm], dass b=0 ist???
Stimmen die Ansätze? Und wie mache ich in b) weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi ohlala,
bei der Fallunterscheidung ist das Problem, dass du damit nicht alle möglichen Fälle abgedeckt hast. Es könnte zB a=b=1 c=-2 sein, dieser Fall ist bei keinem der drei dabei. Man kommt aber denke ich ohne Fallunterscheidung aus. Betrachte einfach [mm] a+b+c=0\Rightarrow [/mm] a=-b-c und setze das in det A ein. Dann solltest du auf det A=0 kommen.
Bei der b) hast du es fast schon da stehen. Aus [mm] b^3=-c^3 [/mm] folgt b=-c
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 01.12.2012 | | Autor: | ohlala |
Danke, bei der a) hatte ich ja mal total ein Brett vor dem Kopf 
Zur b) hab ich noch die Frage, wie du die Aufgabe nun weiter auf das Papier bringen würdest, damit es schlüssig ist.
Also wir haben jetzt:
det A=0, a=0 und b=-c
Setze ich dass nun hier ein?:
[mm] [mm] b^3+c^3=0, [/mm] dann ist mit b=-c: [mm] (-c)^3+c^3=0=0+0[/mm] [mm]
[mm] 0=0+0= a+0 = a+(-c+c)=a+(-c)+c [mm]
Mit b=-c folgt dann: [mm] 0= a+b+c [mm]
c) Man kann nicht auf die Vorraussetzung a=0 verzichten.
Vielen Dank für die schon geleistete Hilfe.
LG ohlala
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Danke, bei der a) hatte ich ja mal total ein Brett vor dem
> Kopf
Kommt vor
>
> Zur b) hab ich noch die Frage, wie du die Aufgabe nun
> weiter auf das Papier bringen würdest, damit es schlüssig
> ist.
> Also wir haben jetzt:
> det A=0, a=0 und b=-c
Ja, ok.
> Setze ich dass nun hier ein?:
> [mm]b^3+c^3=0,[/mm] dann ist mit b=-c: [mm](-c)^3+c^3=0=0+0[/mm]
Nein, hier nicht, von da kommt es ja.
> [mm]0=0+0= a+0 = a+(-c+c)=a+(-c)+c[/mm]
> Mit b=-c folgt dann: [mm]0= a+b+c[/mm]
Das ginge wohl, aber du fängst quasi von hinten an. Schöner fände ich es andersrum: Du hast a=0 und b=-c und zu zeigen: a+b+c=0. Also einfach hier einsetzen: a+b+c=0+(-c)+c=0 fertig.
> c) Man kann nicht auf die Vorraussetzung a=0 verzichten.
Das stimmt, aber für eine saubere Lösung solltest du eine Begründung hinschreiben. Am besten ein Beispiel, bei dem det A=0 aber [mm] a+b+c\not=0.
[/mm]
> Vielen Dank für die schon geleistete Hilfe.
Gern geschehen.
> LG ohlala
LG walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Sa 01.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
noch ein anderer Lösungsweg. Weil man die Determinante auch schreiben kann als
[mm] det(A)=(a+b+c)\left(a^2-ab-ac+b^2-bc+c^2\right) [/mm] sieht man
a) wenn a+b+c=0 gilt ist det(A)=0
b) wenn a=0 gilt is [mm] det(A)=(b+c)\left(b^2-bc+c^2\right) [/mm] und weil [mm] b^2-bc+c^2>0 [/mm] für [mm] bc\ne0 [/mm] gilt, muss a+b+c=0 gelten.
c) für a=b=c=1 ist [mm] a^2-ab-ac+b^2-bc+c^2=0 [/mm] und deshalb det(A)=0 aber [mm] a+b+c\ne0
[/mm]
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