Nullvektor lin.unabhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:52 Fr 08.10.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Leute!
Hier meine zweite - und auch letzte - Frage heute, ganz mächtig einfach...
Also : Ist der Nullvektor immer linear unabhängig zu einem anderen ( wie sieht´s eigentlich bei mehreren anderen aus, genauso doch, oder ? ) ?
Meine Antwort : Wegen der Def. der linearen Unabhängigkeit, die ja lautet
[mm] \alpha\vec{a} [/mm] + [mm] \beta\vec{b} [/mm] = 0 nur dann, wenn es nur die triviale Lösung gibt, also [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] = 0 , ist natürlich zwingend, daß wenn der eine der beiden Vektoren der Nullvektor ist, während der andere kein Nullvektor ist, dann für den Parameter vor dem Nullvektor ja beliebig viele Möglichkeiten [mm] \not= [/mm] 0 existieren, sodaß trotzdem - vorausgesetzt der Parameter vor dem zweiten Vektor ist natürlich 0 - Null herauskommt ( blöd ausgedrückt, merke ich schon  , ist mal wieder spät...) .Das heißt, es existiert nicht nur die triviale Lösung, daraus folgt, die beiden Vektoren ( beliebiger Vektor [mm] \not=0 [/mm] und der Nullvektor ) sind linear abhängig.
Ich denke, das müßte stimmen, sorry für die so unpräzise Ausdrucksweise..
Das wär´s für heute, gute Nacht zusammen!
eini
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:08 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo eini,
> Hier meine zweite - und auch letzte - Frage heute, ganz
> mächtig einfach...
>
> Also : Ist der Nullvektor immer linear unabhängig zu einem
> anderen ( wie sieht´s eigentlich bei mehreren anderen aus,
> genauso doch, oder ? ) ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Meine Antwort : Wegen der Def. der linearen Unabhängigkeit,
> die ja lautet
>
> [mm]\alpha\vec{a}[/mm] + [mm]\beta\vec{b}[/mm] = 0 nur dann, wenn es nur die
> triviale Lösung gibt, also [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] = 0 , ist
> natürlich zwingend, daß wenn der eine der beiden Vektoren
> der Nullvektor ist, während der andere kein Nullvektor ist,
> dann für den Parameter vor dem Nullvektor ja beliebig viele
> Möglichkeiten [mm]\not=[/mm] 0 existieren, sodaß trotzdem -
> vorausgesetzt der Parameter vor dem zweiten Vektor ist
> natürlich 0 - Null herauskommt ( blöd ausgedrückt, merke
> ich schon , ist mal wieder spät...) .Das heißt, es
> existiert nicht nur die triviale Lösung, daraus folgt, die
> beiden Vektoren ( beliebiger Vektor [mm]\not=0[/mm] und der
> Nullvektor ) sind linear abhängig.
> Ich denke, das müßte stimmen, sorry für die so unpräzise
> Ausdrucksweise..
Ich hab' sie trotzdem verstanden und sie enthält genau das schlagende Argument, dass eine Linearkombination
[mm] $\alpha_1*\vec{o}+\alpha_2*\vec{v_2}+\ldots+\alpha_n*\vec{v_n}$
[/mm]
für eine beliebige Wahl von [mm] $\alpha_1$ [/mm] und [mm] $\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0$ [/mm] den Nullvektor ergibt, es also nicht nur die triviale Darstellung des Nullvektors gibt.
Gute Nacht,
Marc
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