Nullteiler, Einheiten, Teiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Sa 29.01.2011 | | Autor: | alex.05 |
| Aufgabe 1 | | (a) Bestimmen Sie die Nullteiler und Einheiten in [mm] \IZ_{24}. [/mm] Ist [mm] \IZ_{24} [/mm] ein Integritätsbrereich? |
| Aufgabe 2 | | (b) Ist 3+4i ein Teiler von 7+i in [mm] \IZ[/mm] [t]={a+bi|a,b [mm] \in \IZ [/mm] }? |
| Aufgabe 3 | | (c) Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler von [mm] f=t^{2}-3t+2 [/mm] und [mm] g=t^{3}-2t^{2}-t+2 [/mm] in [mm] \IZ[/mm] [t]. |
Hallo,
also ich hab ein paar Lösungsansätze zu den Aufgaben weis aber nicht ob sie ganz richtig bzw. als Beweis gelten.
Zur (a): Einheiten in [mm] \IZ_{24}: [/mm] 1,5,7,11,13,17,19,23 Beweis: [mm] 5*5=25\hat=1 [/mm] usw. mit allen inversen Elementen die 1 ergeben.
Nullteiler in [mm] \IZ_{24}: [/mm] 0,2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22 Beweis: [mm] 6*4=24\hat=0 [/mm] usw.
[mm] \IZ_{24} [/mm] ist kein Integritäsring, da er mehrere Nullteiler außer der Null enthält (siehe oben).
Zur (b): Wenn 7+i|3+4i gilt dann muss auch 7+i|3 und 7+i|4i gelten, also gilt auch (7+i)*x=3 und (7+i)*y=4i für geeignete x,y [mm] \in \IZ[/mm] [t]. Weiter komm ich leider nicht, vielleicht könnt ihr mir einen kleinen Denkanstoß geben.
Zur (c): ggT [mm] (t^{2}-3t+2 [/mm] , [mm] t^{3}-2t^{2}-t+2) [/mm] Da habe ich die Nullstellen von f ung g berechntent.
Von f habe ich mittels der ABC-Formel: [mm] t_{1}= [/mm] 1 = (t-1) und [mm] t_{2}= [/mm] 2 = (t-2).
Bei g habe ich erst durch ausprobieren eine erhalten, dann Polynomdivision gemacht und anschließend die letzten beiden auch durch die ABC-Formel berechnet und komme auf: [mm] t_{1}= [/mm] -1 = (t+1), [mm] t_{2}= [/mm] 1 = (t-1) und [mm] t_{3}= [/mm] 2 = (t-2).
Also sehen wir dass die Nullstellen 1 und 2 gemeinsam sind, also ist die Linearkombination [mm] (t-1)*(t-2)=t^{2}-3t+2 [/mm] der ggT, oder?
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Mo 31.01.2011 | | Autor: | alex.05 |
Zur (a) hab ich denk ich alles gesagt.
Zur (b): 7+i|3+4i, erweitern mit dem konjungiert Komplexen also (7+i)*(3-4i)|(3+4i)*(3-4i) = 25-25i|25 = 1-i|1 [mm] \rightarrow [/mm] 7+i=(3+4i)*(1-i)
Zur (c): Kann man so machen wie ich, oder direkt Polynomdivision von g:f machen, dann erhält man: g=(t-1)*f wobei (t-1) irreduzibel ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mo 31.01.2011 | | Autor: | statler |
> (a) Bestimmen Sie die Nullteiler und Einheiten in [mm]\IZ_{24}.[/mm]
> Ist [mm]\IZ_{24}[/mm] ein Integritätsbrereich?
>
> (b) Ist 3+4i ein Teiler von 7+i in [mm] $\IZ$[/mm] [t] = [mm] \{a+bi | a,b \in \IZ \}?
[/mm]
>
> (c) Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler von [mm]f=t^{2}-3t+2[/mm] und [mm]g=t^{3}-2t^{2}-t+2[/mm] in [mm]\IZ[/mm] [t].
Hallo!
> also ich hab ein paar Lösungsansätze zu den Aufgaben weis aber nicht ob sie ganz richtig bzw. als Beweis gelten.
>
> Zur (a): Einheiten in [mm]\IZ_{24}:[/mm] 1,5,7,11,13,17,19,23 Beweis: [mm]5*5=25\hat=1[/mm] usw. mit allen inversen Elementen die 1 ergeben.
> Nullteiler in [mm]\IZ_{24}:[/mm] 0,2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22 Beweis: [mm]6*4=24\hat=0[/mm] usw.
> [mm]\IZ_{24}[/mm] ist kein Integritäsring, da er mehrere Nullteiler außer der Null enthält (siehe oben).
Völlig OK, geht aber einfacher, wenn man weiß, daß die Einheiten die teilerfremden Reste sind. Das andere sind dann die Nullteiler.
> Zur (b): Wenn 7+i|3+4i gilt dann muss auch 7+i|3 und 7+i|4i gelten, also gilt auch (7+i)*x=3 und (7+i)*y=4i für geeignete x,y [mm]\in \IZ[/mm] [t]. Weiter komm ich leider nicht, vielleicht könnt ihr mir einen kleinen Denkanstoß geben.
Es muß andersrum geschrieben werden: 3+4i|7+i. Und dein Gedankengang hier ist falsch, in der Mitteilung ist es richtig.
> Zur (c): ggT [mm](t^{2}-3t+2[/mm] , [mm]t^{3}-2t^{2}-t+2)[/mm] Da habe ich die Nullstellen von f ung g berechntent.
> Von f habe ich mittels der ABC-Formel: [mm]t_{1}=[/mm] 1 = (t-1) und [mm]t_{2}=[/mm] 2 = (t-2).
> Bei g habe ich erst durch ausprobieren eine erhalten, dann Polynomdivision gemacht und anschließend die letzten beiden auch durch die ABC-Formel berechnet und komme auf: [mm]t_{1}=[/mm] -1 = (t+1), [mm]t_{2}=[/mm] 1 = (t-1) und [mm]t_{3}=[/mm] 2 = (t-2).
> Also sehen wir dass die Nullstellen 1 und 2 gemeinsam sind, also ist die Linearkombination [mm](t-1)*(t-2)=t^{2}-3t+2[/mm] der ggT, oder?
Der Weg über den Euklid. Algorithmus ist besser, weil du ja nicht unbedingt Nullstellen findest.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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