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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Fr 20.11.2009 | | Autor: | bolzen |
| Aufgabe 1 | Sei R kommutativer Ring, R[x] Polynomring.
Beweise:
Ist [mm] f\in [/mm] R[x] Nullteiler, gibt es ein a [mm] \in [/mm] R\ [mm] \{0\} [/mm] mit a*f=0 |
| Aufgabe 2 | Beweise:
Ist f [mm] \in [/mm] R[x] nilpotent sind alle Koeffizienten nilpotent. |
Ich hab den Beweis für beides schon fertig, aber muss unbedingt wissen ob die auch stimmen.
Aufgabe 1
Seien [mm] f=a_{0}+...+a_{n}x^n [/mm] und [mm] g=b_{0}+...+b_{k}x^k [/mm] Polynome mit f*g=0 und [mm] g\not= [/mm] 0
Entweder ist f das Nullpolynom, dann kann a beliebig gewählt werden, oder f ist nicht das Nullpolynom. Dann ist aber R endlich.
[mm] f*g=b_{0}f+b_{1}f+...+b_{k}f=0
[/mm]
Also muss auch jeweils [mm] b_{i}f= [/mm] 0, da jedes Produkt unterschiedlichen Grades ist und daher nicht addier werden kann.
Setzte [mm] a=\produkt_{i=0}^{k}b_{i}
[/mm]
fertig
Aufgabe 2
Induktion
Induktionsanfang
deg(f)=0
[mm] f_0^k=0=a_0^k [/mm] erfüllt
IS: deg(f)=n+1
[mm] f_{n+1}^k=(a_0+....+a_{n+1}x^{n+1})^k=0
[/mm]
lässt sich auch schreiben als:
[mm] 0=(a_{n+1}x^{n+1})^k+....
[/mm]
und die .... kann man nicht mit dem Rest addieren, weil [mm] in(a_{n+1}x^{n+1})^k [/mm] ein x mehr "drinsteckt" also muss auch [mm] a_{n+1}^k=0
[/mm]
fertig
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:16 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei R kommutativer Ring, R[x] Polynomring.
> Beweise:
> Ist [mm]f\in[/mm] R[x] Nullteiler, gibt es ein a [mm]\in[/mm] R\ [mm]\{0\}[/mm] mit
> a*f=0
>
> Beweise:
> Ist f [mm]\in[/mm] R[x] nilpotent sind alle Koeffizienten
> nilpotent.
>
> Ich hab den Beweis für beides schon fertig, aber muss
> unbedingt wissen ob die auch stimmen.
>
> Aufgabe 1
> Seien [mm]f=a_{0}+...+a_{n}x^n[/mm] und [mm]g=b_{0}+...+b_{k}x^k[/mm]
> Polynome mit f*g=0 und [mm]g\not=[/mm] 0
> Entweder ist f das Nullpolynom, dann kann a beliebig
> gewählt werden, oder f ist nicht das Nullpolynom. Dann ist
> aber R endlich.
Wieso sollte dann $R$ endlich sein?!?
> [mm]f*g=b_{0}f+b_{1}f+...+b_{k}f=0[/mm]
Da fehlen die $x$-Potenzen!
> Also muss auch jeweils [mm]b_{i}f=[/mm] 0, da jedes Produkt
> unterschiedlichen Grades ist und daher nicht addier werden
> kann.
Was genau willst du damit sagen? Ich hab grosse Zweifel, dass [mm] $b_i [/mm] f = 0$ folgt.
> Setzte [mm]a=\produkt_{i=0}^{k}b_{i}[/mm]
>
> fertig
Warum sollte $a [mm] \neq [/mm] 0$ sein?
> Aufgabe 2
>
> Induktion
Wonach?
> Induktionsanfang
> deg(f)=0
> [mm]f_0^k=0=a_0^k[/mm] erfüllt
Ja.
> IS: deg(f)=n+1
> [mm]f_{n+1}^k=(a_0+....+a_{n+1}x^{n+1})^k=0[/mm]
> lässt sich auch schreiben als:
> [mm]0=(a_{n+1}x^{n+1})^k+....[/mm]
> und die .... kann man nicht mit dem Rest addieren, weil
> [mm]in(a_{n+1}x^{n+1})^k[/mm] ein x mehr "drinsteckt" also muss auch
> [mm]a_{n+1}^k=0[/mm]
?!? Wieso kann man da nichts addieren? Das ist ziemlicher Quark.
Ausserdem: in deinem "Induktionsschritt" verwendest du nicht die Induktionsvoraussetzung.
Tipp: sind $a, b$ nilpotent und gilt $a b = b a$, so ist $a + b$ nilpotent. Ueberleg dir das mal.
Dann kannst du im Induktionsschritt $f = [mm] a_{n+1} x^{n+1} [/mm] + [mm] \hat{f}$ [/mm] schreiben mit [mm] $\deg \hat{f} \le [/mm] n$; wegen [mm] $f^k [/mm] = [mm] a_{n+1} x^{k (n + 1)} [/mm] + [mm] \text{Terme niedrigerer Ordnung}$ [/mm] folgt [mm] $a_{n+1}$ [/mm] nilpotent, womit auch [mm] $a_{n+1} x^{n+1}$ [/mm] und somit [mm] $\hat{f} [/mm] = f - [mm] a_{n+1} x^{n+1}$ [/mm] nilpotent ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist [mm] $\hat{f}$ [/mm] von der passenden Form, und schon bist du fertig.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Sa 21.11.2009 | | Autor: | bolzen |
> > Aufgabe 1
> > Seien [mm]f=a_{0}+...+a_{n}x^n[/mm] und [mm]g=b_{0}+...+b_{k}x^k[/mm]
> > Polynome mit f*g=0 und [mm]g\not=[/mm] 0
> > Entweder ist f das Nullpolynom, dann kann a beliebig
> > gewählt werden, oder f ist nicht das Nullpolynom. Dann ist
> > aber R endlich.
>
> Wieso sollte dann [mm]R[/mm] endlich sein?!?
Also wenn f nicht das Nullpolynom ist, muss R endlich sein, denn ansonsten ist keine Zahl a aus R für [mm] a^n=0.
[/mm]
>
> > [mm]f*g=b_{0}f+b_{1}f+...+b_{k}f=0[/mm]
>
> Da fehlen die [mm]x[/mm]-Potenzen!
>
> > Also muss auch jeweils [mm]b_{i}f=[/mm] 0, da jedes Produkt
> > unterschiedlichen Grades ist und daher nicht addier werden
> > kann.
>
> Was genau willst du damit sagen? Ich hab grosse Zweifel,
> dass [mm]b_i f = 0[/mm] folgt.
Damit will ich sagen, dass in jedem Summanden x einen unterschiedlichen grad hat. Im ersten zB von [mm] x^1 [/mm] bis [mm] x^n. [/mm] also kann ich die einzeln nicht addieren.
>
> > Setzte [mm]a=\produkt_{i=0}^{k}b_{i}[/mm]
> >
> > fertig
>
> Warum sollte [mm]a \neq 0[/mm] sein?
das [mm] a\neq [/mm] 0 ist steht in der Aufgabe.
>
> > Aufgabe 2
> >
> > Induktion
>
> Wonach?
nach dem grad des polynoms.
>
> > Induktionsanfang
> > deg(f)=0
> > [mm]f_0^k=0=a_0^k[/mm] erfüllt
>
> Ja.
>
> > IS: deg(f)=n+1
> > [mm]f_{n+1}^k=(a_0+....+a_{n+1}x^{n+1})^k=0[/mm]
> > lässt sich auch schreiben als:
> > [mm]0=(a_{n+1}x^{n+1})^k+....[/mm]
> > und die .... kann man nicht mit dem Rest addieren, weil
> > [mm]in(a_{n+1}x^{n+1})^k[/mm] ein x mehr "drinsteckt" also muss auch
> > [mm]a_{n+1}^k=0[/mm]
>
> ?!? Wieso kann man da nichts addieren? Das ist ziemlicher
> Quark.
>
Genauso wie bei dem ersten Teil.
> Ausserdem: in deinem "Induktionsschritt" verwendest du
> nicht die Induktionsvoraussetzung.
Aer ich verwende doch, dass für ein Polynom vom grad n auch alle koeffizienten nilpotent sind.
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:52 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Aufgabe 1
> > > Seien [mm]f=a_{0}+...+a_{n}x^n[/mm] und [mm]g=b_{0}+...+b_{k}x^k[/mm]
> > > Polynome mit f*g=0 und [mm]g\not=[/mm] 0
> > > Entweder ist f das Nullpolynom, dann kann a beliebig
> > > gewählt werden, oder f ist nicht das Nullpolynom. Dann ist
> > > aber R endlich.
> >
> > Wieso sollte dann [mm]R[/mm] endlich sein?!?
>
> Also wenn f nicht das Nullpolynom ist, muss R endlich sein,
> denn ansonsten ist keine Zahl a aus R für [mm]a^n=0.[/mm]
Wieso das?!
Im Ring $K = [mm] \IR[x]/(x^2)$ [/mm] ist die Restklasse von $x$ nilpotent, und dieser Ring umfasst unendlich viele Elemente.
> > > [mm]f*g=b_{0}f+b_{1}f+...+b_{k}f=0[/mm]
> >
> > Da fehlen die [mm]x[/mm]-Potenzen!
> >
> > > Also muss auch jeweils [mm]b_{i}f=[/mm] 0, da jedes Produkt
> > > unterschiedlichen Grades ist und daher nicht addier werden
> > > kann.
> >
> > Was genau willst du damit sagen? Ich hab grosse Zweifel,
> > dass [mm]b_i f = 0[/mm] folgt.
>
> Damit will ich sagen, dass in jedem Summanden x einen
> unterschiedlichen grad hat. Im ersten zB von [mm]x^1[/mm] bis [mm]x^n.[/mm]
> also kann ich die einzeln nicht addieren.
Addieren kann man die sehr wohl. Du meinst sowas wie Zusammenfassen oder Ausklammern.
> > > Setzte [mm]a=\produkt_{i=0}^{k}b_{i}[/mm]
> > >
> > > fertig
> >
> > Warum sollte [mm]a \neq 0[/mm] sein?
>
> das [mm]a\neq[/mm] 0 ist steht in der Aufgabe.
Ja. Du sollst zeigen, dass es ein $a [mm] \neq [/mm] 0$ ist mit $a f = 0$. Bisher hast du nur ein $a$ angegeben, aber weder gezeigt dass $a [mm] \neq [/mm] 0$ ist noch dass $a f = 0$ ist.
> > > Aufgabe 2
> > >
> > > Induktion
> >
> > Wonach?
> nach dem grad des polynoms.
Sowas musst du auch dabei schreiben. Nur weil manchen Lesern (wie mir) das klar ist, ist das noch nicht allen klar.
> > Ausserdem: in deinem "Induktionsschritt" verwendest du
> > nicht die Induktionsvoraussetzung.
>
> Aer ich verwende doch, dass für ein Polynom vom grad n
> auch alle koeffizienten nilpotent sind.
Nein, das tust du nicht. Zumindest hast du nichts davon hingeschrieben.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:53 So 22.11.2009 | | Autor: | bolzen |
Ich habe jetzt Aufgabe 2 mit dem Tipp aus der ersten Antwort gelöst. Danke dafür.
Aber hat jemand eine Tipp für mich was die Aufgabe 1 angeht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 23.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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