Nullstellenform bestimmen? < z-transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Fr 27.12.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Im Zuge einer z-Transformation, bin ich auf diesen (richtigen) Term gekommen:
[mm] $\frac{Y(z)}{X(z)} [/mm] = [mm] \frac{1+z^{-1}}{1+0,1z^{-1}-0,2z^{-2}}$ [/mm] |
Hi Leute, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.!
Ich habe nun des Weiteren von obiger Ausgangsgleichung die Nullstellen des Nennerpolynoms bestimmt und dabei auf [mm] $z_1 [/mm] = [mm] -\frac12, z_2=\frac25$ [/mm] gekommen.
Nun schreibt mir mein Skript vor, dass ich die Nullstellenform bilden soll... Ich bin da aber grad irgendwie zu dumm dafür, dieses vorgehen "nachzubilden".
[mm] $\frac{Y(z)}{X(z)} [/mm] = [mm] \frac{1+z^{-1}}{(1+\frac12 z^{-1})(1-\frac25 z^{-1})}$
[/mm]
Wenn das so nun stimmen sollte, würde ich mich freun, wenn mir jemand erklären, wie ich darauf gekommen bin; ich hab da nämlich mehr oder weniger ins Blaue geraten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mo 06.01.2014 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Machen sie eine Partialbruchzerlegung von: $ [mm] \frac{z^2(z+1)}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)} [/mm] $ |
Hi Leute! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich muss von obigem Term eine Partialbruchzerlegung machen. Dazu muss ich wohl erst eine Polynomdivision machen, weil der Zählergrad = Nennergrad. Aber wie geht's? Ich hab keine Ahnung :-(
So hab ich's ausprobiert: Nullstelle vom Zähler bestimmten und dann PD durchführen:
[mm] $(z^3+z^2):(z+1)=...$
[/mm]
Oder muss ich einfach den Nenner ausmultiplizieren und durch diesen dann teilen?
Kann mir jemand helfen?
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Hallo bandchef,
> Machen sie eine Partialbruchzerlegung von:
> [mm]\frac{z^2(z+1)}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)}[/mm]
>
> Hi Leute! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich muss von obigem Term eine Partialbruchzerlegung machen.
> Dazu muss ich wohl erst eine Polynomdivision machen, weil
> der Zählergrad = Nennergrad. Aber wie geht's? Ich hab
> keine Ahnung :-(
>
> So hab ich's ausprobiert: Nullstelle vom Zähler bestimmten
> und dann PD durchführen:
>
> [mm](z^3+z^2):(z+1)=...[/mm]
>
> Oder muss ich einfach den Nenner ausmultiplizieren und
> durch diesen dann teilen?
>
Ja, das ist sinnvoll.
> Kann mir jemand helfen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mo 06.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich nun also [mm] $(z^3+z^2):(z+1)$ [/mm] berechnet habe, dann bekomme ich als Ergebnis [mm] $z^2$ [/mm] raus. Richtig?
Des Weiteren sieht das dann so aus $ [mm] \frac{z^2}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)} [/mm] $ und ich komme nach der Partialbruchzerlegung auf dieses lineare Gleichungssystem: $ [mm] \pmat{1 & 1 & 1 \\ -\frac{11}{15} & \frac16 & \frac{1}{10} \\ \frac{2}{15} & -\frac16 & -\frac15}\vmat{ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] $
Ist das lin. Gls. Richtig?
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Hallo bandchef,
> Wenn ich nun also [mm](z^3+z^2):(z+1)[/mm] berechnet habe, dann
> bekomme ich als Ergebnis [mm]z^2[/mm] raus. Richtig?
Schon, nur steht diese Rechnung gar nicht zur Debatte. Sie ist nutzlos.
> Des Weiteren sieht das dann so aus
> [mm]\frac{z^2}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)}[/mm]
Es ging um [mm] \frac{z^3+z^2}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)}=1+\frac{az^2+bz+c}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)}
[/mm]
Um den rechten Zähler zu bestimmen, ist es sinnvoll, erst einmal den Nenner auszumultiplizieren.
Für die eigentliche Partialbruchzerlegung brauchst Du dann aber wieder den schon faktorisierten Nenner.
Jetzt bestimme erstmal a,b,c, bevor Du Dich an die eigentliche Partialbruchzerlegung machst.
Grüße
reverend
> und ich komme nach der Partialbruchzerlegung auf dieses
> lineare Gleichungssystem: [mm]\pmat{1 & 1 & 1 \\ -\frac{11}{15} & \frac16 & \frac{1}{10} \\ \frac{2}{15} & -\frac16 & -\frac15}\vmat{ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Ist das lin. Gls. Richtig?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:10 Mo 06.01.2014 | | Autor: | bandchef |
> Um den rechten Zähler zu bestimmen, ist es sinnvoll, erst einmal den Nenner auszumultiplizieren.
$ [mm] \frac{z^3+z^2}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)} [/mm] = [mm] \frac{z^3+z^2}{z^3-\frac{7}{30}z^2-\frac{2}{15}z+\frac{1}{30}} [/mm] = [mm] \frac{z^3}{z^3-\frac{7}{30}z^2-\frac{2}{15}z+\frac{1}{30}} [/mm] + [mm] \frac{z^2}{z^3-\frac{7}{30}z^2-\frac{2}{15}z+\frac{1}{30}} [/mm] = ?$
Wie kommst du nur auf das +1???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
diese Aufgabe ist eine Teillösung der Aufgabe hier. Dort bitte weitermachen.
Vielen Dank und viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
ich halte es für äußerst unfair gegenüber denjenigen, die Dir hier bei der Lösung Deines Problems helfen, einen neuen Thread mit der gleichen Aufgabe aufzumachen.
Was soll denn das, außer dass es zeigt, dass Du immer noch kein Konzept zur Lösung der Aufgabe hast und all unsere Kommentare und Tipps überhaupt nicht umsetzen möchtest oder nicht kannst.
Also, an alle Hilfswilligen:
In diesem Thead geht es weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Fr 27.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich glaube da stimmt was mit Deiner Gleichung nicht. Bist Du evtl. von folgender Gleichung ausgegangen
[mm] \frac{Y(z)}{X(z)} [/mm] = [mm] \frac{1+z^{-1}}{1+0,1z^{-1}-0,2z^{-2}}
[/mm]
dann würden nämlich die Nullstellen stimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 27.12.2013 | | Autor: | bandchef |
In der Tat! Da ist mir wohl ein Fehler unterlaufen. Sorry. Ich hab im ersten Post den Fehler berichtigt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Fr 27.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Im Zuge einer z-Transformation, bin ich auf diesen
> (richtigen) Term gekommen:
>
> [mm]\frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1+z^{-1}}{1+0,1z^{-1}-0,2z^{-2}}[/mm]
>
> Hi Leute, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.!
>
> Ich habe nun des Weiteren von obiger Ausgangsgleichung die
> Nullstellen des Nennerpolynoms bestimmt und dabei auf [mm]z_1 = -\frac12, z_2=\frac25[/mm]
> gekommen.
>
> Nun schreibt mir mein Skript vor, dass ich die
> Nullstellenform bilden soll... Ich bin da aber grad
> irgendwie zu dumm dafür, dieses vorgehen "nachzubilden".
>
> [mm]\frac{Y(z)}{X(z)} = {(1+\frac12 z^{-1})(1-\frac25 z^{-1})}[/mm]
Wenn Du jetzt den Nenner ausmultiplizierst, sollte wieder [mm] 1+0,1z^{-1}-0,2z^{-2} [/mm] rauskommen. Wenn das stimmt, ist die Umformung richtig.
Allgemein gilt, wenn Du ein Polynom n-ter Ordnung hast mit Nullstellen [mm] x_i [/mm] i=1,...,n
dann hat das Polynom die Dartstellung [mm] (x-x_1)*...*(x-x_n)
[/mm]
> Wenn das so nun stimmen sollte, würde ich mich freun, wenn
> mir jemand erklären, wie ich darauf gekommen bin; ich hab
> da nämlich mehr oder weniger ins Blaue geraten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 27.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Nachdem ich nun ausmultipliziert habe, komme ich in der Tat wieder auf das Ausgangs-Nennerpolynom.
Mir ist aber dennoch immer noch schleierhaft, wie man dann auf Nullstellenform kommt; denn so wie du die allgemein Formel für eine Nullstellenform angibst, komme ich nämlich auf: [mm] $\left(z-\left(-\frac12\right)\right)\cdot\left(z-\frac25\right) [/mm] = [mm] \left(z+\frac12\right)\cdot\left(z-\frac25\right)$ [/mm] und das sieht doch ein wenig anders aus, als das was von der Lösung [mm] $(1+\frac12 z^{-1})(1-\frac25 z^{-1})$ [/mm] vorgeschlagen wird!
Edit: Jetzt glaub ich weiß ich, was da ist! Die Nullstellenform ist richtig! Nur bin ich vom umgewandelten Nennerpolynom ausgegangen! Ich hab nämlich die Eingangsgleichung mit [mm] $\frac{z^2}{z^2}$ [/mm] multipliziert und so die Nullstellen mit der Gleichung [mm] $z^2+0,1z-0,2$ [/mm] berechnet!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Fr 27.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
in der Zwischenzeit ist, so glaube ich, der Groschen gefallen. Eine Sache der Gewöhnung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:44 Fr 27.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Danke für eure Antworten!
An die Regeln für das Crossposting/Doppelposting werd ich mich halten.
Deswegen dann hier gleich noch eine Frage:
Wenn ich nun die Aufgabe weiterrechne, komme ich auf diese Gleichung aus der man ein Gleichungssystem ablesen soll:
[mm] $A_1 \cdot \left[ 1 - \frac{11}{15}z^{-1} + \frac{2}{15}z^{-2} \right] [/mm] +
[mm] A_2 \cdot \left[ 1 + \frac{1}{6}z^{-1} - \frac{1}{6}z^{-2} \right] [/mm] +
[mm] A_3 \cdot \left[ 1 + \frac{1}{10}z^{-1} - \frac{2}{10}z^{-2} \right] [/mm] = [mm] 1+1z^{-1}+0z^{-2}$
[/mm]
Das steht genau so in meiner Lösung. Wie kommt man auf das Ergebnis nach dem letzten =? Da wurde doch etwas gelassen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Fr 27.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, so sollst Du die A-Koeffizienten gerade so bestimmen, dass sich das Polynom auf der rechten Seite ergibt. Das geht am einfachsten über einen Koeffizientenvergleich.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 27.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Nein. Wenn ich in meiner Lösung weiter schaue, dann soll nicht für die [mm] A_i [/mm] ein Polynom bestimmt werden, sondern es kommen für die [mm] A_i [/mm] jeweils bestimmte Werte raus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Fr 27.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ich habe auch nicht gesagt, dass die A-Koeffizienten ein Polynom bilden, sondern sie sollen durch Koeffzientenvergleich bestimmt werden. Dies geht am einfachsten, indem Du die linke Seite der Gleichung nach Potenzen ordnest. Da tauchen dann die gesuchten Koeffizienten auf, für die Du durch Vergleich mit der rechten Seite dann entsprechende Gleichungssysteme bekommst.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Sa 28.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Hm, erstmal danke für deine neue Antwort!
Ich weiß aber irgendwie nicht, was du mit rechte, linke Seite meinst! Meinst du mit linke Seite das hier
[mm] $A_1 \cdot \left[ 1 - \frac{11}{15}z^{-1} + \frac{2}{15}z^{-2} \right] [/mm] +
[mm] A_2 \cdot \left[ 1 + \frac{1}{6}z^{-1} - \frac{1}{6}z^{-2} \right] [/mm] +
[mm] A_3 \cdot \left[ 1 + \frac{1}{10}z^{-1} - \frac{2}{10}z^{-2} \right]$
[/mm]
und mit der rechten Seite das hier [mm] $1+1z^{-1}+0z^{-2}$?
[/mm]
Also schön ausgeschrieben:
[mm] $\underbrace{A_1 \cdot \left[ 1 - \frac{11}{15}z^{-1} + \frac{2}{15}z^{-2} \right] + A_2 \cdot \left[ 1 + \frac{1}{6}z^{-1} - \frac{1}{6}z^{-2} \right] + A_3 \cdot \left[ 1 + \frac{1}{10}z^{-1} - \frac{2}{10}z^{-2} \right]}_{\text{linke Seite}} [/mm] = [mm] \underbrace{1+1z^{-1}+0z^{-2}}_{\text{rechte Seite}}$?
[/mm]
> ... für die Du durch Vergleich mit der rechten Seite dann entsprechende Gleichungssysteme bekommst.
Frage, damit ich weiter machen kann: Wie komme ich auf die rechte Seite der Gleichung? Dazu musste doch irgendwas berechnet werden, oder? Wo sind dann auf der rechten Seite die [mm] A_i [/mm] geblieben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Sa 28.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
ich denke doch, dass die rechte Seite durch die Aufgabe vorgegeben ist und du nun die Koeffzienten bestimmen sollst. Wenn das nicht so gemeint ist, dann weiß ich eben auch nicht weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Sa 28.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Ach natürlich!
Das ist in der Tat durch vorherige Rechnung schon vorgegeben! Dieses $ [mm] 1+1z^{-1}+0z^{-2}$ [/mm] ist ja gleich dem Zähler der Rechten Seite dieses Ausdrucks: $ [mm] \frac{Y(z)}{X(z)} [/mm] = [mm] \frac{1+z^{-1}}{1+0,1z^{-1}-0,2z^{-2}} [/mm] $!
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Sa 28.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, dann macht doch die Bestimmung der Koeffizienten Sinn. Passe aber auf, statt der 0,2 hast Du eine glatte Null übernommen und das würde natürlich zu einem falschen Ergenis führen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 28.12.2013 | | Autor: | bandchef |
> Passe aber auf, statt der 0,2 hast Du eine glatte Null übernommen und das würde natürlich zu einem falschen Ergenis führen.
Hm, wie gesagt gehe ich von dieser Gleichung (spezieller: Zähler) aus: $ [mm] \frac{Y(z)}{X(z)} [/mm] = [mm] \frac{1+z^{-1}}{1+0,1z^{-1}-0,2z^{-2}} [/mm] $. Wenn man nun den Zähler betrachtet, ist der Faktor [mm] $z^{-2} [/mm] $ gleich 0.
Ich hab mich nun durch das Gleichungssystem gearbeitet und auf die selben Lösungswerte wie in der Lösung gekommen. [mm] $A_1 [/mm] = [mm] \frac13, A_2 [/mm] = [mm] \frac{28}{3}, A_3 [/mm] = -8$
Nun setze ich das in eine Gleichung ein, die ich schon vorher berechnet habe:
[mm] $\frac{\frac13}{1+\frac12 z^{-1}} [/mm] + [mm] \frac{\frac{28}{3}}{1-\frac25 z^{-1}} [/mm] + [mm] \frac{\frac13}{1-\frac13 z^{-1}}$
[/mm]
So und jetzt die letzte Frage: Nachdem nun die Werte wie oben eingesetzt wurden, steht in meiner Lösung nun noch die folgende Zeile, welche wohl aus der oberen Zeile folgt. Diese u(n) ist bei uns in der Vorlesung der Einheitsimpuls! Ist da irgendwie mit den korrespondierenden Funktionen gearbeitet worden?
> Passe aber auf, statt der 0,2 hast Du eine glatte Null übernommen und das würde natürlich zu einem falschen Ergenis führen.
Hm, wie gesagt gehe ich von dieser Gleichung (spezieller: Zähler) aus: $ [mm] \frac{Y(z)}{X(z)} [/mm] = [mm] \frac{1+z^{-1}}{1+0,1z^{-1}-0,2z^{-2}} [/mm] $. Wenn man nun den Zähler betrachtet, ist der Faktor [mm] $z^{-2} [/mm] $ gleich 0.
Ich hab mich nun durch das Gleichungssystem gearbeitet und auf die selben Lösungswerte wie in der Lösung gekommen. [mm] $A_1 [/mm] = [mm] \frac13, A_2 [/mm] = [mm] \frac{28}{3}, A_3 [/mm] = -8$
Nun setze ich das in eine Gleichung ein, die ich schon vorher berechnet habe:
[mm] $\frac{\frac13}{1+\frac12 z^{-1}} [/mm] + [mm] \frac{\frac{28}{3}}{1-\frac25 z^{-1}} [/mm] + [mm] \frac{\frac13}{1-\frac13 z^{-1}}$
[/mm]
So und jetzt die letzte Frage: Nachdem nun die Werte wie oben eingesetzt wurden, steht in meiner Lösung nun noch die folgende Zeile, welche wohl aus der oberen Zeile folgt. Diese u(n) ist bei uns in der Vorlesung der Einheitsimpuls! Ist da irgendwie mit den korrespondierenden Funktionen gearbeitet worden?
$y(n) = [mm] \underbrace{-\frac13}_{=A_1} \cdot \underbrace{\left(-\frac12 \right)^n\cdot u(n)}_{?} [/mm] + [mm] \underbrace{\frac{28}{3}}_{=A_2} \cdot \underbrace{\left(\frac25\right)^n\cdot u(n)}_{?} \underbrace{- 8}_{=A_3} \cdot \underbrace{\left(\frac13\right)^n\cdot u(n)}_{?}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Sa 28.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> > Passe aber auf, statt der 0,2 hast Du eine glatte Null
> übernommen und das würde natürlich zu einem falschen
> Ergenis führen.
>
> Hm, wie gesagt gehe ich von dieser Gleichung (spezieller:
> Zähler) aus: [mm]\frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1+z^{-1}}{1+0,1z^{-1}-0,2z^{-2}} [/mm].
> Wenn man nun den Zähler betrachtet, ist der Faktor [mm]z^{-2}[/mm]
> gleich 0.
>
>
>
> Ich hab mich nun durch das Gleichungssystem gearbeitet und
> auf die selben Lösungswerte wie in der Lösung gekommen.
> [mm]A_1 = \frac13, A_2 = \frac{28}{3}, A_3 = -8[/mm]
>
> Nun setze ich das in eine Gleichung ein, die ich schon
> vorher berechnet habe:
>
> [mm]\frac{\frac13}{1+\frac12 z^{-1}} + \frac{\frac{28}{3}}{1-\frac25 z^{-1}} + \frac{\frac13}{1-\frac13 z^{-1}}[/mm]
>
>
>
> So und jetzt die letzte Frage: Nachdem nun die Werte wie
> oben eingesetzt wurden, steht in meiner Lösung nun noch
> die folgende Zeile, welche wohl aus der oberen Zeile folgt.
> Diese u(n) ist bei uns in der Vorlesung der Einheitsimpuls!
> Ist da irgendwie mit den korrespondierenden Funktionen
> gearbeitet worden?
>
> > Passe aber auf, statt der 0,2 hast Du eine glatte Null
> übernommen und das würde natürlich zu einem falschen
> Ergenis führen.
>
> Hm, wie gesagt gehe ich von dieser Gleichung (spezieller:
> Zähler) aus: [mm]\frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1+z^{-1}}{1+0,1z^{-1}-0,2z^{-2}} [/mm].
> Wenn man nun den Zähler betrachtet, ist der Faktor [mm]z^{-2}[/mm]
> gleich 0.
>
>
>
> Ich hab mich nun durch das Gleichungssystem gearbeitet und
> auf die selben Lösungswerte wie in der Lösung gekommen.
> [mm]A_1 = \frac13, A_2 = \frac{28}{3}, A_3 = -8[/mm]
Ich habe für [mm] A_1=-\bruch13 [/mm] heraus.
> Nun setze ich das in eine Gleichung ein, die ich schon
> vorher berechnet habe:
>
> [mm]\frac{\frac13}{1+\frac12 z^{-1}} + \frac{\frac{28}{3}}{1-\frac25 z^{-1}} + \frac{\frac13}{1-\frac13 z^{-1}}[/mm]
>
Muss im drittwen Term nicht -8 im Zähler stehen?
>
> So und jetzt die letzte Frage: Nachdem nun die Werte wie
> oben eingesetzt wurden, steht in meiner Lösung nun noch
> die folgende Zeile, welche wohl aus der oberen Zeile folgt.
> Diese u(n) ist bei uns in der Vorlesung der Einheitsimpuls!
> Ist da irgendwie mit den korrespondierenden Funktionen
> gearbeitet worden?
>
> [mm]y(n) = \underbrace{-\frac13}_{=A_1} \cdot \underbrace{\left(-\frac12 \right)^n\cdot u(n)}_{?} + \underbrace{\frac{28}{3}}_{=A_2} \cdot \underbrace{\left(\frac25\right)^n\cdot u(n)}_{?} \underbrace{- 8}_{=A_3} \cdot \underbrace{\left(\frac13\right)^n\cdot u(n)}_{?}[/mm]
Das kann ich leider nicht beantworten, da mir irgendwie der Überblick über die gesamte Aufgabe fehlt. Du hast ja immer nur stückchenweise Teile der Aufgabe preisgegeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 So 29.12.2013 | | Autor: | bandchef |
> Ich habe für [mm] A_1=-\bruch13 [/mm] heraus.
Richtig. Ich auch. Ich habe nur das - vergessen.
> Muss im drittwen Term nicht -8 im Zähler stehen?
Auch wieder richtig. Da ist mir ein Copy&Paste-Fehler unterlaufen!
> Das kann ich leider nicht beantworten, da mir irgendwie der Überblick über die gesamte Aufgabe fehlt. Du hast ja immer nur stückchenweise Teile der Aufgabe preisgegeben.
Ich werd mir heute mal die Mühe machen die gesamte Aufgabe hier rein zu tippen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 29.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
So Leute, dann hier mal meine komplette berechnete Aufgabe:
Gegeben:
$y(n) = -0,1 \cdot y(n-1) + 0,2 \cdot y(n-2) + x(n) + x(n-1)$
$x(n) = \left(\frac{1}{3}^n\right) \cdot u(n) \text{ korrespondiert mit } x(z) = \frac{1}{1-\frac13 \cdot z^{-1}}$
x(z) = \frac{1}{1-\frac13 \cdot z^{-1}} \Leftrightarrow x(z) = \frac{z^2}{z^2-\frac13 \cdot z}$
$y(n) = -0,1 \cdot y(n-1) + 0,2 \cdot y(n-2) + x(n) + x(n-1) \Rightarrow \frac{y(z)}{x(z)} = \frac{1+z^{-1}}{1+0,1z^{-1}-0,2z^{-2}} \Leftrightarrow H(z) = \frac{z^2+z}{z^2+0,1z-0,2}$
Nullstellen des Nenners von H(z) (die Berechnung lass ich außen vor, weil trivial: $z_1 = -\frac12, z_2=\frac25$
Nullstellen des Nenners vom gegebenen x(z) (die Berechnung lass ich außen vor, weil trivial: $z_1 = 0, z_2=\frac13$
${\color{red}x(z)} = H(z) = \frac{z^2+z}{(z-(-\frac12))(z-\frac25){\color{red}(z-\frac13)}} = y(z)$
(Diese Formel direkt hier drüber, verstehe ich nicht. Woher weiß ich, dass dieses "neue" H(z) ja so gleich dem alten H(z) ist obwohl hier nun das durch die Aufgabenstellung gegbene x(z) mit im Nenner als Nullstellenform drin steht? Und vor allem. Warum ist das alles dann gleich y(z)?
Genauso stellt sich mir die Frage, woher man anfangs schon weiß, dass man beim gegeben x(z) die Nullstellen berechnen muss??!?!? Aber gut. Jetzt mal weiter mit der Aufgabe.)
${\color{green}\Leftrightarrow \frac{A_1}{z+\frac12} + \frac{A_2}{z-\frac25} + \frac{A_3}{z-\frac13}} = y(z)$
$\Leftrightarrow A_1\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right) + A_2\left(z+\frac12}\right)\left(z-\frac13\right) + A_3\left(z+\frac12\right)\left(\frac{A_2}{z-\frac25}\right) = y(z)$
$\Leftrightarrow A_1\left[z^2-\frac{11}{15}z+\frac{2}{15}\right] + A_2\left[z^2-\frac{1}{6}z+\frac{1}{6}\right] + A_3\left[z^2-\frac{1}{10}z+\frac{1}{5}\right] = \underbrace{1z^2+1z+0}_{=y(z)}$
Hier nun lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen. Ich gebe nur wieder die Lösungen an, weil das Lösen des System ja trivial ist: $A_1 = -\frac13, A_2 = \frac{28}{3}, A_3 = -8$
Nun setze ich die berechneten Lösungen für die $A_i$ in den grün markierten Term ein:
$\Rightarrow \frac{-\frac13}{z+\frac12} + \frac{\frac{28}{3}}{z-\frac25} + \frac{-8}{z-\frac13}$
So und jetzt hier am Schluss die letzte Frage: Nachdem nun die Werte wie oben eingesetzt wurden, steht in meiner Lösung nun noch die folgende Zeile, welche wohl aus der oberen Zeile folgt. Dieses u(n) ist bei uns in der Vorlesung der Einheitsimpuls! Ist da irgendwie mit den korrespondierenden Funktionen gearbeitet worden?
$ y(n) = \underbrace{-\frac13}_{=A_1} \cdot \underbrace{\left(-\frac12 \right)^n\cdot u(n)}_{?} + \underbrace{\frac{28}{3}}_{=A_2} \cdot \underbrace{\left(\frac25\right)^n\cdot u(n)}_{?} \underbrace{- 8}_{=A_3} \cdot \underbrace{\left(\frac13\right)^n\cdot u(n)}_{?} $
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Hi!
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> [mm]\Rightarrow \frac{-\frac13}{z+\frac12} + \frac{\frac{28}{3}}{z-\frac25} + \frac{-8}{z-\frac13}[/mm]
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> So und jetzt hier am Schluss die letzte Frage: Nachdem nun
> die Werte wie oben eingesetzt wurden, steht in meiner
> Lösung nun noch die folgende Zeile, welche wohl aus der
> oberen Zeile folgt. Dieses u(n) ist bei uns in der
> Vorlesung der Einheitsimpuls! Ist da irgendwie mit den
> korrespondierenden Funktionen gearbeitet worden?
>
> [mm]y(n) = \underbrace{-\frac13}_{=A_1} \cdot \underbrace{\left(-\frac12 \right)^n\cdot u(n)}_{?} + \underbrace{\frac{28}{3}}_{=A_2} \cdot \underbrace{\left(\frac25\right)^n\cdot u(n)}_{?} \underbrace{- 8}_{=A_3} \cdot \underbrace{\left(\frac13\right)^n\cdot u(n)}_{?}[/mm]
Ja, hier wurden die entsprechenden Korrespondenzen angewandt.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mo 30.12.2013 | | Autor: | bandchef |
> Ja, hier wurden die entsprechenden Korrespondenzen angewandt.
Also wenn ich das dann richtig durchschaut habe, besteht dieses
$ y(n) = [mm] \underbrace{-\frac13}_{=A_1} \cdot \underbrace{\left(-\frac12 \right)^n\cdot u(n)}_{?} [/mm] + [mm] \underbrace{\frac{28}{3}}_{=A_2} \cdot \underbrace{\left(\frac25\right)^n\cdot u(n)}_{?} \underbrace{- 8}_{=A_3} \cdot \underbrace{\left(\frac13\right)^n\cdot u(n)}_{?} [/mm] $
aus
$ [mm] \frac{-\frac13}{z+\frac12} [/mm] + [mm] \frac{\frac{28}{3}}{z-\frac25} [/mm] + [mm] \frac{-8}{z-\frac13} [/mm] $
Richtig?
Dann könnte man also so schreiben:
$y(n) = [mm] -\frac13 \cdot \underbrace{\frac{1}{z+\frac12}}_{=?} [/mm] + [mm] \frac{28}{3} \cdot \underbrace{\frac{1}{z-\frac25}}_{=?} [/mm] - 8 [mm] \cdot \underbrace{\frac{1}{z-\frac13}}_{=?} \Leftrightarrow [/mm] y(n) = ...?$
Nun müsste ich quasi nur noch wissen, wie ich die mit "=?" gekennzeichneten Teile der Gleichung auf die Korrespondenz [mm] $x(z)=\left(\frac{1}{3}\right)^n \cdot [/mm] u(n)$ anwende.
-> Wie geht das? Woher weiß man, dass "ausgerechnet" diese Teil dieser Gleichung mit der Korrespondenz von x(z) ersetzt werden können, noch dazu mit den Brüchen welche im Nenner der noch nicht ganz fertigen Gleichung stehen??? Wisst ihr was ich meine?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
endlich haben wir mal die komplette Aufgabe und daraus kann man natürlich schon so einiges erkennen. Was Dir fehlt, ist das Konzept zur Berechnung der Rücktransformierten einer z-Korrespondenz und dafür gibt es auch verschiedene Wege. Die einfachste, wenn anwendbar, ist die Zerlegung in Partialbrüche mit anschließender Rücktransformation mithilfe der Korrespondenztabelle. Solch eine Tabelle hast Du sicherlich vorliegen, sonst hättest Du kaum die z-Transformierte der Eingangsfolge einfach mal so hingeschrieben.
Die Vorgehensweise gliedert sich also in zwei Schrite auf. Man bestimmt erst die z-Transformierte der Übertragungsfunktion H(z) und die z-Transformierte der Eingangsfolge.
Die z-Transformierte der Ausgangsfolge ergibt sich dann aus der Multiplikation der beiden z-Transformierten. Diese z-Transformierte transformiert man dann wieder mit Hilfe der Partialbruchzerlegung in den diekreten Zeitbereich zurück.
Aus der Differenzengleichung hast Du ja bereits die Übertragungsfunktion berechnet:
[mm] H(z) = \bruch{Y(z)}{X(z)} = \bruch{z(1+z)}{(z+ \bruch{1}{2})(z - \bruch{2}{5})} [/mm]
Für X(z) hast Du über die Korrespondenztabelle erhalten
[mm] X(z) = \bruch{z}{z - \bruch{1}{3}} [/mm]
und beides multipliziert ergibt
die z-Transformierte der Ausgangsfolge:
[mm] Y(z) = \bruch{z(1+z)}{(z+ \bruch{1}{2}) (z - \bruch{2}{5})} \cdot \bruch{z}{z - \bruch{1}{3}} [/mm]
Jetzt erkennst Du auch, wo der dritte Term im Nenner herkommt und natürlich ist X(z) nicht gleich Y(z).
Für die Rücktransformation von Y(z) kommt jetzt die Partialbruchzerlegung ins Spiel. Hier ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad, Du musst also erst mal Zähler durch Nenner dividieren und von dem dann enstehenden Restglied eine Patrialbruchzerlegung mit Koeffzientenvergleich durchführen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 31.12.2013 | | Autor: | bandchef |
> Für X(z) hast Du über die Korrespondenztabelle erhalten $ X(z) = [mm] \bruch{z}{z - \bruch{1}{3}} [/mm] $
Tja, da hast du wohl was sehr interessantes geschrieben! Jetz verstehe ich das auch eher!
Ich weiß jetzt nur irgendwie nicht, wie du auf
$ X(z) = [mm] \bruch{z}{z - \bruch{1}{3}} [/mm] $ kommst.
Durch die Aufgabe gegeben ist: $ X(z) = [mm] \left( \frac{1}{3} \right)^n \cdot [/mm] u(n)
Die Korrespondenz dazu lautet: $X(z) = [mm] \frac{z^2}{z^2-\frac13z}$
[/mm]
Wie kommst du nun zu: $ X(z) = [mm] \bruch{z}{z - \bruch{1}{3}} [/mm] $?
Die berechnest vom Nenner Nullstellen und machst damit dann die Nullstellenform. Aber wie kommst du zu diesem Zähler? Der lautet doch dann nach wie vor [mm] $z^2$, [/mm] oder?
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> Tja, da hast du wohl was sehr interessantes geschrieben!
> Jetz verstehe ich das auch eher!
Es wäre in Zunkunft hilfreich, die gesamte Aufgabenstellung widerzugeben.
> Ich weiß jetzt nur irgendwie nicht, wie du auf
> [mm]X(z) = \bruch{z}{z - \bruch{1}{3}}[/mm] kommst.
>
> Durch die Aufgabe gegeben ist: $ X(z) = [mm]\left( \frac{1}{3} \right)^n \cdot[/mm]
> u(n)
>
> Die Korrespondenz dazu lautet: [mm]X(z) = \frac{z^2}{z^2-\frac13z}[/mm]
Nein.
Für die Diskrete Folge: [mm] $y[k]=a^k \cdot \epsilon[k]$
[/mm]
lautet die entsprechende Korrespondenz:
[mm] $Y(z)=\frac{z}{z-a}$
[/mm]
Wobei ich mit [mm] $\epsilon[k]$ [/mm] den diskreten Einheitsimpuls.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Di 31.12.2013 | | Autor: | bandchef |
In meiner Lösung steht die Korrespondenz so:
$X(n) = [mm] \left( \frac13 \right)^n \cdot [/mm] u(n)$ korrespondiert mit $X(z) = [mm] \frac{1}{1-\frac13\cdot z^{-1}} \underbrace{=}_{\cdot \frac{z^2}{z^2}} \frac{z^2}{z^2-\frac13 z}$
[/mm]
Wenn ich da nun vom Nenner die Nullstellen berechne, komme ich auf 0 und [mm] \frac13. [/mm] Für das dann die Nullstellenform angegeben, bin ich bei: $X(z) = [mm] \frac{z^2}{z-\frac13}$
[/mm]
Edit: Sorry, bitte nicht weiter beachten. Steht alles nochmal in einer richtigen Frage an euch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Di 31.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Ich kapiers nicht.
In meiner Korrespondenzentafel steht: u(n) korrespondiert mit [mm] $\frac{1}{1-z^{-1}}$
[/mm]
In meiner Lösung steht: $X(n) = [mm] \left(\frac13\right)^n \cdot [/mm] u(n)$ korrespondiert mit $X(z) = [mm] \frac{1}{1-\frac13 \cdot z^{-1}} [/mm] = [mm] \frac{z^2}{z^2-\frac13 z} [/mm] = [mm] \frac{z^2}{z \cdot \left( z-\frac13 \right)} [/mm] = [mm] \frac{z}{\left( z-\frac13 \right)}$
[/mm]
Davon nun die Nullstellenform (was' ja eh schon ist!): $X(z) = [mm] \frac{z}{\left(z-\frac13\right)}$.
[/mm]
Nun dieses X(z) eingesetzt:
$y(z) = [mm] \frac{z^2+z}{\left(z-\frac12\right)\left(z-\25\right)} \cdot \frac{z}{\left(z-\frac13\right)}$
[/mm]
In meiner Lösung steht aber: $y(z) = [mm] \frac{z^2+z}{\left(z-\frac12\right)\left(z-\25\right)} \cdot \frac{1}{\left(z-\frac13\right)}$
[/mm]
Bzw. es steht so in meiner Lösung: $y(z) = [mm] \frac{1+z^{-1}}{\left(1+\frac12 z^{-1}\right)\left(1-\frac25 z^{-1}\right)\left(1-\frac13 z^{-1}\right)}$ [/mm] Ich wandle es nur immer in die gewohntere Schreibweise um, was ja wohl nicht das Problem sein sollte.
Kann mir nun bitte jemand erklären, wo hier nun der Fehler ist? Ist der Fehler in meiner Lösung oder wo anders?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mi 01.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
bislang habe ich folgende Größen identifizieren können, die grossen Buchstaben bezeichnen jeweils die Z-Transformierte.
(1) [mm] \bruch{Y(z)}{X(z)}=\bruch{ 1+z^{-1} }{ 1+0.1z^{-1}-0.2z^{-2} }
[/mm]
(2) [mm] X(z)=\bruch{ 1 }{ 1-\bruch {1}{3}z^{-1} }
[/mm]
ergibt
(3) [mm] Y(z)=\bruch{ 1+z^{-1} }{ 1+0.1z^{-1}-0.2z^{-2} }*X(z)
[/mm]
Jetzt X(z) aus (2) in (3) einsetzen und vereinfachen ergibt
(4) [mm] Y(z)=\bruch{ z^2(z+1) }{ (z+\bruch{1}{2})(z-\bruch{2}{5})(z-\bruch{1}{3}) }
[/mm]
also weder das was Du gerechnet hast noch Deine Musterlösung.
Du hast in Deiner Beschreibung sehr viel Flüchtigkeitsfehler, schau da noch mal genauer hin. Da steht bei der Nullstelle mal [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] und mal [mm] +\bruch{1}{2}. [/mm] Die Nullstelle [mm] \bruch{2}{5} [/mm] erscheint mal als 5. Das ist das, was ich auf die Schnelle gesehen habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Fr 03.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Jetzt komme ich auch auf dein Ergebnis. Die Flüchtigkeitsfehler waren nur im LaTeX-Code; auf meinem Blatt ist alles richtig, so wie es sich gehört.
Nun hab ich noch eine Frage:
Damit ich am Schluss zu der Gleichung $ y(n) = [mm] \underbrace{-\frac13}_{=A_1} \cdot \underbrace{\left(-\frac12 \right)^n\cdot u(n)}_{?} [/mm] + [mm] \underbrace{\frac{28}{3}}_{=A_2} \cdot \underbrace{\left(\frac25\right)^n\cdot u(n)}_{?} \underbrace{- 8}_{=A_3} \cdot \underbrace{\left(\frac13\right)^n\cdot u(n)}_{?} [/mm] $ komme, muss ich ja quasi die korrespondenzen berechnen:
[mm] $\frac{1}{z+\frac12}$ [/mm] korrespondiert mit [mm] $\left(-\frac12\right)^n \cdot [/mm] u(n)$
[mm] $\frac{1}{z-\frac25}$ [/mm] korrespondiert mit [mm] $\left(\frac25\right)^n \cdot [/mm] u(n)$
[mm] $\frac{1}{z-\frac15}$ [/mm] korrespondiert mit [mm] $\left(\frac13\right)^n \cdot [/mm] u(n)$
Wie ist da nun die Bildunsregel hierzu? Ich hab hier keine Bildunsregel angewendet, sondern eher die richtigen Zahlen an der richtigen Stelle verändert 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
wie Du auf diese Korrespondenzen kommst, weiß ich bis heute nicht, Du aber ja augenscheinlich auch nicht.
Zur Folge
[mm] a^n U(n)[/mm] gehört die Korrespondenz
[mm] \bruch{1}{1-az^{-1}} = \bruch{z}{z-a} [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 So 05.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Ok. Es könnte sein, dass hier der Hase begraben liegt.
> Hallo bandchef,
> wie Du auf diese Korrespondenzen kommst, weiß ich bis heute nicht, Du aber ja > augenscheinlich auch nicht.
> Zur Folge
> [mm] a^n U(n)[/mm] gehört die Korrespondenz
> [mm] \bruch{1}{1-az^{-1}} = \bruch{z}{z-a} [/mm]
> Viele Grüße,
> Infinit
>
Was ich einfach nicht verstehe ist, warum dann durch einen Tafelanschrieb folgendes in meinem Aufschrieb gelangt ist:
$x(n) = [mm] \left( \frac13 \right)^n \cdot [/mm] u(n)$ korrespondiert mit $x(z) = [mm] \frac{1}{1-\frac13 \cdot z^{-1}} [/mm] = [mm] \frac{z}{z-\frac13}$
[/mm]
UND VOR ALLEM: In meinem Vorlesungsskript steht sogar folgende Korrespondenz [mm] $\frac{1}{1-az^{-1}} \multimap a^n [/mm] u(n)$
Somit ist also klar, dass der Fehler noch irgendwo anders liegen muss.
Nun nochmal meine Frage:
Wenn ich am Schluss nun das Gleichungssystem gelöst habe und die korrekten Werte für [mm] A_1, A_2 [/mm] und [mm] A_3 [/mm] berechnet habe, setze ich diese [mm] A_i [/mm] Werte (in die grün markierte Formel im Beitrag meiner Aufgabe) ein und komme so auf:
$y(z) = [mm] \frac{A_1}{z+\frac12} [/mm] + [mm] \frac{A_2}{z-\frac25} [/mm] + [mm] \frac{A_1}{z-\frac13} \Leftrightarrow [/mm] y(z) = [mm] \frac{-\frac13}{z+\frac12} [/mm] + [mm] \frac{\frac{28}{3}}{z-\frac25} [/mm] + [mm] \frac{-8}{z-\frac13} \Leftrightarrow$
[/mm]
Als nächster Schritt wird dann also (irgendwie) die Korrespondenz mit der Einheitssprungfunktion angewendet und dort steht nun mal in meiner Lösung:
$ y(n) = [mm] \underbrace{-\frac13}_{=A_1} \cdot \underbrace{\left(-\frac12 \right)^n\cdot u(n)}_{?} [/mm] + [mm] \underbrace{\frac{28}{3}}_{=A_2} \cdot \underbrace{\left(\frac25\right)^n\cdot u(n)}_{?} \underbrace{- 8}_{=A_3} \cdot \underbrace{\left(\frac13\right)^n\cdot u(n)}_{?} [/mm] $
MEINE FRAGE: Wie komme ich HIER auf den Teil der mit einem "?" markiert ist??? Was wurde hier gemacht? Es hat augenscheinlich etwas mit den Korrespondenzen zu tun! Aber ich weiß nicht wie's gemacht wurde!
Könnt ihr mir das anschaulich erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 So 05.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Partialbruchzerlegung von
[mm] \bruch{z^2*(z+1)}{(z+\bruch{1}{2})(z-\bruch{2}{5})(z-\bruch{1}{3})} [/mm] lautet
[mm] \bruch{1}{3(2z+1)}-\bruch{8}{3z-1}+\bruch{56}{3(5z-2)}+1
[/mm]
Die inverse Z-Transformierte von
[mm] \bruch{\alpha}{z-\beta} [/mm] lautet [mm] \alpha*\beta^{n-1}*u(n-1)=\bruch{\beta^n}{\beta}\left(u(n)-\delta(n)\right)
[/mm]
Jetzt für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] die richtigen Werte einsetzen und weiter rechnen, dann kommst Du auf das Ergebnis.
u(n)=Einheitssprung
[mm] \delta(n)=Einheitsimpuls
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 05.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Du schreibst, dass die Partialbruchzerlegung so lautet: $ [mm] \bruch{1}{3(2z+1)}-\bruch{8}{3z-1}+\bruch{56}{3(5z-2)}+1 [/mm] $
Ist dann an dieser Stelle meine Lösung schon falsch? Denn diese lautet:
$ [mm] ...\Leftrightarrow [/mm] y(z) = [mm] \frac{-\frac13}{z+\frac12} [/mm] + [mm] \frac{\frac{28}{3}}{z-\frac25} [/mm] + [mm] \frac{-8}{z-\frac13} \Leftrightarrow [/mm] $
Edit:
Zusatzfrage: Gilt auch dieser Zusammenhang? $ [mm] \alpha\cdot{}\beta^{n}\cdot{}u(n) [/mm] =...$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 So 05.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Ich hab dann mal die Partialbruchzerlegung nochmal gemacht und dabei auf folgendes gekommen:
[mm] $\frac{z^2(z+1)}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)} [/mm] = [mm] \frac{A_1}{z+\frac12} [/mm] + [mm] \frac{A_2}{z-\frac25} [/mm] + [mm] \frac{A_3}{z-\frac13} [/mm] = [mm] A_1\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right) [/mm] + [mm] A_2\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac13\right) [/mm] + [mm] A_3\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)$
[/mm]
Daraus ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
[mm] $\pmat{1 & 1 & 1 \\ -\frac{11}{15} & \frac16 & \frac{1}{10} \\ \frac{1}{15} & -\frac16 & -\frac15}\vmat{ 1 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
Mit den folgenden Lösungen: [mm] $A_3 [/mm] = -8, [mm] A_2 [/mm] = [mm] \frac{28}{3}, A_3 [/mm] = [mm] -\frac13$
[/mm]
Ist das jetzt richtig? Denn: Wenn ich nun meine gelöste [mm] A_i [/mm] in [mm] $\frac{A_1}{z+\frac12} [/mm] + [mm] \frac{A_2}{z-\frac25} [/mm] + [mm] \frac{A_3}{z-\frac13}$ [/mm] einsetze komm ich nicht auf dein vorgeschlagenes Ergebnis, dass da lautet: $ [mm] \bruch{1}{3(2z+1)}-\bruch{8}{3z-1}+\bruch{56}{3(5z-2)}+1 [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 So 05.01.2014 | | Autor: | bandchef |
> Ja, das ist falsch.
Hm, ok. Wenn das falsch ist, ist wohl die Musterlösung hinüber.
Aber: Wie kommt man auf dein Ergebnis? Vor allem dieses +1 an der letzten Stelle macht mir "Magenschmerzen". Die zu meiner "Lösung" unterschiedlichen Nenner könnte man ja auf ein Fehlerhaftes Gleichungssystem zurückführen, aber dieses +1?
Ich hab übrigens in der Antwort über der hier eine ausführliche Rechnung der Partialbruchzerlegung gemacht. Vielleicht kannst du mir dort einen Tip geben, wo ich verbessern muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 So 05.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
Deine Lösung kann nicht richtig sein. Denn bei Deiner Partialbruchzerlegung steht auf der linken Seite ein Polynom 3-ten Grades im Zähler
[mm] \frac{z^2(z+1)}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)} [/mm] = [mm] \frac{A_1}{z+\frac12} [/mm] + [mm] \frac{A_2}{z-\frac25} [/mm] + [mm] \frac{A_3}{z-\frac13} [/mm] = [mm] A_1\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right) [/mm] + [mm] A_2\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac13\right) [/mm] + [mm] A_3\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)
[/mm]
und auf der rechten Seite ein Polynom 2-ten Grades. Den Nenner hast Du aber vergessen. Du musst vorher eine Polynomdivision durchführen, s. ![[]](/images/popup.gif) hier
Du kannst ja in einer Rückwärtsrechnung überprüfen, ob die Partialbruchzerlegung stimmt, indem Du alles wieder auf einen Hauptnenner bringst, dann sollte ja das Ursprungspolynom wieder herauskommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mo 06.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Hi Leute!
Wenn ich nun eine Polynomdivision des Zählers des obigen Polynoms durchführen möchte, habe ich jetzt hier erste eine mögliche Nullstelle berechnete und dann ausmultipliziert:
[mm] $\text{ }z^2(z+1) \Rightarrow z_1 [/mm] = -1$
[mm] $z^2(z+1) [/mm] = [mm] z^3 [/mm] + [mm] z^2$
[/mm]
Aus der Nullstelle und der ausmultplizierten Form Teile ich dann das Polynom des Zählers durch die bekannte Nullstelle und führe dann die Polynomdivision durch und komme dabei du zu folgendem Ergebnis:
[mm] $\thickspace (z^3+z^2):(z-(-1)) [/mm] = [mm] z^2$
[/mm]
[mm] $-(z^3+z^2)$
[/mm]
$0$
Als Ergebnis komme ich dann auf dieses neue Polynom: $ [mm] \frac{z^2}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)} [/mm] $
Partialbruchzerlegung: $ [mm] \frac{z^2}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)} [/mm] $ = $ [mm] \frac{A_1}{z+\frac12} [/mm] $ + $ [mm] \frac{A_2}{z-\frac25} [/mm] $ + $ [mm] \frac{A_3}{z-\frac13} [/mm] $ = $ [mm] A_1\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right) [/mm] $ + $ [mm] A_2\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac13\right) [/mm] $ + $ [mm] A_3\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right) [/mm] = [mm] A_1\left[1z^2+\frac{11}{15}z+\frac{2}{15}\right] [/mm] + [mm] A_2\left[1z^2+\frac{1}{6}z-\frac{1}{6}\right] [/mm] + [mm] A_3\left[1z^2+\frac{1}{10}z-\frac{1}{5}\right] [/mm] = [mm] 1z^2+0z+0$
[/mm]
Nach der Partialbruchzerlegung komme ich auf folgendes lin. Gls.:
$ [mm] \pmat{1 & 1 & 1 \\ -\frac{11}{15} & \frac16 & \frac{1}{10} \\ \frac{2}{15} & -\frac16 & -\frac15}\vmat{ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] $
Stimmt das soweit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hi bandchef,
Dein Herumspielen mit den Nullstellen des Zählerpolynoms ist zwar recht nett, trägt aber nichts zur Lösung der eigentlichen Aufgabe bei.
Was Du brauchst, ist die Polynomdivision von
[mm] z^3+z^2 [/mm] durch Deinen ausmultiplizierten Nenner, um sicherzustellen, dass bei der anschließenden Patrialbruchterlegung der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners.
Ich komme da auf folgenden Ausdruck:
[mm] (z^3+z^2) : (z^3 - \bruch{7}{30}z^2 - \bruch{7}{30}z + \bruch{2}{30})[/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Di 07.01.2014 | | Autor: | bandchef |
> Ich komme da auf folgenden Ausdruck: $ [mm] (z^3+z^2) [/mm] : [mm] (z^3 [/mm] - [mm] \bruch{7}{30}z^2 [/mm] - [mm] \bruch{7}{30}z [/mm] + [mm] \bruch{2}{30}) [/mm] $
Wenn ich nun deinem Tip folge,
komm ich nach der Polynomdivision auf folgenden Term:
[mm] $1+\frac{\frac{37}{30}z^2+\frac{7}{30}-\frac{1}{15}}{z^3-\frac{7}{30}z^2-\frac{7}{30}z+\frac{1}{15}}$
[/mm]
Wie macht man nun hier eine Partialbruchzerlegung?
Mich stört da nämlich jetzt dieses 1+...
Ich kann da ja jetzt einfach den Nenner durch den faktorisierten Nenner darstellen
und danach dann den Zähler durch die [mm] A_i [/mm] ersetzen, quasi so:
[mm] $1+\frac{\frac{37}{30}z^2+\frac{7}{30}-\frac{1}{15}}{z^3-\frac{7}{30}z^2-\frac{7}{30}z+\frac{1}{15}} [/mm] = [mm] 1+\frac{\frac{37}{30}z^2+\frac{7}{30}-\frac{1}{15}}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)} [/mm] = 1+ [mm] \frac{A_1}{z+\frac12} [/mm] + [mm] \frac{A_2}{z-\frac25} [/mm] + [mm] \frac{A_3}{z-\frac13} [/mm] =
[mm] A_1\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right) [/mm] + [mm] A_2\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac13\right) [/mm] + [mm] A_3\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right) [/mm] + [mm] \left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)$
[/mm]
Wie erstelle ich hieraus nun des lineare Gleichungssystem?
Was muss ich dabei mit den letzten Teilterm [mm] $\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)$ [/mm] machen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Di 07.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
das sieht doch schon mal gut aus. Denke bitte dran, dass wir hier im z-Bereich noch arbeiten, die 1 stört nicht weiter, die wird bei der Rücktransformation in den Folgenbereich zu einem Dirac-Impuls.
Es genügt also zunächst einmal, sich um den Bruch zu kümmern, denn wir als Patrialbruch darstellen wollen, um später (hoffentlich) jeden dieser Terme einfach aus dem z-Bereich rücktransformieren zu können. Jetzt ist der nächste Schritt also eine Partialbruchzerlegung mit unbekannten Koeffizienten, die man aber durch einen Koeffizientenvergleich bestimmen kann.
[mm] \frac{\frac{37}{30}z^2+\frac{7}{30}-\frac{1}{15}}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)} = \bruch{A_1}{z+\frac{1}{2}} + \bruch{A_2}{z-\frac{2}{5}} + \bruch{A_3}{z-\frac{1}{3}} [/mm]
Hieraus bestimmst Du nun die A-Koeffizienten als nächsten Schritt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mi 08.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ \frac{\frac{37}{30}z^2+\frac{7}{30}-\frac{1}{15}}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)} = \bruch{A_1}{z+\frac{1}{2}} + \bruch{A_2}{z-\frac{2}{5}} + \bruch{A_3}{z-\frac{1}{3}} $
Ich erweitere nun mit dem gemeinsamen Nenner. Dann folgt:
$ \Leftrightarrow A_1\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right) + A_2\left(z+\frac12}\right)\left(z-\frac13\right) + A_3\left(z+\frac12\right)\left(\frac{A_2}{z-\frac25}\right) = \frac{37}{30}z^2+\frac{7}{30}-\frac{1}{15} $
$ \Leftrightarrow A_1\left[z^2-\frac{11}{15}z+\frac{2}{15}\right] + A_2\left[z^2-\frac{1}{6}z+\frac{1}{6}\right] + A_3\left[z^2-\frac{1}{10}z+\frac{1}{5}\right] = \frac{37}{30}z^2+\frac{7}{30}-\frac{1}{15} $
Aus der letzten Umformung hab ich dann ein lineares Gleichungssystem erstellt, das so aussieht:
$ \pmat{1 & 1 & 1 \\ -\frac{11}{15} & \frac16 & \frac{1}{10} \\ \frac{2}{15} & -\frac16 & -\frac15}\vmat{ \frac{37}{30} \\ \frac{7}{30} \\ -\frac{1}{15}} $
Ich bekomme nach dem Lösen mit Gauß folgendes Ergebnis: A_1 = \frac16, A_2 = \frac{56}{15} und A_3 = -\frac{8}{3}
PS: Das lineare Gleichungssystem sieht optisch etwas unschön aus; aber ich weiß nicht wie man in LaTeX das besser zeichnen lässt, so wie man das "gewöhnt" ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
im Prinzip stimmt die Vorgehensweise, es gibt aber vier Vorzeichenfehler beim Ausmultiplizieren der einzelnen Terme:
[mm] A_1\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right) + A_2\left(z+\frac12}\right)\left(z-\frac13\right) + A_3\left(z+\frac12\right)\left({z-\frac25}\right) = \frac{37}{30}z^2+\frac{7}{30}-\frac{1}{15} [/mm]
Das führt zu
[mm] A_1\left[z^2-\frac{11}{15}z+\frac{2}{15}\right] + A_2\left[z^2+\frac{1}{6}z-\frac{1}{6}\right] + A_3\left[z^2+\frac{1}{10}z-\frac{1}{5}\right] = \frac{37}{30}z^2+\frac{7}{30}-\frac{1}{15} [/mm]
oder auch
[mm] \pmat{1 & 1 & 1 \\ \bruch{-11}{15} & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{10} \\ \bruch{2}{15} & \bruch{-1}{6} & \bruch{-1}{5}} \cdot \vektor{A_1 \\ A_2 \\ A_3} = \vektor{\bruch{37}{30}\\ \bruch{7}{30} \\ \bruch{-1}{15}} [/mm]
Damit müsstest Du nochmal die Koeffizienten berechnen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mi 08.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Zitat:
im Prinzip stimmt die Vorgehensweise, es gibt aber vier Vorzeichenfehler beim Ausmultiplizieren der einzelnen Terme:
[mm] A_1\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right) + A_2\left(z+\frac12}\right)\left(z-\frac13\right) + A_3\left(z+\frac12\right)\left({z-\frac25}\right) = \frac{37}{30}z^2+\frac{7}{30}-\frac{1}{15} [/mm]
Das führt zu
[mm] A_1\left[z^2-\frac{11}{15}z+\frac{2}{15}\right] + A_2\left[z^2+\frac{1}{6}z-\frac{1}{6}\right] + A_3\left[z^2+\frac{1}{10}z-\frac{1}{5}\right] = \frac{37}{30}z^2+\frac{7}{30}-\frac{1}{15} [/mm]
oder auch
[mm] \pmat{1 & 1 & 1 \\ \bruch{-11}{15} & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{10} \\ \bruch{2}{15} & \bruch{-1}{6} & \bruch{-1}{5}} \cdot \vektor{A_1 \\ A_2 \\ A_3} = \vektor{\bruch{37}{30}\\ \bruch{7}{30} \\ \bruch{-1}{15}} [/mm]
Damit müsstest Du nochmal die Koeffizienten berechnen.
Wo sind denn hier die Vorzeichenfehler? Ich hab doch genau das gleiche??? Bis auf das lineare Gleichungssystem, wo die [mm] A_i [/mm] fehlen, ist doch alles das gleiche, oder?
Oder meinst du mit Vorzeichenfehler beim Lösen des lin. Gls.?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mi 08.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
da ist nix falsch. Jetzt die Matrix invertieren und Du hast die Partialbruchzerlegung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Do 09.01.2014 | | Autor: | bandchef |
> Jetzt die Matrix invertieren und Du hast die Partialbruchzerlegung.
3 Fragen:
Welche Matrix?
Woher weiß ich, dass man das invertieren muss?
Warum hab ich durch das invertieren dann sofort die Partialbruchzerlegung?
Meinst du diese Matrix? $ [mm] \pmat{1 & 1 & 1 \\ \bruch{-11}{15} & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{10} \\ \bruch{2}{15} & \bruch{-1}{6} & \bruch{-1}{5}} [/mm] $
Was ist dann aber mit der rechten Spalte? Ich will da ja dann den Gauß durchführen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Do 09.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
> > Jetzt die Matrix invertieren und Du hast die
> Partialbruchzerlegung.
>
> 3 Fragen:
>
> Welche Matrix?
Die hast Du doch selber aufgestellt.
> Woher weiß ich, dass man das invertieren muss?
Damit man zur Lösung kommt.
> Warum hab ich durch das invertieren dann sofort die
> Partialbruchzerlegung?
Du hast das doch selber hingeschrieben, oder hast Du absolut keine Ahnung von dem was Du da machen musst.
> Meinst du diese Matrix? [mm]\pmat{1 & 1 & 1 \\ \bruch{-11}{15} & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{10} \\ \bruch{2}{15} & \bruch{-1}{6} & \bruch{-1}{5}}[/mm]
Ja
> Was ist dann aber mit der rechten Spalte? Ich will da ja
> dann den Gauß durchführen!
Also ich fass es nicht, nach so einem lagen Thread.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Do 09.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo ullim und bandchef,
in meiner Darstellung stimmen hoffentlich die Vorzeichen, aber bandchef will mir hoffentlich nicht erzählen, dass
[mm] (z+\bruch{1}{2})(z-\bruch{1}{3}) = z^2 -\bruch{1}{6}z + \bruch{1}{6} [/mm] ist, wie es oben steht.
Ich wäre eher als Ergebnis für
[mm] z^2 + \bruch{1}{6} z -\bruch{1}{6} [/mm]
Entsprechend Umgedrehtes steht auch im nächsten Term.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 So 05.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Du schreibst, dass die Partialbruchzerlegung so lautet:
> [mm]\bruch{1}{3(2z+1)}-\bruch{8}{3z-1}+\bruch{56}{3(5z-2)}+1[/mm]
>
> Ist dann an dieser Stelle meine Lösung schon falsch? Denn
> diese lautet:
>
> [mm]...\Leftrightarrow y(z) = \frac{-\frac13}{z+\frac12} + \frac{\frac{28}{3}}{z-\frac25} + \frac{-8}{z-\frac13} \Leftrightarrow[/mm]
Ja, das ist falsch. Meine Lösung kann man auch wie folgt schreiben, dann sieht es ähnlicher zu Deiner aus
y(z) = [mm] \frac{\frac16}{z+\frac12} [/mm] + [mm] \frac{\frac{56}{15}}{z-\frac25} [/mm] - [mm] \frac{\frac83}{z-\frac13}+1
[/mm]
> Edit:
>
> Zusatzfrage: Gilt auch dieser Zusammenhang?
> [mm]\alpha\cdot{}\beta^{n}\cdot{}u(n) =...[/mm]
Was meinst Du damit?
Ich habe folgendes gemeint
[mm] \bruch{\alpha}{z-\beta}=\alpha*z^{-1}\bruch{z}{z-\beta} \mapsto \alpha\cdot{}\beta^{n-1}\cdot{}u(n-1)
[/mm]
wegen dem Verschiebungssatz und der Korrespondenz, die von Infinit gepostet wurde. Da in der Darstellung aber nur Potenzen von n und nicht von n-1 vorkommen sollen, habe ich das noch umgeformt in
[mm] \alpha*\bruch{\beta^n}{\beta}\left(u(n)-\delta(n)\right) [/mm]
Konkret bedeutet das für den ersten Term in der Partialbruchzerlegung
[mm] \frac{\frac16}{z+\frac12} [/mm] entspricht [mm] \bruch{\alpha}{z-\beta} [/mm] mit
[mm] \alpha=\bruch16 [/mm] und [mm] \beta=-\bruch12
[/mm]
Also lautet die Darstellung im Zeitbereich
[mm] \bruch16*\bruch{\left(-\bruch12\right)^n}{-\bruch12}\left(u(n)-\delta(n)\right) [/mm] und das ist
[mm] -\bruch{1}{3}\left(-\bruch12\right)^nu(n)+\bruch{1}{3}\left(-\bruch12\right)^n\delta(n)=-\bruch{1}{3}\left(-\bruch12\right)^nu(n)+\bruch13
[/mm]
weil
[mm] \delta(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n=0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Jetzt die restlichen Terme ebenso behandeln, dann bekommst Du das Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 So 05.01.2014 | | Autor: | bandchef |
Kann es sein, dass ich hier $ [mm] \frac{z^2(z+1)}{\left(z+\frac12\right)\left(z-\frac25\right)\left(z-\frac13\right)}$ [/mm] erst noch eine Polynomdivision durchmachen muss?
Denn ich hab hier Zählergrad=Nennergrad! Und es muss doch für eine Partialbruchzerlegung gelten: Zählergrad < Nennergrad, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
ja, dem ist so und in meinem Beitrag vom letzten Montag hatte ich das bereits beschrieben.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Sa 04.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich denke folgende Schritte führen zum Ziel
1) Partialbruchzerlegung
2) Verschiebungssatz berücksichtigen
3) Wenn u(n) die Einheitssprungfunktion ist dann gilt [mm] u(n)-u(n-1)=\delta(n)
[/mm]
[mm] \delta(n)=Einheitsimpuls
[/mm]
Übrigens stellt u(n) die Einheitssprungfunktion dar und nicht den Einheitsimpuls wie von Dir beschrieben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Fr 27.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der von mir richtig berechnete Term ist:
$ [mm] \frac{Y(z)}{X(z)} [/mm] = [mm] \frac{1+z^{-1}}{1+0,1z^{-1}-0,2z^{-2}} [/mm] $
Ich hab vom Nennerpolynom dann die Nullstellen berechnet: [mm] $z_1=-\frac12, z_2=\frac25$
[/mm]
Nun steht in meiner Lösung, dass ich irgendwie auf $H(z) = [mm] \frac{1+z^{-1}}{(1+\frac12 z^{-1})(1-\frac25 z^{-1})}$ [/mm] kommen muss. Wie kommt man da drauf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Fr 27.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo bandchef,
dies ist ein Doppelposting. Du bist doch jetzt eigentlich lange genug dabei um zu wissen, dass hier jede Frage nur einmal gestellt werden soll?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Fr 27.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
man ist so gewöhnt, mit positiven Potenzen zu rechnen, dass einem die Schreibweise mit negativen Potenzen erst mal komisch vorkommt.
Dein Lösungsvorschlag ist schon okay, setze doch mal einen der Werte ein und dann muss der entsprechende Klammerausdruck zu Null werden, sonst ist es keine Nullstelle (in diesem Fall des Nenners).
Nimm mal den Ausdruck
[mm] (1+ \bruch{1}{2} z^{-1}) [/mm] und setze dort für z den Wert [mm] z = - \bruch{1}{2} [/mm] ein.
Der Kehrwert von z ergibt [mm]z^{-1} = -2 [/mm] und das oben eingesetzt führt zu
[mm] (1 + \bruch{1}{2} \cdot (-2))= 1 -1 = 0 [/mm]
Passt.
Viele Grüße,
Infinit
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