Nullstellenbeweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Do 04.01.2007 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | Polynom $p = [mm] \sum^{n}_{j=0}a_jt^j$
[/mm]
Beweisen Sie, dass für eine Nullstelle z [mm] \in \IC [/mm] auch [mm] \overline{z} [/mm] eine Nullstelle von p ist. |
Hallo.
z war ja ganz normal
$z=a+ib$
[mm] \overline{z} [/mm] war doch [mm] $\overline{z}=a-ib$
[/mm]
Eigentlich muss ich ja z in das Polynom einsetzen, da soll Null herauskommen.
Wie setzt man das da jetzt ein?
Also die Summe ist ja erst einmal ausgeschrieben
[mm] $a_0+a_1t^1+a_2t^2+...+a_j*t^j$
[/mm]
Und nun soll gelten
$p(z) = [mm] a_0+a_1z+a_2z^2+...+a_jz^j [/mm] = 0$
Vermutlich muss ich für z auch a+bi einsetzen
$p(a+bi) = [mm] a_0+a_1(a+bi)+a_2(a+bi)^2+...+a_j(a+bi)^j [/mm] = 0$
Das selbe muss ja für a-bi gelten
$p(a-bi) = [mm] a_0+a_1(a-bi)+a_2(a-bi)^2+...+a_j(a-bi)^j [/mm] = 0$
Jetzt kann ich die gleichsetzen:
[mm] $a_0+a_1(a+bi)+a_2(a+bi)^2+...+a_j(a+bi)^j [/mm] = [mm] 0=a_0+a_1(a-bi)+a_2(a-bi)^2+...+a_j(a-bi)^j [/mm] $
Da sich das so nicht auflösen lässt, ist der Ansatz wohl falsch. Würde mich über detaillierte Anweisungen oder Rechnungen freuen!
Gruß, Rudy
|
|
| |
|
> Polynom [mm]p = \sum^{n}_{j=0}a_jt^j[/mm]
> Beweisen Sie, dass für
> eine Nullstelle z [mm]\in \IC[/mm] auch [mm]\overline{z}[/mm] eine Nullstelle
> von p ist.
Hallo,
Du hast sicher nur vergessen mitzuteilen, daß die Koeffizienten Deines Polynoms [mm] \in \IR [/mm] sein sollen. (Das ist nämlich wichtig, denn sonst gilt das Ganze nicht: es ist ja 1+i sicher Nullstelle von p(x)=x-(1+i), aber [mm] p(1-i)\not=0.)
[/mm]
Den Beweis kannst Du wie folgt führen: sei z [mm] \in \IC [/mm] Nullstelle von p = [mm] \sum^{n}_{j=0}a_jt^j.
[/mm]
Dann ist [mm] 0=\sum^{n}_{j=0}a_jz^j.
[/mm]
Nun das Ganze konjugiert komplex:
[mm] \overline{0}=\overline{\sum^{n}_{j=0}a_jz^j} [/mm] und hieraus Schlüsse ziehen. (Das konjugiert komplexe einer reellen Zahl ist die Zahl selber.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Do 04.01.2007 | | Autor: | Rudy |
Hallo
> > Polynom [mm]p = \sum^{n}_{j=0}a_jt^j[/mm]
> > Beweisen Sie, dass
> für
> > eine Nullstelle z [mm]\in \IC[/mm] auch [mm]\overline{z}[/mm] eine Nullstelle
> > von p ist.
>
> Hallo,
>
> Du hast sicher nur vergessen mitzuteilen, daß die
> Koeffizienten Deines Polynoms [mm]\in \IR[/mm] sein sollen. (Das ist
> nämlich wichtig, denn sonst gilt das Ganze nicht: es ist ja
> 1+i sicher Nullstelle von p(x)=x-(1+i), aber
> [mm]p(1-i)\not=0.)[/mm]
>
> Den Beweis kannst Du wie folgt führen: sei z [mm]\in \IC[/mm]
> Nullstelle von p = [mm]\sum^{n}_{j=0}a_jt^j.[/mm]
> Dann ist [mm]0=\sum^{n}_{j=0}a_jz^j.[/mm]
>
> Nun das Ganze konjugiert komplex:
> [mm]\overline{0}=\overline{\sum^{n}_{j=0}a_jz^j}[/mm] und hieraus
> Schlüsse ziehen. (Das konjugiert komplexe einer reellen
> Zahl ist die Zahl selber.)
Ist der "Schluss", den man ziehen soll,der,dass es sich bei z um eine reelle Nullstelle handelt und somit der Imaginärteil der Zahl "0" ist. Somit wäre dann ja z = [mm] \overline{z}
[/mm]
Das mit dem IR verwirrt mich,die Information war eigentlich gar nicht gegeben. Oder trivial.  Aber danke!
|
|
|
| |
|
>
> > Den Beweis kannst Du wie folgt führen: sei z [mm]\in \IC[/mm]
> > Nullstelle von p = [mm]\sum^{n}_{j=0}a_jt^j.[/mm]
> > Dann ist [mm]0=\sum^{n}_{j=0}a_jz^j.[/mm]
> >
> > Nun das Ganze konjugiert komplex:
> > [mm]\overline{0}=\overline{\sum^{n}_{j=0}a_jz^j}[/mm] und hieraus
> > Schlüsse ziehen. (Das konjugiert komplexe einer reellen
> > Zahl ist die Zahl selber.)
>
> Ist der "Schluss", den man ziehen soll,der,dass es sich bei
> z um eine reelle Nullstelle handelt und somit der
> Imaginärteil der Zahl "0" ist. Somit wäre dann ja z =
> [mm]\overline{z}[/mm]
Keinesfalls soll man den Schluß ziehen, daß z reell ist.
Man soll den Schluß ziehen, daß, wenn [mm] 0=\sum^{n}_{j=0}a_jz^j [/mm] gilt,
hieraus [mm] 0=\sum^{n}_{j=0}a_j\overline{z}^j [/mm] folgt.
Wie Du dahinkommst, hatte ich ja schon verraten.
Du mußt ein bißchen mit dem konjugiert Komplexen umgehen können, z.B. wissen, was das konjugiert Komplexe einer Summe und eines Produktes ist.
> Das mit dem IR verwirrt mich,die Information war
> eigentlich gar nicht gegeben. Oder trivial.
Also, trivial ist DAS nun wirklich nicht. Möglicherweise stand irgendwo, daß p aus dem Polynomring über [mm] \IR [/mm] ist, o.ä.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
