Nullstellenbestimmung im Komp. < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sollen die Nullstellen von folgenden komplexen Zahlen bestimmt werde:
a) f(z) = [mm] z^5 [/mm] - i
b) f(z) = [mm] z^6 [/mm] + [mm] (1-2i)z^3 [/mm] - 1-i |
Hallo Leute,
meine Ansatz war folgender:
Im reellen würde eine Nullstelle raten, die Polynomdivision durchführen und den Exponenten solange versuchen zu verkleinern, bis man eine quadratische Funktion erhält die man mit Hilfe der PQ-Formel lösen kann.
Nun besitzt a) ja 5. Nullstellen im Komplexen. Nun weiß ich nicht weiter welches die (erste) Nellstelle(n) ist/sind.
Bei Aufgabenteil b) würde ich erstmal ausklammern. Und dort das selbe Spiel mit den Nullstellen versuchen.
Nun hänge ich an diesem Punkt und würde mich über jeden Hinweis freuen.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Di 30.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Es sollen die Nullstellen von folgenden komplexen Zahlen
> bestimmt werde:
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> a) f(z) = [mm]z^5[/mm] - i
> b) f(z) = [mm]z^6[/mm] + [mm](1-2i)z^3[/mm] - 1-i
> Hallo Leute,
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> meine Ansatz war folgender:
>
> Im reellen würde eine Nullstelle raten, die
> Polynomdivision durchführen und den Exponenten solange
> versuchen zu verkleinern, bis man eine quadratische
> Funktion erhält die man mit Hilfe der PQ-Formel lösen
> kann.
>
> Nun besitzt a) ja 5. Nullstellen im Komplexen. Nun weiß
> ich nicht weiter welches die (erste) Nellstelle(n)
> ist/sind.
Hallo,
[mm] z^5-i=0 [/mm] lässt sich umformen zu [mm] z^5=i [/mm] (=1*(cos 90°+i*sin 90°) )
Welche komplexen Zahlen ergeben -fünfmal mit sich selbst multipliziert- eine komplexe Zahl mit dem Betrag 1 und dem Argument 90° (entspricht auch 450°, 810°, ...)?
Gruß Abakus
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> Bei Aufgabenteil b) würde ich erstmal ausklammern. Und
> dort das selbe Spiel mit den Nullstellen versuchen.
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> Nun hänge ich an diesem Punkt und würde mich über jeden
> Hinweis freuen.
>
> Grüße
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Ok, von a) konnte ich nun die Nullstellen bestimmen.
Ich konnte danke [mm] z^5=i [/mm] einfach die 5. Wurzel ziehen und kam zu den Ergebnissen:
-0.9511 + 0.3090i
-0.5878 - 0.8090i
1i
0.5878 - 0.8090i
0.9511 + 0.3090i
Würdest du mir noch erklären wie ich auf eine Lösung bei b) komme? Wäre Dir sehr dankbar!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Do 02.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Ok, von a) konnte ich nun die Nullstellen bestimmen.
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> Ich konnte danke [mm]z^5=i[/mm] einfach die 5. Wurzel ziehen und
> kam zu den Ergebnissen:
>
> -0.9511 + 0.3090i
> -0.5878 - 0.8090i
> 1i
> 0.5878 - 0.8090i
> 0.9511 + 0.3090i
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> Würdest du mir noch erklären wie ich auf eine Lösung bei
> b) komme? Wäre Dir sehr dankbar!
>
> Grüße
Substituiere [mm] z^3=u, [/mm] löse die quadratische Gleichung mit u und mache eine Rücksubstitution.
Gruß Abakus
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