Nullstellenbestimmung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo
ich bin immer noch nicht fit in der Berechnung der Nullstellen.
Nachstehende Aufgabe bekomme ich über haupt nicht gegriffen:
[mm] x^6 [/mm] - [mm] 35x^3 [/mm] +216 = o
einen Teil könnte ich ausklammern
[mm] x^3 [/mm] * [mm] (x^3-35) [/mm] +216 = 0
Aber dann komme ich überhaupt nicht weiter
Danke für einen Tipp beim nächsten Schritt
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Hallo emsapfel,
> Hallo
>
> ich bin immer noch nicht fit in der Berechnung der
> Nullstellen.
>
> Nachstehende Aufgabe bekomme ich über haupt nicht
> gegriffen:
>
> [mm]x^6[/mm] - [mm]35x^3[/mm] +216 = o
>
Substituiere zunächst [mm]z=x^{3}[/mm]
Dann erhältst Du eine quadratische Gleichung:
[mm]z^2 -35z+216 = 0[/mm]
Dies Gleichung kannst Du z.B mit der PQ-Formel lösen.
Die erhaltenen Lösungen musst Du natürlich zurücksubstituieren.
> einen Teil könnte ich ausklammern
>
> [mm]x^3[/mm] * [mm](x^3-35)[/mm] +216 = 0
>
> Aber dann komme ich überhaupt nicht weiter
>
> Danke für einen Tipp beim nächsten Schritt
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
VIELEN DANK ich habe bei anderen Aufgaben öfter schon [mm] X^4 [/mm] :2 in [mm] z^2 [/mm] subituiert und habe damit gerechnet. Auf die Idee dies auch mit [mm] x^6 [/mm] :3 in [mm] z^2 [/mm] zu tun bin ich nicht gekommen.
Ich habe das gerade noch mal weitergerechnet und bekomme
z1,2 = 17,5 +/- 9,5 raus
z1 = 27 ist [mm] x^3 [/mm] dann die 3 Wurzel aus 27 also x1,2,3 =3
z2 = 8 ist [mm] x^3 [/mm] dann die 3 Wurzel aus 8 also x4,5,6 =2
Ist das so OK?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Do 29.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> VIELEN DANK ich habe bei anderen Aufgaben öfter schon [mm] X^4 [/mm] :2
Du teilst hier sicher nicht durch 2! Du nutzt aus, dass [mm] x^2 [/mm] ein Teiler von [mm] x^4 [/mm] ist.
> in [mm]z^2[/mm] subituiert und habe damit gerechnet. Auf die Idee
> dies auch mit [mm]x^6[/mm] :3 in [mm]z^2[/mm] zu tun bin ich nicht gekommen.
Deswegen funktioniert das auch mit [mm] x^6. [/mm] Weil [mm] x^2 [/mm] ein Teiler von [mm] x^6 [/mm] ist. Sicher NICHT: [mm] x^6 [/mm] :3!!
Versuche doch bitte den Formel Editor zu benutzen und Indizes mit _ nach unten stellen.
>
> Ich habe das gerade noch mal weitergerechnet und bekomme
>
> [mm] z_{1,2} [/mm] = 17,5 +/- 9,5 raus
>
> [mm] z_1 [/mm] = 27 ist [mm]x^3[/mm] dann die 3 Wurzel aus 27 also x1,2,3 =3
>
> [mm] z_2 [/mm] = 8 ist [mm]x^3[/mm] dann die 3 Wurzel aus 8 also x4,5,6 =2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist das so OK?
Passt!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Ja war nicht so gut aus gedrückt .... ich meinte auch nicht teilen.
Ich habe da noch eine andere Aufgabe welche ich auch nicht durchgerechnet bekomme, bzw. wo ich einen Fehler eingebaut habe
[mm] (x^2 [/mm] – 3) * (7x -10)=0
Die beiden Klammern habe ich aus multipliziert
[mm] 7x^3 –10x^2 -21x^2 [/mm] +30x = 0
bzw. [mm] 7x^3 -31x^2 [/mm] +30x = 0
dann habe ich x ausgeklammert
x * [mm] (7x^2 [/mm] -31x +30) = 0
x1 = 0
wenn ich jetzt x2,3 [mm] 7x^2 [/mm] -31x +30 = 0 nach der pq Formel ausrechne, dann kommt da Mist raus.
Wo habe ich da den Fehler drin?
Vielen Dank für deine Zeit + Mühe
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Hallo emsapfel,
> Ja war nicht so gut aus gedrückt .... ich meinte auch
> nicht teilen.
>
> Ich habe da noch eine andere Aufgabe welche ich auch nicht
> durchgerechnet bekomme, bzw. wo ich einen Fehler eingebaut
> habe
>
> [mm](x^2[/mm] – 3) * (7x -10)=0
>
Die Nullstellen kannst Du hier schon bestimmen.
> Die beiden Klammern habe ich aus multipliziert
>
> [mm]7x^3 –10x^2 -21x^2[/mm] +30x = 0
Hier hast Du gleich zwei Fehler eingebaut:
[mm]7x^3-10x^2-21\blue{x} +\blue{30} = 0[/mm]
> bzw. [mm]7x^3 -31x^2[/mm] +30x = 0
>
> dann habe ich x ausgeklammert
>
> x * [mm](7x^2[/mm] -31x +30) = 0
>
> x1 = 0
>
> wenn ich jetzt x2,3 [mm]7x^2[/mm] -31x +30 = 0 nach der pq Formel
> ausrechne, dann kommt da Mist raus.
>
> Wo habe ich da den Fehler drin?
>
>
> Vielen Dank für deine Zeit + Mühe
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo Mathe Power
ich habe einen Tipp fehler
Die Aufgabe heißt
[mm] (x^2 [/mm] – 3x) * (7x -10)=0
T´schuldigung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Do 29.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Hallo Mathe Power
>
> ich habe einen Tipp fehler
>
> Die Aufgabe heißt
>
> [mm](x^2[/mm] – 3x) * (7x -10)=0
>
> T´schuldigung
Also du bist ja bis hierhin schonmal richtig gewesen:
$f(x) = [mm] (x^2-3x)*(7x-10) [/mm] = [mm] 7x^3-31x^2+30x [/mm] = [mm] x(7x^2-31x+30)$
[/mm]
Es gibt zwei Möglichkeiten eine quadratische Gleichung zu lösen. Mit der p-q Formel und der Mitternachtsformel. Was eigentlich das Gleiche ist.
Bei der p-q Formel musst du darauf achten, dass der Koeffizient vor dem [mm] x^2 [/mm] eins ist. Das ist hier vorliegend nicht der Fall. D.h. du musst noch einen Zwischenschritt machen:
[mm] $7x^2 [/mm] -31x +30 = 0 [mm] \gdw x^2 [/mm] - [mm] \frac{31}{7}x [/mm] + [mm] \frac{30}{7} [/mm] = 0$ Jetzt kannst du die pq-Formel anwenden.
Die Mitternachtsformel hat folgende Form. Die Nullstellen [mm] x_{1,2} [/mm] von $f(x) = [mm] ax^2 [/mm] +bx +c$ sind:
[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
[/mm]
Das ist eigentlich das Gleiche.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo
ja ich hatte auch die pq Formel genommen.
aber .... wenn ich das richtig (hoffentlich) rechne, dann
kommt da [mm] x_2,_3 [/mm] =2,214 +/- 3,031 raus. [mm] (x_1 [/mm] war ja 0)
wenn ich dannn [mm] x_2 [/mm] ausrechne sind dies 5,245.
Wenn ich dieses Wert in die Probe von $ [mm] 7x^2 [/mm] -31x +30 = 0 [mm] \gdw x^2 [/mm] - [mm] \frac{31}{7}x [/mm] + [mm] \frac{30}{7} [/mm] = 0 $ reinnehme, dann kommt nicht 0 raus. Das heißt doch, meine Nullstelle stimmt nicht ... oder
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Do 29.11.2012 | | Autor: | teo |
> Hallo
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> ja ich hatte auch die pq Formel genommen.
>
> aber .... wenn ich das richtig (hoffentlich) rechne, dann
>
> kommt da [mm]x_2,_3[/mm] =2,214 +/- 3,031 raus. [mm](x_1[/mm] war ja 0)
>
> wenn ich dannn [mm]x_2[/mm] ausrechne sind dies 5,245.
>
> Wenn ich dieses Wert in die Probe von [mm]7x^2 -31x +30 = 0 \gdw x^2 - \frac{31}{7}x + \frac{30}{7} = 0[/mm]
> reinnehme, dann kommt nicht 0 raus. Das heißt doch, meine
> Nullstelle stimmt nicht ... oder
Also: Nehmen wir die allgemeine Formel: [mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ [/mm] Entschuldigung habe oben im Nenner das "a" vergessen!
$a = 7; b = -31, c= 30$ Also: [mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{31 \pm \sqrt{31^2-4*7*30}}{2*7} [/mm] = [mm] \frac{31 \pm \sqrt{121}}{14} [/mm] = [mm] \frac{31 \pm 11}{14} \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] \frac{20}{14} [/mm] = [mm] \frac{10}{7}; x_2 [/mm] = [mm] \frac{42}{14} [/mm] = 3$
So und nun darfst du nur nicht die Brüche in Dezimaldarstellung angeben, weil das funktioniert ja wie du festgestellt hast nicht. Versuch dir das anzugewöhnen mit Brüchen zu rechnen, die liefern die nämlich das genaue Ergebnis und nicht ein ungefähres.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo,
danke für deine Tipps!
ich habe die Formel noch einmaal anstelle der pQ Formel bei einer anderen Aufgabe angewendet, bei welche ich keine richtigen Ergebnisse hatt.
Aufgabe:
[mm] 3x^5 -x^4 -2x^3 [/mm] = 0
ausklammern
[mm] x^3 [/mm] * [mm] (3x^2 [/mm] -x -2) = 0
[mm] x^3 [/mm] = 0 also [mm] x_1_2_3 [/mm] = 0
[mm] 3x^2 [/mm] -x -2 = 0
dies habe ich jetzt nicht in die PQ Formel, sondern in deine Formel eingesetzt:
$ a = 3; b = -1, c= -2 Also: [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot{}3\cdot{}2}}{2\cdot{}3} [/mm] = [mm] \frac{31 \pm \sqrt{-23}}{6} [/mm]
und jetzt ist doch Schluss, weil ich nicht die Wurzel aus -23 ziehen kann.
Oder habe ich einen Fehler gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Do 29.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
>
> danke für deine Tipps!
>
> ich habe die Formel noch einmaal anstelle der pQ Formel bei
> einer anderen Aufgabe angewendet, bei welche ich keine
> richtigen Ergebnisse hatt.
>
> Aufgabe:
>
> [mm]3x^5 -x^4 -2x^3[/mm] = 0
> ausklammern
> [mm]x^3[/mm] * [mm](3x^2[/mm] -x -2) = 0
>
> [mm]x^3[/mm] = 0 also [mm]x_1_2_3[/mm] = 0
> [mm]3x^2[/mm] -x -2 = 0
>
> dies habe ich jetzt nicht in die PQ Formel, sondern in
> deine Formel eingesetzt:
>
> $ a = 3; b = -1, c= -2 Also: [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\frac{1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot{}3\cdot{}2}}{2\cdot{}3}[/mm]
> = [mm]\frac{31 \pm \sqrt{-23}}{6}[/mm]
Schau dir das c nochmal genau an! Du hast es ja richtig dastehn, nur nicht richtig eingesetzt!
> und jetzt ist doch Schluss, weil ich nicht die Wurzel aus
> -23 ziehen kann.
>
> Oder habe ich einen Fehler gemacht?
>
>
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
@ teo - oh ja, ich habs es gesehen. Danke
Die Aufgabe habe ich noch mal kompl durchgerechnet und kann alle Nullstellen bestimmen.
Aber leider tue ich mich sehr schwer, die Lösungen bzw. die richtigen Ansätze hierfür zu sehen.
An der nachstehenden Aufgabe bekomme ich die Nullstellen auch nicht gelöst:
[mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 2 = 0
[mm] X^2 [/mm] kann ich nicht ausklammern wegen +2
[mm] x^2 [/mm] * (x - 3) +2 = 0 bringt mich auch nicht weiter.
Kann mir hier jemand bitte einen Tipp gebe, wie ich hier einen Ansatz finden kann.
Vielen Dank
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Hallo
du hast also eine neue Aufgabe, beginne dafür bitte in Zukunft einen neuen Thread
[mm] 0=x^3-3x^2+2
[/mm]
die 1. Nullstelle ist zu erraten, probiere die ganzzahligen Teile von 2:
-2, -1, 1, 2
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
@ Steffi
danke für den Tipp ---- ich habe deine Optionen durchgerechnet
x = -2
Gibt es noch einen anderen Ansatz, oder nehme ich dann immer die ganzzahligen Teile des Wertes "ohne x"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Do 29.11.2012 | | Autor: | teo |
> @ Steffi
>
> danke für den Tipp ---- ich habe deine Optionen
> durchgerechnet
>
> x = -2
[mm] $(-2)^3 -3*(-2)^2+2 [/mm] =-8-12+2 [mm] \neq [/mm] 0$ Also nein!
>
> Gibt es noch einen anderen Ansatz, oder nehme ich dann
> immer die ganzzahligen Teile des Wertes "ohne x"
>
Bei sowas versucht man immer zuerst das einfachste, also 1 und dann -1, meistens hat man dann schon eine Lösung gefunden, ansonsten versucht mans mit natürlichen Zahlen noch ein bisschen weiter..
Jetzt ist dir klar, dass man mit Polynomdivision weiter macht, oder? Aber was ist denn nun erstmal die offensichtliche Nullstelle? Nicht x=-2.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
@Steffi
entschuldige bitte --- inch hatte bei mir im Heft "nur" -3x stehen und habe daher nicht [mm] -3x^2 [/mm] gerechnet.
Also jetzt
x = 1
Ich habe gerade versucht [mm] (x^3 -3x^2 [/mm] +2) : (x -1) zu rechnen . Da komme ich mit Polynomdivision nicht weiter.
oder habe ich den falschen Divisor?
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Hallo emsapfel,
> @Steffi
>
> entschuldige bitte --- inch hatte bei mir im Heft "nur" -3x
> stehen und habe daher nicht [mm]-3x^2[/mm] gerechnet.
>
> Also jetzt
>
> x = 1
>
> Ich habe gerade versucht [mm](x^3 -3x^2[/mm] +2) : (x -1) zu rechnen
> . Da komme ich mit Polynomdivision nicht weiter.
>
> oder habe ich den falschen Divisor?
Der Divisor ist richtig.
Poste Deine Rechenschritte dazu.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:47 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Nst ist x=1, also der Divisor (x-1), das geht auch auf, also zeig, was du rechnest.!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
ja aber auch mit (x+1) bekomme ich es nicht hin.
[mm] (x^3 -3x^2 [/mm] +2) : (x -1) = [mm] x^2
[/mm]
- [mm] (x^3 +x^2)
[/mm]
----------------
[mm] -4x^2 [/mm] +2
dann komme ich nicht weiter :-(
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Hallo emspafel,
> ja aber auch mit (x+1) bekomme ich es nicht hin.
>
> [mm](x^3 -3x^2[/mm] +2) : (x -1) = [mm]x^2[/mm]
> - [mm](x^3 +x^2)[/mm]
Das muss hier lauten: [mm](x^3 \blue{-}x^2)[/mm]
> ----------------
> [mm]-4x^2[/mm] +2
>
> dann komme ich nicht weiter :-(
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
habe mich verschrieben
ich sollte dich mit (x+1) rechnen
also
[mm] (x^3 -3x^2 [/mm] +2) : (x +1) = [mm] x^2 [/mm]
- [mm] (x^3 +x^2) [/mm]
----------------
[mm] -4x^2 [/mm] +2
aber auch mit (x-1) kekomme ich es nicht hin
[mm] (x^3 -3x^2 [/mm] +2) : (x -1) = [mm] x^2 [/mm]
- [mm] (x^3 -x^2) [/mm]
----------------
[mm] -2x^2 [/mm] +2
dann komme ich nicht weiter :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> habe mich verschrieben
>
>
> ich sollte dich mit (x+1) rechnen
> also
>
> [mm](x^3 -3x^2[/mm] +2) : (x +1) = [mm]x^2[/mm]
> - [mm](x^3 +x^2)[/mm]
> ----------------
> [mm]-4x^2[/mm] +2
>
>
>
das wurde inzwischen korrigiert
> aber auch mit (x-1) kekomme ich es nicht hin
>
> [mm](x^3 -3x^2[/mm] +2) : (x -1) = [mm]x^2[/mm]
> - [mm](x^3 -x^2)[/mm]
> ----------------
> [mm]-2x^2[/mm] +2
jetzt wieder durch x teilen, ergibt -2x und das mit (x-1) multiplizieren und anziehen, dann fehlt nur noch ein Schritt !
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Do 29.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
[mm] (x^3 -3x^2 [/mm] +2) : (x -1) = [mm] x^2 [/mm] -2x
- [mm] (x^3 -x^2) [/mm]
----------------
[mm] -2x^2 [/mm] +2
[mm] -(-2x^2 [/mm] +2x)
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das hatt ich schon bei mir gerechnent, aber genau jetzt stecke ich fest
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Hallo, du hast deutliche Probleme mit der Polynomdivision, ich füge den Summanden 0*x ein, dann sollte dir es leichter fallen
[mm] (x^3-3x^2+0x+2):(x-1)=x^2-2x
[/mm]
[mm] -(x^3-x^2)
[/mm]
-------
[mm] -2x^2
[/mm]
[mm] -(-2x^2+2x)
[/mm]
---------
-2x
der Rest -2x entsteht durch 0*x-2*x=-2*x
der letzte Schritt ist -2x:x=
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] (x^2-3x)\cdot{}(7x-10)=x*(x-3)*(7x-10) [/mm] durch ausmultiplizieren zu losen ist fast so schlimm, wie [mm] x^2-4=0 [/mm] mit der pq Formel zu lösen.
Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist !!
damit hast du deine Nst praktisch ohne jede Rechnung
Mathe ist die Kunst - wo möglich- Rechnen durch Denken zu ersetzen.
Gruss leduart
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