Nullstellenbestimmung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei h(x) = cos( [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] (x-1)) + 1 und f(x) = [mm] \frac{1}{2} x^3 [/mm] - 3 [mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{9}{2}x [/mm] .
Für x [mm] \in [/mm] [1;2,2] wird die Funktion h durch f angenähert. Bestimmen Sie die Stelle in diesem Intervall, an der die Funktion von h und f die größte Abweichung voneinander aufweisen.
Wie groß ist diese Abweichung? |
Hallo,
also ich habe zuerst beide Funktionen miteinander addiert.
Also f(x) + h(x) = d(x) = [mm] \frac{1}{2} x^3 [/mm] - 3 [mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{9}{2} [/mm] x + cos( [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] (x-1)) + 1
Dann habe ich hiervon die Ableitung gebildet.
d'(x) = [mm] \frac{3}{2} x^2 [/mm] - 6x + [mm] \frac{9}{2} [/mm] + [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] * [mm] sin(\frac{\pi}{2} [/mm] x - [mm] \frac{\pi}{2})
[/mm]
Nun habe ich das Problem, dass ich nicht weiß wie ich von dieser Funktion die Nullstellen bestimmen soll, diese werden doch benötigt um die Extrema der Funktion zu kennen, um dann durch die 2. Ableitung den Max. Abstand zu bekommen oder?
Wäre froh wenn mir jemand helfen könnte...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Mo 07.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei h(x) = cos( [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] (x-1)) + 1 und f(x) =
> [mm]\frac{1}{2} x^3[/mm] - 3 [mm]x^2[/mm] + [mm]\frac{9}{2}x[/mm] .
> Für x [mm]\in[/mm] [1;2,2] wird die Funktion h durch f
> angenähert. Bestimmen Sie die Stelle in diesem Intervall,
> an der die Funktion von h und f die größte Abweichung
> voneinander aufweisen.
> Wie groß ist diese Abweichung?
> Hallo,
>
> also ich habe zuerst beide Funktionen miteinander addiert.
Wieso das denn ?
Betrachten sollst Du die Funktion
$d(x)=|h(x)-f(x)|$
FRED
> Also f(x) + h(x) = d(x) = [mm]\frac{1}{2} x^3[/mm] - 3 [mm]x^2[/mm] +
> [mm]\frac{9}{2}[/mm] x + cos( [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] (x-1)) + 1
>
> Dann habe ich hiervon die Ableitung gebildet.
>
> d'(x) = [mm]\frac{3}{2} x^2[/mm] - 6x + [mm]\frac{9}{2}[/mm] + [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]
> * [mm]sin(\frac{\pi}{2}[/mm] x - [mm]\frac{\pi}{2})[/mm]
>
> Nun habe ich das Problem, dass ich nicht weiß wie ich von
> dieser Funktion die Nullstellen bestimmen soll, diese
> werden doch benötigt um die Extrema der Funktion zu
> kennen, um dann durch die 2. Ableitung den Max. Abstand zu
> bekommen oder?
>
> Wäre froh wenn mir jemand helfen könnte...
|
|
|
| |
|
Klar, h(x) - f(x) :)
Aber dann bekomme ich ja eine ähnlich Funktion heraus...
d'(x) = [mm] \frac{3}{2} x^2 [/mm] -6x + [mm] \frac{9}{2} [/mm] - [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] * sin [mm] (\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi}{2})
[/mm]
Aber bei dieser Funktion habe ich genauso wie bei der oberen das Problem die Nullstellen zu bestimmen...
|
|
|
| |
|
Huhu,
im besagten Intervall hat die Funktion 2 NST.
Eine kannst du berechnen (x=1), die andere musst du wohl oder übel numerisch ausrechnen.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Ich habe die Funktion nun nochmals gezeichnet und sehe dann in dem oberen Intervall nur 1 Nullstelle die andere soll bei ca. 3 liegen... kann das sein?
Mir ist eben auch aufgefallen, dass ich f(x) - h(x) berechnet habe und nicht h(x) - f(x)... ist das schlimm?
|
|
|
| |
|
ANMERKUNG:
Offenbar hab ich mir die falschen Funktionen angeschaut (hatte es so oft eingetippt, wobei ich einige Fehler schon selbst bemerkt habe), denn es gibt in dem Intervall noch eine Nullstelle der Ableitung der Differenzfunktion, d.h. die musst du tatsächlich numerisch ermitteln, dann vergleichen, welcher Extremwert weiter von der x-Achse weg liegt.
Sorry für den Fehler,
lg weightgainer
-----------------------------------------------------
Hi,
das kannst du dir doch auch grafisch vorstellen: Wenn f - h ein Maximum hat, dann hat -(f-h) = h - f genau an dieser Stelle ein Minimum. Also ist es schon wichtig.
Aber: Du musst ja eh die Extremwerte berechen, dann kannst du direkt alle in dem angegeben Intervall berechnen, also Min. und Max. inkl. zugehöriger Funktionswerte und der Extrempunkt, der am weitesten von der x-Achse weg liegt, der ist dein gesuchter.
Ansonsten hab ich das auch mal gerade zeichnen lassen und wie du gesehen, dass die Differenzfunktion genau zwei Extremwerte auf [mm] \IR [/mm] hat, nämlich bei x=1 und x=3. Davon liegt aber nur der erste in deinem Intervall.
Wie bekommt man die nun alle rechnerisch?
Geschlossen kannst du die Gleichung $d'(x) = 0$ nicht nach x auflösen, d.h. entweder musst du Lösungen "sehen" oder es numerisch machen.
Jetzt kann man eben x=1 probieren, weil genau dann der sin 0 ergibt und hoffen, dass auch der polynomiale Ausdruck dahinter ebenfalls 0 ergibt (was ja hier der Fall ist).
Da du jetzt weißt, dass es keine weitere Lösung in deinem Intervall gibt, würde es auch reichen, wenn du zeigst, dass d'(x) keine weitere NST hat, also immer größer als 0 ist bzw. immer kleiner als 0 (je nachdem, ob du d = h - f oder d = f - h genommen hast).
Was ich mich bei der Betrachtung der Graphen frage: Wurde mit Absicht eine so "schlechte" Näherungsfunktion gewählt?
Bei der dritten Potenz hast du genau zwei solcher "Bögen", die man auch in dem cos findet, nur sind die genau in dem Intervall "umgedreht". Deswegen ist es auch grafisch klar, dass die Abstände bei 1 und 3 am größten sind.
Vielleicht reicht aber auch schon die Feststellung, dass es bei x=1 ein relatives Maximum/Minimum der Differenzfunktion gibt.
lg weightgainer
|
|
|
| |
|
Huhu Ihr,
also laut ![[]](/images/popup.gif) Wolframalpha gibt es noch eine NST der Ableitung bei ca. 1,55 was auch im Intervall liegt 
MFG,
Gono.
|
|
|
|
