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Hallo zusammen
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Gegeben sei die Funktion:
f(x)=exp(2x)-sin(x)-2.
a) Finden Sie zwei verschiedene Fixpunktgleichungen für die Bestimmung der Nullstelle von f(x)
b) Auf welche der beiden Fixpunktglichungen lässt sich der Banch'sche Fipunktsatz anwenden? zeigen Sie, dass f(x) genau eine reelle Nullstelle hat.
Also a) konnte ich ohne Probleme lösen:
1. Fixpunktgleichung = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *ln(2+sin(x))
2. Fixpunktgleichung = [mm] arcsin(e^{2x}-2)
[/mm]
Aber bei b) habe ich so meine Probleme!
Kann mir jemand ganz einfach den Banach'schen Fixpunktsatz erklären und mir sagen, was ich bei b) genau machen muss??
Vielen Dank für eure Hilfe.
Liebe Grüsse
Babybel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Di 27.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sicher hat hier niemand Lust, den Satz zu erklären, der in jedem Buch steht und den du sicher auch in der Vorlesung hattest.
Eine grobe Vereinfachung: wenn eine Abbildung kontrahierend ist gilt |f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|
eine Abb die ein Intervall in sich abbildet und auf dem Intervall kontrahierend ist (|f'|<1) hat einen eindeutigen Fixpunkt. den man durch Iteration finden kann.
Beispiel [mm] f(x)=x^2 [/mm] hat 2 Fixpunkte, [mm] x=x^2, [/mm] x=0 und x=1
wenn man im Intervall (0,0.5)
Gruss leduarteinen Punkt whlt und dann itteriert ist wegen
f'(x)<1 das ne kontrahierende Abb. du findest also den Fixpunkt x=0
bei x=1 ist f'(x)=2 also kannst du den nicht durch Iteration finden!
gruss leduart
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