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Hallo,
mein Problem besteht darin, dass ich von der folgenden Funktion nicht alle 5 Nullstellen berechnen kann..
f(x)= [mm] 5x^4 [/mm] - [mm] 15x^2 [/mm] + 10 durch Ausklammern komme ich nur auf diese 3 Nullstellen
x1= 0
x2= 1
x3=-1
doch wie bekomme ich die anderen nullstellen heraus? Selbst mit Polynomdivision kam ich nicht weiter...
Polynomdivision: bei Teilen der Funktion durch die NUllstelle 1..bekam ich zwar den 3. Grad-Polynom heraus : [mm] 5x^3+5x^2-10x-10 [/mm] habe nun aber keine Ahnung wie man DAMIT die restlichen Nullstellen berechnen kann...
Bitte um dringende Hilfe..am besten mit Lösungsweg...(zur Info andere Verfahren als die Polynomdivision, Pq-Formel und Ausklammern kenne ich nicht für die Nullstellenbestimmung...)
Eine letzte MiniFrage, die ich nicht nochmal extra stellen wollte, weil sie wirklich klein ist wäre diese...
Ich soll die Extremstellen einer Funktion bestimmen
...dies habe ich getan indem ich die 1. Ableitung gebildet hab und diese dann mit 0 gleichgesetzt hab..schließlich bekam ich 3 Punkte heraus....
P1= (0/0)
P2= (-4,9/75,3)
P3= (4,9/-73,3)
Logischer weise müsste P2 ein Hochpunkt sein und P3 ein Tiefpunkt...
doch was ist P1?? Ein Wendepunkt? Und wenn ja wie kann ich das begründen oder woran kann man das erkennen??
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Hi, Black-Ice,
so schnell war ich noch nie!
> Hallo,
> mein Problem besteht darin, dass ich von der folgenden
> Funktion nicht alle 5 Nullstellen berechnen kann..
Kein Wunder: Es gibt ja auch nur vier!
>
> f(x)= [mm]5x^4[/mm] - [mm]15x^2[/mm] + 10 durch Ausklammern komme ich nur
> auf diese 3 Nullstellen
>
>
> x1= 0
FALSCH! Setz' doch mal x=0 ein:
[mm] 5*0^{4} [/mm] - [mm] 15*0^{2} [/mm] + 10 = 0 - 0 + 10 = 10, aber NICHT 0.
> x2= 1
> x3=-1
Zufällig richtig, aber:
Ausklammern hat nur dann einen Sinn, wenn dabei keine Konstante übrig bleibt! Bei Dir jedoch:
[mm] 5x^{2}*(x^{2} [/mm] - 3) + 10 = 0
Sinnlos!
>
> doch wie bekomme ich die anderen nullstellen heraus? Selbst
> mit Polynomdivision kam ich nicht weiter...
Das wundert mich aber, denn:
Du könntest erst durch (x-1) ohne Rest dividieren
und das Ergebnis anschließend durch (x+1).
Damit hast Du Deine oben "gefundenen" Nullstellen beide schon mal weg.
Das Ergebnis der 2.Polynomdivision ist ein Term 2.Grades, deren Nullstellen Du leicht finden kannst.
>
> Polynomdivision: bei Teilen der Funktion durch die
> NUllstelle 1..bekam ich zwar den 3. Grad-Polynom heraus :
> [mm]5x^3+5x^2-10x-10[/mm] habe nun aber keine Ahnung wie man DAMIT
> die restlichen Nullstellen berechnen kann...
Naja: Siehe oben: Jetzt rätst Du [mm] x_{2} [/mm] = -1 als 2. Nullstelle und machst erneut Polynomdivision, nämlich durch (x+1)
> Bitte um dringende Hilfe..am besten mit Lösungsweg...(zur
> Info andere Verfahren als die Polynomdivision, Pq-Formel
> und Ausklammern kenne ich nicht für die
> Nullstellenbestimmung...)
Das ist aber seltsam, denn:
DIE BESTE METHODE BEI DIESER AUFGABE IST EINDEUTIG:
SUBSTITUTION,
also: [mm] z=x^{2}.
[/mm]
Dann kriegst Du:
[mm] 5z^{2} [/mm] - 15z + 10 = 0;
vereinfacht durch Division durch 5:
[mm] z^{2} [/mm] - 3z + 2 = 0.
Lösungen mit pq-Formel: [mm] z_{1} [/mm] = 1; [mm] z_{2} [/mm] = 2
und daraus die 4 Lösungen für x.
> Eine letzte MiniFrage, die ich nicht nochmal extra stellen
> wollte, weil sie wirklich klein ist wäre diese...
>
> Ich soll die Extremstellen einer Funktion bestimmen
> ...dies habe ich getan indem ich die 1. Ableitung gebildet
> hab und diese dann mit 0 gleichgesetzt hab..schließlich
> bekam ich 3 Punkte heraus....
> P1= (0/0)
> P2= (-4,9/75,3)
> P3= (4,9/-73,3)
> Logischer weise müsste P2 ein Hochpunkt sein und P3 ein
> Tiefpunkt...
Wieso "logischerweise"?
Geht's hier nur um eine Polynomfunktion?
> doch was ist P1?? Ein Wendepunkt? Und wenn ja wie kann ich
> das begründen oder woran kann man das erkennen??
Du hättest den Funktionsterm mitliefern sollen.
So kann ich nur Vermutungen aussprechen!
Also: Ich vermute, die Stelle x=0 ist eine DOPPELTE Nullstelle von f'(x).
Dann ist bei x=0 automatisch eine Terrassenstelle (Wendestelle mit waagrechter Tangente).
Deine Funktion f ist demnach 5.Grades, stimmt's?
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Vielen Dank für die Hilfe..hat mir wirklich gut weitergeholfen..beim Weiterrechnen bin ich jedoch auf ein neues Problem gestoßen *g* wäre wirklich nett wenn ich auch da eine Antwort bekommen könnte...
Also ich soll wiedermal bei der Funktion
F(x)= [mm] x^5-5x^3+10x-2
[/mm]
die Extremstellen bestimmen..dank ihrer Hilfe konnt ich das auch tun..herausbekommen habe ich
P1= (-1/-17)
P2= (1/4)
P3=(1,42/3,66)
P4= (-1,42/-7,86)
Diese Extremstellen sind auch richtig wie man durch einen Funktionsplotter ablesen kann...
Nun hab ich aber wieder dasselbe Problem wie vorhin...welche dieser Punkte sind nun Hochpunkte Tiefpunkte Wendepunkte oder etwas anderes? Woran kann man das erkennen? Selbst wenn mir der Funktionsplotter den Graphen zeichnet kann ich nicht exact sagen welches jetzt Hoch/Tief oder Wendepunkte sind... Wäre wirklich dankbar für eine Antwort
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Servus!
Erstmal: wenn du die Aufgabe exakt berechnen musst lass den Taschenrechnerkram etc. weg, [mm] \wurzel{2} [/mm] , sieht da auch viel galanter aus, ausserdem musst du im folgendem noch weiter rechnen.
Mach dir für die Beantwortung deiner Frage die hinreichenden Bedigungen klar:
Extrema: f'(x) = 0
Wenn x < 0 haste du einen Hochpunkt, bei x > 0 hast du einen Tiefpunkt
Wendepunkte: f''(x) = 0
Zu Anfang immer alle Ableitungen bis f'''(x) aufschreiben, und nachher einfach nur anwenden.
Hoffe das hat geholfen :)
Grüssle
Michi
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Könnten sie mir vielleicht an einem Beispiel verdeutlichen wie man das mit dem wendepunkt handhaben muss?
F''(x) also die zweite ableitung bilden...und dann?
was bedeutet F''(x)=0? MIt Null gleichsetzen? Und wenn ich das getan habe, was kommt dann daraus...?
Vielen Dank für die HIlfe
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Du musst f''(x) gleich 0 setzen, somit erhälts du die X- Koordinate des Wendepunktes. Für die Y - Koordinate das x in die zweite Ableitung einsetzen.
Den Nachweis lieferst du mit f'''(x) [mm] \not= [/mm] 0
Wenn f'''(x) = 0 hat die Funktion keinen Wendepunkt!
Grüssle
Michel
P.S.: Bitte nicht Siezen :P
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