Nullstellenberechnung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] x^2+kx+k=0
[/mm]
[mm] x^2+kx+ (k/2)^2= k^2/4-k=k^2-4k/4 [/mm] |
Hallo,
wie muss man hier die Nullstellen berechnen?Das ist doch Quadratische Ergänzung,oder?
Könnte mir bitte jemand erklären warum da jetzt aufeinam [mm] k^2-4k/4 [/mm] steht?
Wie kommt man darauf?
Vielen Dank im Voraus
Gruß,
Tokhey-Itho
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> [mm]x^2+kx+k=0[/mm]
> [mm]x^2+kx+ (k/2)^2= k^2/4-k=k^2-4k/4[/mm]
da hast du zuletzt eine notwendige Klammer weggelassen !
es muss heissen:
[mm]x^2+kx+ (k/2)^2= k^2/4-k=(k^2-4k)/4[/mm]
> Hallo,
>
> wie muss man hier die Nullstellen berechnen?Das ist doch
> Quadratische Ergänzung,oder?
ja, genau
> Könnte mir bitte jemand erklären warum da jetzt aufeinmal
> [mm]k^2-4k/4[/mm] steht?
> Wie kommt man darauf?
>
hallo Tokhey-Itho,
man kann die Umformung in einzelne Schritte auflösen:
[mm] x^2+k*x+k [/mm] = 0 | -k
[mm] x^2+k*x [/mm] = -k | [mm] +(k/2)^2 [/mm] (quadratische Ergänzung)
[mm] x^2+k*x+(k/2)^2 [/mm] = [mm] -k+(k/2)^2 [/mm] | links binomische Formel anwenden
[mm] (x+k/2)^2 [/mm] = [mm] -k+(k/2)^2 [/mm] | rechts ausmultiplizieren
[mm] (x+k/2)^2 [/mm] = [mm] -k+k^2/4 [/mm] | rechts auf gemeinsamen Nenner bringen
[mm] (x+k/2)^2 [/mm] = [mm] \bruch{-4k+k^2}{4}
[/mm]
Nächster Schritt: beidseitig Quadratwurzel ziehen
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= -k | (quadratische Ergänzung)
Genau das verstehe ich nicht!Kann man das irgendwie genauer aufschreiben?
Gruß
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Oh.Mir fällt gerade auf,dass man die Gleichung nicht sehen kann.Gemeint ist der zweite Schritt (Quardatische Ergänzung)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Sa 20.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Es sollte dir klar sein, dass man eine quadratische Gleichung loesen kann, wenn da steht :
[mm] (x-a)^2=b [/mm] dann kann man einfach auf beiden seiten die Wurzel ziehen und hat
[mm] x+a=\pm \wurzel{b}
[/mm]
Wenn du aber deine Gleichung an siehst hat sie leider nicht die schoene Form.
[mm] x^2+kx+k=0 [/mm] kann man keine Wurzel ziehen!
aber erstmal auf beiden Seiten k abziehen:
[mm] x^2+kx+k-k=0-k
[/mm]
[mm] x^2+kx= [/mm] -k
jetzt waer schoen, wenn links ein Quadrat stuende!
da wir keins haben, machen wir eins!
Dabei muss man sich an die binomische Formel erinnern:
[mm] (x+k/2)^2=x^2+2*k/2*x+(k/2)^2 [/mm] **
in unserer Formel oben fehlt also zum Quadrat der Teil [mm] (k/2)^2
[/mm]
den "ergaenzen wir. Wenn wir ihn aber nur auf einer Seite der Gleichung addieren, ist es ja nicht mehr die alte Gleichung. Also addieren wir ihn auf beiden Seiten, dann bleibt die Gleichung richtig:
[mm] x^2 [/mm] + kx =-k
[mm] x^2 [/mm] + kx [mm] +(k/2)^2 [/mm] = -k [mm] +(k/2)^2
[/mm]
jetzt koennen wir die linke Seite umschreiben wegen **
[mm] (x+k/2)^2 [/mm] = [mm] -k+(k/2)^2
[/mm]
oder die rechte Seit auf den hauptnenner gebracht:
[mm] (x+k/2)^2 [/mm] = [mm] (-4k+k^2)/4
[/mm]
Und jetzt endlich kann man auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.
Gruss leduart
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