Nullstellen mit Rouché < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen ( mit Vielfachheit ) der folgenden Polynome!
(a) [mm] z^7 + 5z^4 + iz^2 - 2 [/mm] in [mm] B_1 (0) [/mm]
(b) [mm] z^z - z^4 + z^2 - 6z + 2 [/mm] in [mm] K_{1, \infty} (0) [/mm]
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Hallo!
Ich versuche mich gerade an dieser Aufage und denke, dass man diese mit Hilfe von dem Satz von Rouché lösen kann. Aber ich bin mir nicht so sicher... Könnte mir vielleicht jemand nochmal verdeutlichen, was der Satz genau aussagt und wenn ich ihn hier verwenden kann, warum? Ich tue das, weil ich leider keinen anderen Ansatz habe und nicht weil ich mir wirklich dessen sicher bin.
Zu der Teilaufgabe (a) habe ich eine Lösung. Die Aufgabendstellung ist einer Aufgabe aus der Vorleung ähnlich und deswegen ginge das. Bei der (b) wusste ich leider nicht wie ich vorgehen soll.
So, und jetzt zu meinen Lösungesversuchen:
(a) Hier [mm] [mm] \gamma [/mm] : [mm] \left[ 0, 2 \pi \right] \to \IC [/mm] & [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] e^{it} [/mm] & Int [mm] \gamma [/mm] = [mm] B_1 [/mm] (0) [mm] \\
[/mm]
f(z) = [mm] z^7 [/mm] - [mm] 5z^4 [/mm] + [mm] iz^2 [/mm] - 2 [mm] \\
[/mm]
g(z) = - [mm] 5z^4 \\
[/mm]
[mm] \left| g(z) \right| [/mm] = 5 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \Gamma [/mm] & [mm] \Gamma [/mm] = [mm] \{ z \in \IC \| \left| z \right| = 1 \} \\
[/mm]
[mm] \left| f(z) - g(z) \right| [/mm] = [mm] \left| z^7 - iz^2 - 2 \right| [/mm] < [mm] \left|z\right|^7 [/mm] + [mm] \left|z \right|^2 [/mm] +2 = 4 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \Gamma \\
[/mm]
[mm] \Rightarrow \left|f(z) - g(z) \right| [/mm] < [mm] \left| g(z) \right| \forall [/mm] z [mm] \in \Gamma \\ [/mm] [ /mm]
Nach Satz von Rouché folgt, dass [mm] N(f) = N(g) = 4 [/mm] , denn Null ist die einzige Nullstelle von g, mit Vielfachheit 4.
Ist diese Lösung richtig?
Bei der (b) weiß ich nicht genau, denn wir haben eine andere Menge gegeben und ich weiß nicht wie ich f und g wählen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im Vorraus!
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Mo 15.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen,
der Satz von Rouché ist eine Anwendung des Nullstellen und Polstellen zählenden Integrals. Sieh mal ![[]](/images/popup.gif) hier, S.75/76.
Deine Lösung zu a) sieht gut aus, bis auf eine Kleinigkeit: im Polynom steht ein "+" vor dem [mm]5z^4[/mm], in deiner Rechnung ein "-". Das ändert aber nichts am Ergebnis.
Zu b: Dein Polynom fängt mit [mm]z^z[/mm] an. Soll das [mm]z^7[/mm] sein? Ist mit [mm]K_{1,\infty}(0)[/mm] der Kreisring mit Innenradius 1 und Außenradius [mm]\infty[/mm] gemeint, also [mm]\IC[/mm] ohne die Kreisscheibe vom Radius 1?
In diesem Fall bedenke, dass dir der Fundamentalsatz der Algebra sagt, wieviele Nullstellen ein Polynom in ganz [mm]\IC[/mm] hat. Es ist also egal, ob du die Anzahl der Nullstellen in [mm]K_{1,\infty}(0)[/mm] oder in [mm]\IC \backslash K_{1,\infty}(0)[/mm] ausrechnest.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Di 16.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Rainer!
Danke für die Antwort!
Ja , natürlich soll das ein [mm] z^7 [/mm] sein und ja, es handelt sich dabei um eine Kreisscheibe mit Innenradius 1 und Außenradius [mm] \infty [/mm]. Sorry, Tippgfehler.
Ich betrachte das Polymon [mm] z^7 - z^4 + z^2 - 6z +2 [/mm] auf [mm] \IC \setminus \mathbb E [/mm] . Wobei ich also hier die koplexen Zahlen ohne die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius 1 betrachte. Richtig so?
Es gilt für [mm] z \in \overline{B_1(0)} [/mm] :
[mm]
g(z) = - 6z \\
\left| g(z) \right| = 6 \\
\left|f(z) - g(z) \right| = \left| z^7 - z^4 + z^2 + 2
\right| < \left| z ^7 \right| + \left| z^4 \right| + \left| z^2 \right| +2 = 5 \\
\Rightarrow \left| f(z) - g(z) \right| < \left| g(z) \right| \\ [/mm]
Also nach Rouché besitzen diese auf [mm]
\overline{B_1(0)} [/mm] gleich viele Nullstellen und zwar eine.
Und somit dann auf [mm] \IC \setminus \mathbb E , 7 - 1 = 6 [/mm] Nullstellen.
So ungefähr?
Gruß Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Di 16.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen,
> Ich betrachte das Polymon [mm]z^7 - z^4 + z^2 - 6z +2[/mm] auf [mm]\IC \setminus \mathbb E[/mm]
> . Wobei ich also hier die koplexen Zahlen ohne die
> abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius 1 betrachte. Richtig
> so?
Ja, du musst aber mit dem Rand aufpassen. Die Voraussetzung für den Satz von Rouché muss auf einer (geschlossenen) Randkurve gelten, und die Funktionen dürfen auf der Kurve keine Nullstellen haben. Zweckmäßigerweise nimmst du den Rand deiner Kreisscheibe.
> Es gilt für [mm]z \in \overline{B_1(0)}[/mm] :
Du meinst den Rand [mm]\partial B_1(0)[/mm], [mm]\overline{B_1(0)}[/mm] ist der Abschluss.
> [mm]g(z) = - 6z \\
\left| g(z) \right| = 6 \\
\left|f(z) - g(z) \right| = \left| z^7 - z^4 + z^2 + 2
\right| < \left| z ^7 \right| + \left| z^4 \right| + \left| z^2 \right| +2 = 5 \\
\Rightarrow \left| f(z) - g(z) \right| < \left| g(z) \right| \\[/mm]
>
> Also nach Rouché besitzen diese auf [mm]\overline{B_1(0)} [/mm] gleich viele Nullstellen
Nein, sie besitzen gleich viele Nullstellen im Inneren, also in [mm]B_1(0)[/mm].
> und zwar eine.
> Und somit dann auf [mm]\IC \setminus \mathbb E , 7 - 1 = 6 [/mm]
> Nullstellen.
>
> So ungefähr?
Korrekt, bis auf die Argumentation mit dem Rand. Im Inneren gibt es eine Nullstelle, auf dem Rand keine, also 6 für [mm]|z|>1[/mm].
Ich habe das gerade mit Maxima nachgeprüft, das liefert sehr gute Näherungen für die Nullstellen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Di 16.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Super! Danke vielmals Rainer!
Viele Grüße
Irmchen
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