Nullstellen komplexe zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Igor22 |
| Aufgabe | Finden Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen und geben Die die jeweils sowohl in Polardarstellung als auch in kartesischer Darstellung da
z² - 4z + 2+ j(3 - 2z) = 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi leute
meine Frage ist wie rechnet man die Nullstellen aus.Ich weis das es nur mit q.E geht aber wenn ich mir die aufgabe ansehen weis ich nicht wie man das mit der q.E umstellt bei normalen Polynome wäre es für mich kein problem mich stört die j(3-2z).Ich bracuhe nur ein Tipp wie man das macht.
Danke schon mal in voraus.
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Hallo Igor,
multipliziere den Driss mit dem $j$ am Ende aus und fasse die beiden Ausdrücke, die $z$ enthalten zusammen (z ausklammern)
Dann kannst du die QE machen "wie gewohnt"
[mm] $z^2-4z+2+j(3-2z)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw z^2-4z+2+3j-2jz=0$
[/mm]
[mm] $\gdw z^2-\red{(4+2j)}z+(2+3j)=0$
[/mm]
Klappt's von hier an... ?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 30.12.2007 | | Autor: | Igor22 |
Hi
danke schachuzipus für die schnelle Antwort
bei der roten klammer kommt dan nicht - hin (4-2j)z ??.
Ich habe das mal in die polardarstellung ungewandelt ich weis aber nicht ob es auch richtig ist
z² - [mm] (\wurzel{20} [/mm] * [mm] e^{j33°})z [/mm] + [mm] (\wurzel{13} [/mm] * [mm] e^{j56°})
[/mm]
so das mit der QE bei komplexen Zahlen blicke ich immer noch nicht durch
Bsp bei normalen polynommen mache ich ja folgendes
f(x) = x² - 2x - 25
[mm] \gdw [/mm] (x² - 2x + 1) - 25 - 1
[mm] \gdw [/mm] (x - 1)²- 26
ja und bei der aufgaben würde das ja so aussehen
f(z) = z² - (4-2j)z + (2+3j)
[mm] \gdw [/mm] (z² - (4- 2j)z [mm] +\bruch{4- 2j}{2} [/mm] ) + (2+3j) - [mm] \bruch{4- 2j}{2} [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] (z² - (4- 2j)z +(2 - j )) + (2 + 3j) - (2 - j) = 0
[mm] \gdw [/mm] (z - (2 - j))² + 2j = 0 |- 2j | [mm] \wurzel{}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (z - (2 - j) = [mm] \wurzel{2j}
[/mm]
ist das richtig ????
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Hallo,
> danke schachuzipus für die schnelle Antwort
>
> bei der roten klammer kommt dan nicht - hin (4-2j)z ??.
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> Ich habe das mal in die polardarstellung ungewandelt ich
> weis aber nicht ob es auch richtig ist
>
> z² - [mm](\wurzel{20}[/mm] * [mm]e^{j33°})z[/mm] + [mm](\wurzel{13}[/mm] * [mm]e^{j56°})[/mm]
Die erste Polardarstellung ist nicht richtig:
$z = (4-2j) = [mm] \wurzel{20}*e^{-26,57°j} [/mm] = [mm] \wurzel{20}*e^{333,43°j}$
[/mm]
$arg(z) = arctan [mm] \left(\bruch{-2}{4}\right) [/mm] + 360°$ falls $0° [mm] \le \phi \le [/mm] 360°$
> so das mit der QE bei komplexen Zahlen blicke ich immer
> noch nicht durch
>
> Bsp bei normalen polynommen mache ich ja folgendes
>
> f(x) = x² - 2x - 25
> [mm]\gdw[/mm] (x² - 2x + 1) - 25 - 1
> [mm]\gdw[/mm] (x - 1)²- 26
>
> ja und bei der aufgaben würde das ja so aussehen
>
> f(z) = z² - (4-2j)z + (2+3j)
> [mm]\gdw[/mm] (z² - (4- 2j)z [mm]+\bruch{4- 2j}{2}[/mm] ) + (2+3j) -
> [mm]\bruch{4- 2j}{2}[/mm] = 0
Da hast Du ein Quadrat vergessen:
[mm]\gdw[/mm] [mm]f(z) = \left(z² - (4- 2j)z +\left(\bruch{4- 2j}{2}\right)^2 \right) + (2+3j) - \left(\bruch{4- 2j}{2}\right)^2=0[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Igor22 |
ah danke
so
z² - (4 + 2j)z + (2 + 3j) = 0
[mm] \gdw [/mm] (z² - (4+ 2j)z + [mm] (\bruch{4 + 2j}{2})²) [/mm] + (2 + 3j) - [mm] (\bruch{4 + 2j}{2})² [/mm]
[mm] \gdw [/mm] (z² - (4+ 2j)z + [mm] (\bruch{4}{2} [/mm] + [mm] j\bruch{2}{2})²) [/mm] + (2 + 3j) - [mm] (\bruch{4}{2} [/mm] + [mm] j\bruch{2}{2})²
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (z² - (4+ 2j)z + (2 + j)²) + (2 + 3j) - (2 + j)²
[mm] \gdw [/mm] (z - (4 + 2*2j + j²))² + (2 + 3j) - (4 + 2*2j + j²)
[mm] \gdw [/mm] (z - (3 + 4j))² + (2 + 3j) - (3 + 4j)
[mm] \gdw [/mm] (z - (3 + 4j))² + (-1 - j)
[mm] \gdw [/mm] (z - (3 + 4j))² - (1 + j) | + (1 + j)
[mm] \gdw [/mm] (z - (3 + 4j))² = (1 + j) | [mm] \wurzel{}
[/mm]
z - (3 + 4j) = (1 + j)²
[mm] \gdw [/mm] z - (3 + 4j) = 2j
[mm] \Rightarrow [/mm] z - (3 + 4j) = +2j [mm] \vee [/mm] z - (3 + 4j) = -2j
[mm] \Rightarrow [/mm] z = (3 + 6j) [mm] \vee [/mm] z = (3 + 2j)
ist das richtig habe keine Lösungen zu dieser Aufgabe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Igor!
> z² - (4 + 2j)z + (2 + 3j) = 0
> [mm]\gdw[/mm] (z² - (4+ 2j)z + [mm](\bruch{4 + 2j}{2})²)[/mm] + (2 + 3j) - [mm](\bruch{4 + 2j}{2})²[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (z² - (4+ 2j)z + [mm](\bruch{4}{2}[/mm] + [mm]j\bruch{2}{2})²)[/mm] + (2 + 3j) - [mm](\bruch{4}{2}[/mm] + [mm]j\bruch{2}{2})²[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (z² - (4+ 2j)z + (2 + j)²) + (2 + 3j) - (2 + j)²
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig, wenn Du hier noch $... \ = \ 0$ schreibst.
> [mm]\gdw[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(z - (4 + 2*2j + j²))² + (2 + 3j) - (4 + 2*2j + j²)
Warum multiplizierst Du hier vorne in der Klammer den Quadratterm aus? Das ist unnötig:
$$\gdw \ \ \left[z-(2+j) \right]^2 + 2+3j-\right(4+4j+j^2\right) \ = \ 0$$
$$\gdw \ \ \left[z-(2+j) \right]^2 + 2+3j-4-4j+1 \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Di 01.01.2008 | | Autor: | Igor22 |
Danke Danke hab mir sehr geholfen
mal ne frage nebenbei
was machen ich bei Funktionen Grad > 3
z.B hier
f(x) = [mm] z^{6} [/mm] - [mm] 2*z^{5} [/mm] - 3jz + 6j = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Igor!
Dann musst Du durch (gezieltes) Raten eine Nullstelle [mm] $z_1$ [/mm] herausfinden und anschließend eine  Polynomdivision durchführen.
Das wäre hier z.B.:
[mm] $$\left(z^6 -2*z^5- 3j*z + 6j\right) [/mm] \ : \ (z-2) \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Igor22 |
Kann man bei sollchen Aufgaben auch das Horner Schema benutzen.
Wie sieht das eigentlich aus mit den nullstellen das is ja ein polynom 6 grades und müsste ja(max) 6 nullstellen im reallen haben (z-2) wäre ja eine.Ich müsste ja noch 5 nullstellen im reallen haben und wie siehst im komplexen bereich aus da müsste ich ja auch insgesamt 6 haben. Meine Frage is jetzt ist eine realle nullstelle gleich eine komplexe nullstelle und hatt dan eine funktion 6 grades insgesamt 12 nullstellen 6 RE und 6 KO Nullstellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Fr 04.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eine fkt. 6.ten Grades hat genau 6 komplexe Nullstellen, davon können eine gerade Zahl auch reell (nicht real) sein. Jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Igor22 |
Danke für eure schnelle hilfe.
Kann es sein das ich hier was falsch gemacht habe
[mm] \gdw [/mm] (z - (4 + 2*2j + j²))² + (2 + 3j) - (4 + 2*2j + j²) = 0
[mm] \gdw [/mm] (z - (3 + 4j))² + (2 + 3j) - (3 + 4j)
[mm] \gdw [/mm] (z - (3 + 4j))² + (-1 - j)
[mm] \gdw [/mm] (z - (3 + 4j))² - (1 + j) | + (1 + j)
[mm] \gdw [/mm] (z - (3 + 4j))² = (1 + j) | [mm] \wurzel{}
[/mm]
z - (3 + 4j) = (1 + j)²
[mm] \gdw [/mm] z - (3 + 4j) = 2j Das ist doch falsch hier
Was ist den die [mm] \wurzel{(1 + j)} [/mm] kann man das vllt so machen
[mm] \gdw [/mm] (z - (3 + 4j))² = (1 + j) |
|z - (3 + 4j) | = | 1 + j |
[mm] \gdw [/mm] |z - (3 + 4j) |= [mm] \wurzel{1² + (-1)²}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |z - (3 + 4j) |= - [mm] \wurzel{2} \vee [/mm] |z - (3 + 4j) |= [mm] +\wurzel{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mo 07.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Danke für eure schnelle hilfe.
>
>
> Kann es sein das ich hier was falsch gemacht habe
>
> [mm]\gdw[/mm] (z - (4 + 2*2j + j²))² + (2 + 3j) - (4 + 2*2j + j²)
> = 0
die setz ich als richtig vorraus, weil ich keine Lust hab alte posts zu durchsuchen
> [mm]\gdw[/mm] (z - (3 + 4j))² + (2 + 3j) - (3 + 4j)
> [mm]\gdw[/mm] (z - (3 + 4j))² + (-1 - j)
> [mm]\gdw[/mm] (z - (3 + 4j))² - (1 + j) =0 | + (1 + j)
> [mm]\gdw[/mm] (z - (3 + 4j))² = (1 + j) | [mm]\wurzel{}[/mm]
> z - (3 + 4j) = (1 + j)²
das Quadrat fällt vom Himmel, ist also falsch!
> [mm]\gdw[/mm] z - (3 + 4j) = 2j
> Das ist doch falsch hier
ja!
richtig : z - (3 + 4j) = [mm] \wurzel{(1 + j)} [/mm]
>
> Was ist den die [mm]\wurzel{(1 + j)}[/mm] kann man das vllt so
> machen
>
> [mm]\gdw[/mm] (z - (3 + 4j))² = (1 + j) |
> |z - (3 + 4j) | = | 1 + j |
> [mm]\gdw[/mm] |z - (3 + 4j) |= [mm]\wurzel{1² + (-1)²}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> |z - (3 + 4j) |= - [mm]\wurzel{2} \vee[/mm] |z - (3 + 4j) |=
> [mm]+\wurzel{2}[/mm]
Das ist nicht falsch aber recht sinnlos, damit hättest du ja nur den Betrag raus! und alle Zahlen auf dem Kreis mit Radius [mm]\wurzel{2}[/mm] haben diesen Betrag.
Wurzeln zieht man am einfachsten indem man die Zahl als [mm] r*e^{i\phi} [/mm] schreibt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Igor22 |
Danke
habe da mal ne formel gefunden
z = [mm] \wurzel[n]{r*e_{j (\bruch{\phi}{n}+\bruch{2k\pi}{n}}} [/mm] k = 0,1,2 .... n-1
also das k steht ja für die verschiedenen Lösungen wenn ich das richtig verstanden habe, so dan müsste das bei mir so aussehen.
1 + j in polarform [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] e^{j \bruch{\pi}{4} }
[/mm]
(z - (3 + 4j))² = [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] e^{j \bruch{\pi}{4} } [/mm] | [mm] \wurzel{} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z - (3 + 4j) = [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] e^{j \bruch{\pi}{8} } \vee [/mm] z - (3 + 4j) = [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] e^{j \bruch{9\pi}{8} }
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mo 07.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, genau das hatte ich dir geschrieben, warum sagst du "hab da mal ne Formel gefunden?"
Gruss leduart
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Hi Igor,
nein, das muss schon [mm] \red{+} [/mm] sein in der Klammer, das ist ja ne Minusklammer.
Wir hatten doch [mm] $z^2-4z+2+3j-2jz=0$
[/mm]
[mm] $\gdw z^2-4z-2jz+(2+3j)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw z^2+z(-4-2j)+(2+3j)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw z^2-z(4+2j)+(2+3j)=0$
[/mm]
Also [mm] $z^2-(4+2j)z+(2+3j)=0$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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