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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Nullstellen in C
Nullstellen in C < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Nullstellen in C: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 Do 28.04.2005
Autor: cheetah_83

hab eine eigentlich recht einfache frage
ich will zeigen dass  [mm] x^{b}-1=0 [/mm] in  [mm] \IC [/mm] b verschiedene Nullstellen hat, zumindest hoffe ich dass es so ist
als tipp hab ich erhalten, dass ich mit  [mm] e^{ \bruch{2 \pi i k}{b}} [/mm]  mit k = 1, ..., b b verschiedene nullstellen habe
scheint mir aber irgendwie komisch da ja  [mm] e^{2 \pi i} [/mm] = 1 ist, also hab ich doch eigentlich nur 1en als nullstellen oder was seh ich da falsch?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Nullstellen in C: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Do 28.04.2005
Autor: Micha

Hallo!
> hab eine eigentlich recht einfache frage
>  ich will zeigen dass  [mm]x^{b}-1=0[/mm] in  [mm]\IC[/mm] b verschiedene
> Nullstellen hat, zumindest hoffe ich dass es so ist
>  als tipp hab ich erhalten, dass ich mit  [mm]e^{ \bruch{2 \pi i k}{b}}[/mm]
>  mit k = 1, ..., b b verschiedene nullstellen habe
>  scheint mir aber irgendwie komisch da ja  [mm]e^{2 \pi i}[/mm] = 1
> ist, also hab ich doch eigentlich nur 1en als nullstellen
> oder was seh ich da falsch?
>  

Also du suchst Lösungen für [mm] $x^b [/mm] -1 = 0$ also wenn ich das umstelle: [mm] $x^b [/mm] = 1$

Der Tipp den du bekommen hast ist schon ganz richtig:

[mm]e^{ \bruch{2 \pi i k}{b}}[/mm]

Gibt dir alle Lösungen dafür (es gibt b Nullstellen und die Vorschrift mit dem e gibt genau b Werte dafür).

Wie sieht das anschaulich aus? Nun die Lösungen liegen alle auf dem Einheitskreis.
Das bedeutet du zeichnest einen Kreis mit Radius 1 um den Ursprung in dem Koordinatensystem mit reeler und
imaginärer Achse.

Dann ist die Komplexe Zahl $1 +0i $schonmal eine Lösung nicht? $1 +0i$ entspricht der Zahl
[mm]e^{ \bruch{2 \pi i k}{b}}[/mm] mit k = b.

Die anderen Lösungen liegen auch auf dem Kreis und zwar immer so, dass auch das komplex-konjugierte von der Lösung
ebenfalls eine Lösung ist: Also ist a+bi Lösung, dann auch a-bi.

Nun zurück zu unserem Schema: Wir teilen den Kreis jetzt in b geich große Sektoren ein. An den Sektroengrenzen sind dann
immer weitere Lösungen für das Nullstellenproblem.

Gruß Micha ;-)


Bezug
                
Bezug
Nullstellen in C: Erledigt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 Do 28.04.2005
Autor: cheetah_83

danke für die schnelle antwort
hat mir sehr geholfen

Bezug
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