Nullstellen einer Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Mi 07.11.2007 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | | Gegeben sei eine reell analytische Funktion f auf einem Intervall I, die also insb. beliebig oft stetig differenzierbar auf I ist. Es existiere eine natürliche Zahl k und einen Punkt [mm] a\in [/mm] I , für die gilt: [mm] f^{(n+k)}(a)\neq [/mm] 0. Zeigen Sie, dass es eine punktierte Umgebung U von a gibt, für die [mm] f^{(n+1)}(x)\neq [/mm] 0 für alle [mm] x\in [/mm] U gilt. |
Wie kann ich die Existenz dieser (insb. punktierten!) Umgebung beweisen?
Mit dem Satz über die lokale Trennung von stetigen Funktionen erhalte ich eine Umgebung V von a, in der für alle [mm] y\in [/mm] V: [mm] f^{(n+k)}(y)\neq [/mm] 0 gilt. Nur wie kann ich nun auf die (n+1)-te Ableitung schließen?
Vielen Dank für Eure Tipps und Lösungsvorschläge
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Mi 07.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei eine reell analytische Funktion f auf einem
> Intervall I, die also insb. beliebig oft stetig
> differenzierbar auf I ist. Es existiere eine natürliche
> Zahl k und einen Punkt [mm]a\in[/mm] I , für die gilt:
> [mm]f^{(n+k)}(a)\neq[/mm] 0. Zeigen Sie, dass es eine punktierte
> Umgebung U von a gibt, für die [mm]f^{(n+1)}(x)\neq[/mm] 0 für alle
> [mm]x\in[/mm] U gilt.
Soll die Aussage für alle n oder nur für ein bestimmtes n gelten?
> Wie kann ich die Existenz dieser (insb. punktierten!)
> Umgebung beweisen?
Eine reell analytische Funktion besitzt eine konvergente Potenzreihe (Taylorreihe), ebenso alle Ableitungen. Entwickle f um a!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:31 Do 08.11.2007 | | Autor: | grenife |
> Hallo!
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> > Gegeben sei eine reell analytische Funktion f auf einem
> > Intervall I, die also insb. beliebig oft stetig
> > differenzierbar auf I ist. Es existiere eine natürliche
> > Zahl k und einen Punkt [mm]a\in[/mm] I , für die gilt:
> > [mm]f^{(n+k)}(a)\neq[/mm] 0. Zeigen Sie, dass es eine punktierte
> > Umgebung U von a gibt, für die [mm]f^{(n+1)}(x)\neq[/mm] 0 für alle
> > [mm]x\in[/mm] U gilt.
>
> Soll die Aussage für alle n oder nur für ein bestimmtes n
> gelten?
n ist als fix vorausgesetzt.
> > Wie kann ich die Existenz dieser (insb. punktierten!)
> > Umgebung beweisen?
>
> Eine reell analytische Funktion besitzt eine konvergente
> Potenzreihe (Taylorreihe), ebenso alle Ableitungen.
> Entwickle f um a!
Vielen Dank für den Tipp!
> Viele Grüße
> Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Do 08.11.2007 | | Autor: | grenife |
Ich entwickle f nach a. Dann gilt
[mm] f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i
[/mm]
bzw.
[mm] f(x)=\sum_{j=0}^{n+k-1}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j+\frac{f^{(n+k)}(a)}{(n+k)!}(x-a)^{n+k}+\sum_{l=n+k+1}^{\infty}\frac{f^{(l)}(a)}{l!}(x-a)^l
[/mm]
[mm] f^{(n+k)}(a) [/mm] ist laut der Voraussetzung ungleich Null, ebenso existiert eine Umgebung U von [mm] $f^{(n+k)}(a)$ [/mm] in der für alle [mm] x\in [/mm] U: [mm] f^{(n+k)}(x)\neq [/mm] 0 gilt.
Aber wie kann ich hieraus auf die (n+1)te Ableitung schließen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Do 08.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich entwickle f nach a. Dann gilt
> [mm]f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i[/mm]
> bzw.
>
> [mm]f(x)=\sum_{j=0}^{n+k-2}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j+\frac{f^{(n+k)}(a)}{(n+k)!}(x-a)^{n+k}+\sum_{l=n+k+1}^{\infty}\frac{f^{(l)}(a)}{l!}(x-a)^l[/mm]
>
> [mm]f^{(n+k)}(a)[/mm] ist laut der Voraussetzung ungleich Null,
> ebenso existiert eine Umgebung U von [mm]f^{(n+k)}(a)[/mm] in der
> für alle [mm]x\in[/mm] U: [mm]f^{(n+k)}(x)\neq[/mm] 0 gilt.
> Aber wie kann ich hieraus auf die (n+1)te Ableitung
> schließen?
Du kannst alle Ableitungen genauso entwickeln, entweder direkt oder durch gliedweises Ableiten der Taylorreihe von f:
[mm]f^{(n+1)}(x)=\sum_{j=0}^{k-2}\frac{f^{(n+1+j)}(a)}{j!}(x-a)^{j}
+\frac{f^{(n+k)}(a)}{(k-1)!}(x-a)^{k-1}
+\sum_{l=k}^{\infty}\frac{f^{(n+1+l)}(a)}{l!}(x-a)^l[/mm]
Für die letzte Summe kannst du eine der Restgliedformeln nehmen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Do 08.11.2007 | | Autor: | grenife |
Hi,
die Entwicklung von [mm] f^{(n+1)} [/mm] nach a ist mir klar und die Restabschätzung der letzten Summe dürfte auch kein Problem sein, aber ich kann doch mit den Voraussetzungen nur für den mittleren Summanden mit [mm] f^{(n+k)}(x) [/mm] die Aussage treffen, dass dieser in einer punktierten Umgebung von a ungleich Null ist. In der Umgebung U gilt ja [mm] f^{(n+k)}(x)\neq [/mm] 0 und $a$ lasse ich wegen dem Term $(x-a)$ heraus. Über die anderen Terme kann ich doch so ohne weiteres keine Aussage über Nullstellen in [mm] U\backslash\{a\} [/mm] treffen oder?
Viele Grüße und vielen Dank für Deine Geduld irgendwie stehe ich hier etwas auf der Leitung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Do 08.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> die Entwicklung von [mm]f^{(n+1)}[/mm] nach a ist mir klar und die
> Restabschätzung der letzten Summe dürfte auch kein Problem
> sein, aber ich kann doch mit den Voraussetzungen nur für
> den mittleren Summanden mit [mm]f^{(n+k)}(x)[/mm] die Aussage
> treffen, dass dieser in einer punktierten Umgebung von a
> ungleich Null ist. In der Umgebung U gilt ja
> [mm]f^{(n+k)}(x)\neq[/mm] 0 und [mm]a[/mm] lasse ich wegen dem Term [mm](x-a)[/mm]
> heraus. Über die anderen Terme kann ich doch so ohne
> weiteres keine Aussage über Nullstellen in [mm]U\backslash\{a\}[/mm]
> treffen oder?
Letzten Endes läuft es darauf hinaus, dass für eine Nullstelle a einer (reell) analytischen Funktion f gilt: [mm]f(x) = (x-a)^m *g(x)[/mm], wobei a keine Nullstelle von g ist.
Der Beweis geht ungefähr so: Wähle das kleinste k, für das die Voraussetzung [mm]f^{(n+k)}(a)\not=0[/mm] gilt. Dann haben die Funktion und ihre Ableitungen bis [mm]f^{(n+k-1)}[/mm] bei a eine Nullstelle. Folglich ist in der Reihenentwicklung der erste von 0 verschiedene Term der mit [mm]f^{(n+k)}[/mm]. Dann kannst du den dazugehörigen Faktor [mm](x-a)^{n+k}[/mm] ausklammern und hast eine neue Reihenentwicklung, deren erstes Glied von 0 verschieden ist. [mm](x-a)^{n+k}[/mm] ist auch von 0 verschieden; daher musst du noch zeigen, dass in einer ausreichend kleinen Umgebung von a der erste Term größer ist als das Restglied.
Viele Grüße
Rainer
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