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| Aufgabe | Bestimmen sie die Nullstellen der Funktion
[mm] $x^4-1$ [/mm] |
Hallo, für eine Partialbruchzerlegung brauche ich einen Rechenweg die Nullstellen der Nenner Funktion zu bestimmen, diese ist [mm] $x^4-1$
[/mm]
Über Wolfram alpha weiß ich das [mm] $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ [/mm] ist ich brauche jedoch einen Rechenweg wie ich die Nullstellen einer Funktion der Form [mm] $x^n-1$ [/mm] bestimme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Fr 27.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> Bestimmen sie die Nullstellen der Funktion
> [mm]x^4-1[/mm]
> Hallo, für eine Partialbruchzerlegung brauche ich einen
> Rechenweg die Nullstellen der Nenner Funktion zu bestimmen,
> diese ist [mm]x^4-1[/mm]
> Über Wolfram alpha weiß ich das [mm]x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)[/mm]
> ist ich brauche jedoch einen Rechenweg wie ich die
> Nullstellen einer Funktion der Form [mm]x^n-1[/mm] bestimme.
Das sind die ![[]](/images/popup.gif) Einheitswurzeln.
Es gilt:
[mm] x^n-1=0 \gdw x^n=1 \implies |x|^n=1 \gdw |x|=1 [/mm] .
und damit bietet sich die Darstellung
[mm] x=e^{i\varphi} [/mm]
an:
[mm] x^n=1 \gdw e^{in\varphi} =1 \gdw in\varphi =2k\pi[/mm], [mm]k\in \IZ[/mm].
Also sind die n Nullstellen von [mm] $x^n-1$: [/mm]
[mm] 1,\zeta_n,\zeta_n^2\,\dots\zeta_n^{n-1}[/mm] mit [mm]\zeta_n = \exp\left(\bruch{2\pi i}{n}\right) [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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