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| Aufgabe | Nullstellen für [mm] x^4 [/mm] - [mm] 5^3 [/mm] + [mm] 9x^2 [/mm] -8x +4
bestimmen |
Hallo zusammen,
bin ein wenig verwirrt...
Mache gerade eine Partialbruchzerlegung...
Diese stellt ansich aber kein Problem dar...
Ich muss für den Nenner die Nullstellen bestimmen:
[mm] (x-2)^2 [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] -x +1)
Nun habe ich vereinfacht bzw. ausgeklammert:
[mm] x^4 [/mm] - [mm] 5^3 [/mm] + [mm] 9x^2 [/mm] -8x +4
Nun dachte ich zumindest immer, es gibt so viele Nullstellen wie
die höchste Potenz....
Meine ist hier 4.. D.h. ich nehme an es gibt 4 Nullstellen..
Doch die große Überraschung kam nun beim Plotten.
Es wird mir nur eine Nullstelle angezeigt...
Was mache ich falsch?
Normalerweise würde ich nun die Polynomdivision durchführen..
Würde der höchste Grad 2 sein, nehme ich die PQ-Formel..
Vielen lieben dank,
Steffi
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Hallo!
du meinst sicher in der aufgaben stellung statt 5³ doch 5x³? Tatsächlich gibt es nur 2 nullstellen im reellen. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt das es höchstens soviele nullstellen gibt wie hoch die potenz ist. Im komplexen würden sich bei deiner funktion wahrscheinlich 4 nullstellen ergeben aber nicht im reellen!
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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> Nullstellen für [mm]x^4[/mm] - [mm]5^3[/mm] + [mm]9x^2[/mm] -8x +4
> bestimmen
> Ich muss [...] die Nullstellen bestimmen:
>
>
> [mm](x-2)^2[/mm] * [mm](x^2[/mm] -x +1)
> Nun habe ich vereinfacht bzw. ausgeklammert:
>
> [mm]x^4[/mm] - [mm]5^3[/mm] + [mm]9x^2[/mm] -8x +4
>
> Nun dachte ich zumindest immer, es gibt so viele
> Nullstellen wie
> die höchste Potenz....
> Meine ist hier 4.. D.h. ich nehme an es gibt 4
> Nullstellen..
>
> Doch die große Überraschung kam nun beim Plotten.
> Es wird mir nur eine Nullstelle angezeigt...
Hallo,
es hat Dir Tyskie ja schon ein bißchen etwas gesagt.
Über [mm] \IC [/mm] zerfällt tatsächlich jedes reelle Polynom vom grad n in n Linearfaktoren, hat also n Nullstellen - diese müssen nicht notwendigerweise verschieden sein.
Diesen Fall hast Du auch bei Deinem Polynom: 2 ist hier ein doppelte Nullstelle - deshalb siehst Du beim Plotten nur eine.
Dein Polynom [mm] =(x-2)^2(x-\bruch{1}{2}(1+i\wurzel{3}))(x-\bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3}))
[/mm]
In [mm] \IR [/mm] haben Polynome v. Grad n höchstens n Nullstellen.
Wenn Du ein bißchen nachdenkst, werden Dir reelle Polynome einfallen, die überhaupt keine reellen Nullstellen haben, denk nur an [mm] x^2 [/mm] + 1 oder [mm] (x^2+5)^3 [/mm] oder eben [mm] x^2-x+1.
[/mm]
Bei ungeraden reellen Polynomen kann das nicht passieren: die haben immer mindestens eine Nullstelle in [mm] \IR.
[/mm]
Für Deine PBZ nimmst Du nun die Nenner (x-2), [mm] (x-2)^2 [/mm] und [mm] (x^2-x+1).
[/mm]
Gruß v. Angela
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Dankeschön Euch beiden :)
Irgendwie hab ich aber nen Blackout jetzt :(
Wieso muss ich denn nicht im Nenner die Klammern auflösen?
Und wieso kann ich nicht die PQ-Formel verwenden :)
Krieg ich denn Nenner nicht was die Potenz betrifft "kleiner"?
Dankeschön
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Hallo Steffi!
> Wieso muss ich denn nicht im Nenner die Klammern auflösen?
Du bist doch gerade auf dem umgekehrten Weg: Du möchtest aus dem Polynom 4. Grades eine weitestgehende Faktorisierung vornehmen, um anschließend die  Partialbruchzerlegung durchzuführen.
> Und wieso kann ich nicht die PQ-Formel verwenden :)
Auf den quadratischen Term [mm] $x^2-x+1$ [/mm] kannst Du diese gerne anwenden. Aber da solltest Du dann feststellen, dass es keine weiteren reellen Lösungen / Nullstellen mehr gibt (nur noch die beiden von Angela genannten komplexen).
Gruß vom
Roadrunner
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