Nullstellen Trigon. Fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 12.07.2012 | | Autor: | Pacali |
| Aufgabe | Es geht um eine Kurvendiskussion folgender Funktion:
f(x) = 2sin(x) + sin(2x) |
Die Funktion ist periodisch, hat also mehrere Nullstellen.
Hier meie Bestimmung der NS:
2sin(x) + sin(2x) = 0
-2sin(x) = sin(2x)
Anwendung Additionstheorem:
-2sin(x) = 2sin(x) * cos(x)
=> cos(x) = -1
=> x = arccos(-1), also ein vielfaches von [mm] \pi
[/mm]
Hier meine Frage: Weil die Funktion periodisch ist,
hat sie Nullstellen bei [mm] \pi, 3\pi, 5\pi, 7\pi, [/mm] etc.
Wie schreibe ich das korrekt hin? (Mein Prof achtet sehr auf korrekte Schreibweise).
Ich hätte es mir so gedacht: [mm] NS(0,k\pi) (k\in\IZ [/mm] \ {h*2; [mm] h\in\IZ}
[/mm]
(also Nustelle bei x = 0, y = [mm] k*\pi; [/mm] k Element von Z ohne h*2, h ist Element von Z)
Danke im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
> Es geht um eine Kurvendiskussion folgender Funktion:
> f(x) = 2sin(x) + sin(2x)
> Die Funktion ist periodisch, hat also mehrere
> Nullstellen.
>
> Hier meie Bestimmung der NS:
>
> 2sin(x) + sin(2x) = 0
> -2sin(x) = sin(2x)
> Anwendung Additionstheorem:
> -2sin(x) = 2sin(x) * cos(x)
> => cos(x) = -1
> => x = arccos(-1), also ein vielfaches von [mm]\pi[/mm]
>
> Hier meine Frage: Weil die Funktion periodisch ist,
> hat sie Nullstellen bei [mm]\pi, 3\pi, 5\pi, 7\pi,[/mm] etc.
> Wie schreibe ich das korrekt hin? (Mein Prof achtet sehr
> auf korrekte Schreibweise).
>
> Ich hätte es mir so gedacht: [mm]NS(0,k\pi) (k\in\IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {h*2;
> [mm]h\in\IZ}[/mm]
>
> (also Nustelle bei x = 0, y = [mm]k*\pi;[/mm] k Element von Z ohne
> h*2, h ist Element von Z)
>
> Danke im Vorraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[mm]f(x)=-2\cdot sin(x)+sin(2\cdot x)[/mm]
Mit dem Additionstheorem folgt:
[mm]f(x)=-2\cdot sin(x)+2\cdot sin(x)\cdot cos(x)[/mm]
[mm]=-2\cdot sin(x)\cdot[1-cos(x)]=0[/mm]
Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt:
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.
Unterscheide also zwei Fälle.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Do 12.07.2012 | | Autor: | Pacali |
Hallo Valerie.
Danke erstmal für die schnelle Antwort.
[Du hast vor die Funktion ein negatives Vorzeichen gesetzt
Sie lautet: f(x) := 2 * sin (x) + sin(2x)]
Additionstheorem:
f(x) = 2 * sin (x) + 2 * sin (x) * cos (x) = 0
0 = [mm] 2\sin [/mm] (x) [1 + cos (x)]
(Danke für den Tipp mit dem Ausklammern, hatte ich glatt übersehen)
Dann kommen die restlichen Vielfachen von [mm] \pi [/mm] noch als Nullstellen dazu, was die Schreibweise des Endergebnisses natürlich vereinfacht.
Aber für das Teilergebnis für den Fall cos(x) = -1 muss ich trotzdem irgendwie angeben, dass es nur bei ungeraden Vielfachen von [mm] \pi [/mm] aufgeht.
Also bleibt meine Frage erstmal offen...
P.S. der Texteditor wollte das mit der geschweiften Klammer aus irgend einem Grund nicht zulassen, ich musste ein Leerzeichen davor setzen, damit es überhaupt angezeigt wurde.
MfG
Marc
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> Hallo Valerie.
> Danke erstmal für die schnelle Antwort.
> [Du hast vor die Funktion ein negatives Vorzeichen gesetzt
> Sie lautet: f(x) := 2 * sin (x) + sin(2x)]
>
> Additionstheorem:
> f(x) = 2 * sin (x) + 2 * sin (x) * cos (x) = 0
> 0 = [mm]2\sin[/mm] (x) [1 + cos (x)]
>
> (Danke für den Tipp mit dem Ausklammern, hatte ich glatt
> übersehen)
> Dann kommen die restlichen Vielfachen von [mm]\pi[/mm] noch als
> Nullstellen dazu, was die Schreibweise des Endergebnisses
> natürlich vereinfacht.
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> Aber für das Teilergebnis für den Fall cos(x) = -1 muss
> ich trotzdem irgendwie angeben, dass es nur bei ungeraden
> Vielfachen von [mm]\pi[/mm] aufgeht.
> Also bleibt meine Frage erstmal offen...
>
> P.S. der Texteditor wollte das mit der geschweiften Klammer
> aus irgend einem Grund nicht zulassen, ich musste ein
> Leerzeichen davor setzen, damit es überhaupt angezeigt
> wurde.
>
> MfG
>
> Marc
hallo,
also wir schrieben immer [mm] (2n+1)*\pi [/mm] und n als element der ganzen zahlen.
so ein fehler wie im ersten post, wo du durch cos(x) teilst, musst du immer zusätzlich sicherstellen, dass dies nur für [mm] cos(x)\not= [/mm] 0 gilt
gruß tee
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Hi!
> Hallo Valerie.
> Danke erstmal für die schnelle Antwort.
> [Du hast vor die Funktion ein negatives Vorzeichen gesetzt
> Sie lautet: f(x) := 2 * sin (x) + sin(2x)]
> Additionstheorem:
> f(x) = 2 * sin (x) + 2 * sin (x) * cos (x) = 0
> 0 = [mm]2\sin[/mm] (x) [1 + cos (x)]
>
> (Danke für den Tipp mit dem Ausklammern, hatte ich glatt
> übersehen)
> Dann kommen die restlichen Vielfachen von [mm]\pi[/mm] noch als
> Nullstellen dazu, was die Schreibweise des Endergebnisses
> natürlich vereinfacht.
Den Fehler den du in deinem ersten Beitrag gemacht ist, dass du einfach durch [mm]sin(x)[/mm] geteilt hast. Das darfst du nicht ohne weiteres, da es ja sein könnte, das der von [mm]x[/mm] abhängige sinus null wird.
Du würdest also durch null teilen, was bekanntermaßen verboten ist.
Du solltest dir merken, nie einfach durch eine Variable (von der die Funktion abhängig ist) zu teilen, bei der noch die Möglichkeit besteht, sie null werden zu lassen.
Dort folgt immer eine Fallunterscheidung.
> Aber für das Teilergebnis für den Fall cos(x) = -1 muss
> ich trotzdem irgendwie angeben, dass es nur bei ungeraden
> Vielfachen von [mm]\pi[/mm] aufgeht.
> Also bleibt meine Frage erstmal offen...
Wie gesagt, betrachte zwei Fälle:
[mm]\underline{1. Fall: sin(x)=0[/mm]
[mm]L=\{k\cdot \pi|k\in \IZ\}[/mm]
[mm]\underline{2. Fall: 1+cos(x)=0}[/mm]
[mm]L=\{2\cdot k\cdot \pi+\pi|k\in \IZ\}=\{\pi\cdot(2\cdot k\cdot+1)|k\in \IZ\}[/mm]
Das L soll hier für Lösungsmenge stehen.
> P.S. der Texteditor wollte das mit der geschweiften Klammer
> aus irgend einem Grund nicht zulassen, ich musste ein
> Leerzeichen davor setzen, damit es überhaupt angezeigt
> wurde.
Weiß nicht genau was du meinst, aber du kannst einfach mal auf die Formel klicken, die ich geschrieben habe. Der Quelltext wird dir dann angezeigt.
> MfG
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> Marc
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