Nullstellen Quadrat. LN-FKT < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Do 09.02.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Ich möchte die Nullstellen berechnen von
[mm] 2*(ln(x))^2 [/mm] - ln(x) - 1 = 0
Ich gehe nun so vor, dass ich ln(x) = z substituiere
[mm] 2z^2 [/mm] - z -1 =0 geteilt durch 2
[mm] z^2 [/mm] - 0,5z - 0,5
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \pm \wurzel{\bruch{1}{16}+ \bruch{8}{16}}
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = 1
[mm] z_2 [/mm] = -0,5
Und nun möchte ich das Eregbnis haben, muss also eine Rücksubstitution vornehmen, d.h. es bleibt zu lösen:
ln(x) = 1
und
ln(x) = -0,5
So, wie löse ich nun ln(x) = 1 ?
Klar, der ln von der eulerschen zahl ist eins, aber wie komme ich rechnerisch drauf????
Grüße Phoney
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Hallo Phoney!
Wende auf beide Seiten der Gleichung die Umkehrfunktion des [mm] $\ln(...)$ [/mm] an: die e-Funktion. Damit wird:
[mm] $\ln(x) [/mm] \ = \ 1$
[mm] $e^{\ln(x)} [/mm] \ = \ [mm] e^1$
[/mm]
$x \ = \ e$
Genauso dann mit der anderen Lösung verfahren ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 09.02.2006 | | Autor: | Phoney |
Hi!
dann also so:
ln(x) = -0,5
[mm] e^{ln(x)}= e^{-0,5}
[/mm]
x = [mm] e^{-0,5}
[/mm]
Wieso darf ich hier die Umkehrfunktion verwenden und warum ist dann der rechte Teil die Lösung? Verstehe ich nicht...
Grüße,
Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Do 09.02.2006 | | Autor: | tobi.m |
Hallo Phoney,
allgemein hast du die Gleichung ln(x) = y
die Umkehrfunktion von ln ist die e-Funktion, und es ist [mm] f(f(x))^{-1}\mbox{ = x}, [/mm] also hier [mm] e^{ln(x)}\mbox{ = x}
[/mm]
du setzt nun ln(x) in die e-Funktion ein (linke Seite) und analog y auf der rechten Seite einsetzen, damit ist die Gleichung [mm] e^{ln(x)} [/mm] = [mm] e^{y}
[/mm]
und das ist dann das gesuchte x = [mm] e^{y}
[/mm]
Ich hoffe das macht es verständlich.
Gruss Tobias
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