Nullstellen 2 Lösungen < Fachdidaktik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Sa 06.12.2008 | | Autor: | DaMazen |
| Aufgabe | | Berechne die Nullstellen von f(x)=x²-25 |
Stratet man nun die Berechnung ist ja alles klar, bis man zu dem Schritt
25=x² kommt. Nun wird die Wurzel gezogen. Das Ergebnis ist ja immer positiv laut Definition. Hat jemand eine Idee wie man den Schülern nun mathematisch vermitteln soll, dass es zwei Lösungen gibt?
D.H. [mm] \wurzel{25}=x [/mm] oder [mm] -\wurzel{25}=x
[/mm]
Woher sollen Sie wissen, dass man vor dem ziehen dieses Minus davor schreibt. Wie soll es an dieser Stelle dahin kommen.
Ich scheine im Momen einfach keine, für Schüler logische und dennoch mathematisch richtige Lösung zu finden.
Nach dem Wurzel ziehen wäre es ja irgendwo klar...nur so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo DaMazen!
Gehe über folgenden Weg:
[mm] $$x^2-25 [/mm] \ = \ 0$$
$$(x+5)*(x-5) \ = \ 0$$
Nun das Prinzip des Nullproduktes anwenden.
Gruß
Loddar
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> Berechne die Nullstellen von f(x)=x²-25
> Stratet man nun die Berechnung ist ja alles klar, bis man
> zu dem Schritt
>
> 25=x² kommt. Nun wird die Wurzel gezogen. Das Ergebnis ist
> ja immer positiv laut Definition. Hat jemand eine Idee wie
> man den Schülern nun mathematisch vermitteln soll, dass es
> zwei Lösungen gibt?
> D.H. [mm]\wurzel{25}=x[/mm] oder [mm]-\wurzel{25}=x[/mm]
>
> Woher sollen Sie wissen, dass man vor dem ziehen dieses
> Minus davor schreibt. Wie soll es an dieser Stelle dahin
> kommen.
>
> Ich scheine im Momen einfach keine, für Schüler logische
> und dennoch mathematisch richtige Lösung zu finden.
> Nach dem Wurzel ziehen wäre es ja irgendwo klar...nur so?
Hallo,
dieses Problem ist mir wohlbekannt.
Wenn [mm] x^2=25 [/mm] dasteht, ist gibt es regelmäßig folgenden Dialog:
Ich: Was bedeutet das? Es bedeutet, daß wir sämtliche Zahlen suchen, die mit sich selbst malgenommen 25 ergeben.
Schüler: also x=5
Ich: Ist das die einzige Zahl, die mit sich selbst multipliziert 25 ergibt.
Schüler: ???
Ich: was ist denn eigentlich (-2)*(-2) ?
Schüler, stutzt, dann erhellt: auch noch -5 !
Ich meine, daß im Unterricht oft das Ansinnen, welches man hat, wenn [mm] x^2=25 [/mm] dasteht, nicht deutlich herausgearbeitet wird - oder nicht ankommt.
Meinen Spruch "Was bedeutet das? Es bedeutet, daß wir sämtliche Zahlen suchen, die mit sich selbst malgenommen 25 ergeben." sage ich immer wieder, wenn die Gleichungsumformung so weit gediehen ist. Und ich lasse ihn aufsagen...
Im Schritt von [mm] x^2=25 [/mm] zu [mm] x_{1,2}=\pm [/mm] 5 geht es vornehmlich ums Finden der Lösungen. Das Ziehen der Wurzel aus 25 ist ein Hilfsmittel dazu, eins der Werkzeuge, die man verwendet.
Bei Schülern, die mit Funktionsgraphen etwas anfangen können, ist auch die Betrachtung der Graphen von [mm] x^{2n} [/mm] und [mm] x^{2n+1} [/mm] sehr lehrreich und überzeugend.
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Es paßt hier ganz gut, und es hat mich Anfang der Woche etwas erregt. Da sah ich im Schulbuch meiner Nachhilfeschülerin folgendes.
Berechne mit dem Taschenrechner:
[mm] \wurzel[6]{4} \quad \blue{\pm}
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{6} \quad \blue{+}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Das Blaue waren die dünnen Bleistifteintragungen meiner Schülerin, die sie sich im Unterricht gemacht hatte. Da hatten die also im Unterricht tatsächlich besprochen, daß [mm] [6]\wurzel{4} [/mm] zwei Zahlen gleichzeitig ist. Ich fand das nicht so prickelnd.
Was daraus geworden ist, weiß ich noch nicht, sie wollte das anderntags im Unterricht ansprechen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 06.12.2008 | | Autor: | DaMazen |
Vielen Dank für die qualifizierte Antwort. Die Hilft mir gut weiter.
ICh kann den Schülern also sagen, dass nach der Definition der Wurzel das Ergebnis immer eine positive Zahl ist. Da wir aber an der Stelle X²=25 alle Zahlen suchen die diese Gleichung erfüllen und sehen, das sowohl 5 als auch -5 in Frage kommen, schreiben wir dann mathematisch korrekt [mm] \wurzel{25} [/mm] und [mm] -\wurzel{25}. [/mm] Ich finde es so überzeugend!?
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> Vielen Dank für die qualifizierte Antwort. Die Hilft mir
> gut weiter.
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> ICh kann den Schülern also sagen, dass nach der Definition
> der Wurzel das Ergebnis immer eine positive Zahl ist.
Moment, von welchem Ergebnis sprichst Du?
[mm] \wurzel{25} [/mm] ist positiv. Immer.
Denn [mm] \wurzel{25} [/mm] ist nach Definition die nichtnegative Zahl a, für welche [mm] a^2=25 [/mm] ist. (Also 5).
Da
> wir aber an der Stelle X²=25 alle Zahlen suchen die diese
> Gleichung erfüllen und sehen wissen, das sowohl 5 als auch -5 in
> Frage kommen, schreiben wir dann mathematisch korrekt
Wenn man doch gleich weiß, daß die Lösungen [mm] \pm [/mm] 5 sind, würde ich da gar nichts mehr mit Wurzeln schreiben lassen. Wofür? [mm] \wurzel{25} [/mm] ist ja nicht "mathematischer " als 5.
Man kann natürlich nicht damit rechnen, daß sie wissen, daß [mm] \wurzel{25}=5 [/mm] ist: wenn sie sehen, daß [mm] \wurzel{25} [/mm] eine Lösung der Gleichung ist, müssen sie sich daran erinnern, daß es das Negative dieser Zahl dann genauso tut, weil ja "minus mal minus plus" ist. Dann können sie [mm] \wurzel{25} [/mm] in ihren Taschenrechner eintippen...
Gruß v. Angela
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Hey,
wenn man die Wurzel aus einer Zahl zieht, ist das Ergebnis immer positiv. Somit ist [mm] \wurzel{x^2}\red{\not=}x, [/mm] sondern es gilt: [mm] \wurzel{x^2}=|x|.
[/mm]
Zieht man auf beiden Seiten der Gleichung nun die Wurzel so gilt:
[mm] |x|=\wurzel{25}=5
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x=5 oder x=-5
So finde ich es am besten. Ist aber natürlich auch schon sehr mathematisch dieses Vorgehen.
Gruß Patrick
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