Nullstellen - Graph - Umkehrun < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Do 10.05.2012 | | Autor: | lunaris |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f:(X) = -ln (1-e ^-X )
a ) Geben Sie die D an. Besitzt f eine ( oder mehrer ) Nullstelle(n) ?
d ) Zeichnen Sie G .
e ) Begründen Sie, dass die Funktion f umkehrbar ist , und geben Sie f ^-1 ( X ) an. Was lällt Ihnen auf ? Deuten Sie Ihr ergebnis geometrisch . |
a ) [mm] {X\in \IR+| X>-ln1 }
[/mm]
Diese Funktion besitzt keine Nullstelle.
d ) Es ist eine Parabelschar. Leider kann ich nichts einscannen, da mein PC beim richten ist .
e ) beide Funktionsterme uund Definitionsbereiche sind identisch.
Muss diese Hausaufgabe im Unterricht vorstellen und möchte bitte wissen, ob mein Ergebnis richtig ist. Ob ich richtig gezeichnelt habe, weiß ich auch nicht.
Herzlichen Dank !
|
|
| |
|
Servus,
> Gegeben ist die Funktion f:(X) = -ln (1-e ^-X )
[mm]f(x)=-\ln (1-e^{-x})[/mm]
> a ) Geben Sie die D an. Besitzt f eine ( oder mehrer )
> Nullstelle(n) ?
>
> d ) Zeichnen Sie G .
> e ) Begründen Sie, dass die Funktion f umkehrbar ist ,
> und geben Sie f ^-1 ( X ) an. Was lällt Ihnen auf ? Deuten
> Sie Ihr ergebnis geometrisch .
> a ) [mm]{X\in \IR+| X>-ln1 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du musst herausfinden, für welche x gilt: [mm] $0<1-e^{-x}$. [/mm]
> Diese Funktion besitzt keine
> Nullstelle.
Das ist korrekt.
>
> d ) Es ist eine Parabelschar. Leider kann ich nichts
> einscannen, da mein PC beim richten ist .
Wieso Schar? Eine Schar kenn ich nur von Funktionen, die von einem zusätzlichen Parameter abhängen. [mm] $f_a(x)$. [/mm] Meinst du Hyperbel?
> e ) beide Funktionsterme uund Definitionsbereiche sind
> identisch.
Ja.Fehlt nur die geometr. Deutung.
>
> Muss diese Hausaufgabe im Unterricht vorstellen und möchte
> bitte wissen, ob mein Ergebnis richtig ist. Ob ich richtig
> gezeichnelt habe, weiß ich auch nicht.
>
> Herzlichen Dank !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 10.05.2012 | | Autor: | lunaris |
aber -ln1 ist doch 0 ich hab das etwas falsch geschreiben
eigentlich ist es nur R-plus weil x größer als -ln1 sein muss also größer 0
genau hab ich das so:
1-e^-x (also hoch -x) => e^-x<1 => -x<ln1 => x>-ln1
so bin ich darauf gekommen also x immer größer 0
da hab ich mich verschrienen es heißt x=-ln1
es ist also keine schar???ich hab ihn gezeichet und er sieht komisch aus
die punkte die ich zum zeichnen benutzt hab:
(0.5/0.9327),(1/0.4586),(2/0.1454),(3/0.051),(4/0.0184),und jetz
(5/6.7464)dann ist es wieder smf bis (6.5/1.5463) und bei 7 steigt er bis ca.9.1 was soll es dann sein???
als Begründung warum sie umkehrbar ist hab ich geschrieben weil sie smf(streg monoton fallend) ist,aber das stimmt ja dann nich oda??sie ist auch sms
als Begründung(zu e) hab ich geschrieben:
Da die beiden Funktionsterme und die Definitionsbereiche identisch sind, müssen die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion zusammenfallen.
Umkerfunktion immer durch Spiegelung der Graphen an der Gerade y=x gewonnen werden die Graphen Gf auf sich selbst gelegt.=>Die Graphen Gf müssen Symmetrisch zur Geraden y=x sein.
Asymptoten: y=-ln1=0 da
lim (x->Unendlich) strebt e^-x gegen 0
da -Unendlich nicht geht muss ich x gegen -ln1 gehen lassen also:
lim (x gegen -ln1, also x gegen 0 also für x eine ganz kleine Zahl einsetze z.B.: e^-0.00000000001 steigt es = 25,32843602)d.h.:x geht gegen +unendlich oder??
|
|
|
| |
|
> aber -ln1 ist doch 0 ich hab das etwas falsch geschreiben
Gut. Jetzt wird mir es klar, was du meinst. OK.
> eigentlich ist es nur R-plus weil x größer als -ln1 sein
> muss also größer 0
>
> genau hab ich das so:
> 1-e^-x (also hoch -x) => e^-x<1 => -x<ln1 =="">
> x>-ln1
Ja [mm]0<1-e^{-x}\Rightarrow e^{-x}<1\Rightarrow -x <\ln(1)\Rightarrow x <-\ln(1)[/mm]
>
> so bin ich darauf gekommen also x immer größer 0
> da hab ich mich verschrienen es heißt x=-ln1
? Das Ungleich war schon richtig.
Also: [mm]D=\{x\in\IR \text{ mit }x>-\ln(1)\}[/mm]. Schreibt ihr das so auf? Oder [mm] $D=\{x>-\ln(1)\}$
[/mm]
>
> es ist also keine schar???ich hab ihn gezeichet und er
Das Ding nennt man Hyperbel. Eine Schar sind Graphen mehrerer Funktionen, bei denen nur ein Parameter unterschiedlich ist.
[mm] $f_a(x)=ax^2$. [/mm] Wenn du dann [mm] $f_1(x),f_2(x),f_3(x)$ [/mm] zeichnest hast du eine Funktionenschar.
> sieht komisch aus
etwa ![[]](/images/popup.gif) so?
> die punkte die ich zum zeichnen benutzt hab:
>
> (0.5/0.9327),(1/0.4586),(2/0.1454),(3/0.051),(4/0.0184),und
> jetz
> (5/6.7464)dann ist es wieder smf bis (6.5/1.5463) und bei
> 7 steigt er bis ca.9.1 was soll es dann sein???
>
> als Begründung warum sie umkehrbar ist hab ich geschrieben
> weil sie smf(streg monoton fallend) ist,aber das stimmt ja
> dann nich oda??sie ist auch sms
Was ist das "sms"? "Schnell mal sparen"?!
Dein Argument mit der Monotinie zählt.
>
> als Begründung(zu e) hab ich geschrieben:
> Da die beiden Funktionsterme und die Definitionsbereiche
> identisch sind, müssen die Graphen von Funktion und
> Umkehrfunktion zusammenfallen.
> Umkerfunktion immer durch Spiegelung der Graphen an der
> Gerade y=x gewonnen werden
Das ist wahrscheinlich bei der geometrische Deutung verlangt zu schreiben.
> die Graphen Gf auf sich selbst
> gelegt.=>Die Graphen Gf müssen Symmetrisch zur Geraden y=x
> sein.
>
</ln1>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Do 10.05.2012 | | Autor: | lunaris |
wieso x<-ln(1)???ich darf keine negativen Zahlen einsetzen x<0
das ist doch nicht definiert
Nein also ich wollte damit sagen das x<ln(1) ausgeschlossen ist was eig. unnötig da in R+ die 0 nicht dabei ist
Also ja so in etwa bis x=4 ist sie streng monoton fallend danach streng monoton steigend (sms)bei (5/6.7) ist sie ganz oben danach fällt sie bis x=6.5 danach steicht sie bis x=7 und so geht das die ganze Zeit......
also stimmt das mit dem lim???Das heißt dich das sie sich der y-Achse nur annähert und dei der x-Achse ist es genau so oder??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Do 10.05.2012 | | Autor: | chrisno |
>
> Also ja so in etwa bis x=4 ist sie streng monoton fallend
> danach streng monoton steigend (sms)bei (5/6.7) ist sie
> ganz oben danach fällt sie bis x=6.5 danach steicht sie
> bis x=7 und so geht das die ganze Zeit......
Wie kommst Du darauf?
[mm] $e^{-x}$ [/mm] fällt monoton, nähert sich 0. [mm] $1-e^{-x}$ [/mm] nähert sich also von unten der 1. Damit nähert sich [mm] $ln(1-e^{-x})$ [/mm] der Null von unten, zum Abschluss [mm] $-ln(1-e^{-x})$ [/mm] nähert sich also der Null von oben. Die Monotonie zieht sich durch das Ganze durch, wo sollen da Wechsel zwischen fallend und steigend sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:27 Fr 11.05.2012 | | Autor: | lunaris |
ja schon er fällt monotan ,später steigt er hab das mit dem Taschenrechner ausgerechnet die Werte hab ich dir ja geschrieben bis ca. x=5 fällt er der Graph befindet sich nur im 1Quadranten er fällt von oben nahe der y-Achse ab zur x-Achse da geht er fast gegen 0 geht man die x-Achse weiter zum Wert x=5 steigt der Graph an-die Werte hab ich dir ja geschrieben
|
|
|
| |
|
Hallo,
wie wär's eigentlich, wenn Du ab und an mal ein Satzzeichen spendieren würdest? Ich denke da speziell an Punkte, die kenntlich machen, wo ein Satz aufhört und der neue beginnt. So ist das eine Katastrophe und nicht sehr nett für den, der's lesen soll.
Wenn Dein Taschenrechner Dir zu der Funktion mitteilt, daß sie nicht monoton ist, also fällt und wieder steigt, dann kann das z.B. folgende Gründe haben:
- der TR ist kaputt
- der TR wird fehlbedient
- das angezeigte Ergebnis wird nicht verstanden
Ich habe den Verdacht, daß Letzteres zutrifft, daß der Taschenrechner Dir als Funktionswert für x=5 geliefert hat [mm] f(x)\approx 6.7*10^{-3}.
[/mm]
Taschenrechner zeigen das verschieden an.
Die einen liefern brav
0.0067,
andere sowas wie
6.7_-3
6.7EEX-3
6.7 ^{-3}
Aber mal abgesehen davon: bist Du Dir sicher, daß es reicht, daß Du für Monotonie ein paar Werte in den TR tippst?
chrisno hatte ja schon eine Argumentation geliefert, wielleicht aber sollt/könnt/dürft Ihr auch ableiten? Da sieht man's auch sofort.
LG Angela
|
|
|
|
