Nullstellen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Mo 22.03.2010 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | | Nullstellen von [mm] 1-e^{-\pi z} [/mm] |
ich komm nicht weiter, soweit habe ich:
[mm] 1-e^{-\pi z}=0
[/mm]
[mm] e^{-\pi z} [/mm] =1 |ln
[mm] -\pi [/mm] z = 0
z=0
das ist aber falsch :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
ich sehe nicht, warum das falsch sein soll.
z=0 ist die einzige Nullstelle.
Zur "Überprüfung" kannst du die Funktion doch sonst auch einfach mal plotten
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
> Hallo,
>
> ich sehe nicht, warum das falsch sein soll.
> z=0 ist die einzige Nullstelle.
Hmm, es ist doch die komplexe Exponentialfunktion gemeint und die ist [mm] $2\pi [/mm] i$-periodisch ...
> Zur "Überprüfung" kannst du die Funktion doch sonst auch
> einfach mal plotten
Das ist für ne komplexwertige Fkt. nicht so einfach ...
>
> Gruß Sierra
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mo 22.03.2010 | | Autor: | domerich |
mh die Lösung lautet:
[mm] z_k=j2k, k\in [/mm] Z
Es gibt also unendlich viele Polstellen, die alle auf der imaginären Achse liegen.
das ist mir nicht ganz klar
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Hallo domerich,
wie ich oben in der Mitteilung schrieb, ist die Exponentialfkt. [mm] $2\pi [/mm] i$-periodisch, also [mm] $e^z=e^{z+2k\pi i}, [/mm] \ [mm] k\in\IZ$
[/mm]
Damit und mit deiner Rechnung kommst du also auf [mm] $z_k=...$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 22.03.2010 | | Autor: | domerich |
wenn mans weiß danke ;) ich rechne mal vor
mit deinem ansatz gilt dann
p sei z:
[mm] exp(-\pi(p+2k\pi [/mm] i)=1
[mm] -\pi(p+2k\pi [/mm] i=0 | / [mm] \pi
[/mm]
[mm] -p-2k\pi [/mm] i=0
[mm] p=-2k\pi [/mm] i
bis auf das vorzeichen würde es stimmen.
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Hallo nochmal,
> wenn mans weiß danke ;) ich rechne mal vor
>
> mit deinem ansatz gilt dann
>
> p sei z:
>
> [mm]exp(-\pi(p+2k\pi[/mm] i)=1
>
> [mm]-\pi(p+2k\pi[/mm] i=0 | / [mm]\pi[/mm]
>
> [mm]-p-2k\pi[/mm] i=0
> [mm]p=-2k\pi[/mm] i
>
> bis auf das vorzeichen würde es stimmen.
Hmm, du hast doch [mm] $e^{-\pi z}=1$ [/mm] stehen, also
[mm] $e^{-\pi z}=e^{-\pi z+2k\pi i}=1$
[/mm]
Also [mm] $-\pi z+2k\pi [/mm] i=0$.
Damit [mm] $\pi\cdot{}(-z+2ki)=0$, [/mm] also $-z+2ki=0$, daher $z=2ki$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Mo 22.03.2010 | | Autor: | domerich |
aja ich hatte z in klammern gesetzt daher
-pi ( z+2kpi i)... wenn man es nur addiert wie du dann kommt was anderes raus, ja danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Di 23.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
1. Für $w [mm] \in \IC$ [/mm] gilt: [mm] $e^w=1 \gdw \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : w= 2k [mm] \pi [/mm] i$
Somit:
2. [mm] $e^{- \pi z}=1 \gdw \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : - [mm] \pi [/mm] z= 2k [mm] \pi [/mm] i [mm] \gdw \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : z= 2ki$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Di 23.03.2010 | | Autor: | domerich |
soll das periodizität beweisen? ich kapier formelnsprache nicht so ^^
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