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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 So 07.02.2010 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei das Polynom
[mm] x^n [/mm] + [mm] a_1 x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_n [/mm] = 0.
Dabei seien alle Nullstellen des Polynoms [mm] \in \IR. [/mm] Dann sind die Nullstellen in einem Interval mit den Grenzen
[mm] -\bruch{a_1}{n}\pm \bruch{n-1}{n}\wurzel{a_1^2-\bruch{2n}{n-1}a_2}.
[/mm]
Gibt es Polynome, für die die Grenzen erreicht werden?
Zeigen Sie zunächst
[mm] a_1^2-2a_2-y^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n-1}y_i^2
[/mm]
wobei y eine Nullstelle ist, [mm] y_1,...,y_n [/mm] sind die restlichen Nullstellen.
Wenden sie dazu die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung auf [mm] [y_1,...,y_{n-1}] [/mm] und [1,...,1] an. |
Hallo!
Wenn ich die Ungleichung wie vorgeschlagen auswerte, ergibt sich
[mm] y_1+y_2+...+y_{n-1} \le \wurzel{y_1^2+...+y_{n-1}^2}\wurzel{n-1}
[/mm]
Dies bedeutet
[mm] \summe_{i=1}^{n-1}y_i^2 \ge \bruch{(y_1+...+y_{n-1})^2}{n-1}
[/mm]
Aber wie mache ich jetzt weiter? Wie bekomme ich [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] in meine Überlegungen?
Ich wäre dankbar für eure Hilfe!
Papillon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sei das Polynom
> [mm]x^n[/mm] + [mm]a_1 x^{n-1}[/mm] + ... + [mm]a_n[/mm] = 0.
> Dabei seien alle Nullstellen des Polynoms [mm]\in \IR.[/mm] Dann
> sind die Nullstellen in einem Interval mit den Grenzen
> [mm]-\bruch{a_1}{n}\pm \bruch{n-1}{n}\wurzel{a_1^2-\bruch{2n}{n-1}a_2}.[/mm]
>
> Gibt es Polynome, für die die Grenzen erreicht werden?
>
> Zeigen Sie zunächst
> [mm]a_1^2-2a_2-y^2[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n-1}y_i^2[/mm]
Soll hier Gleichheit oder Ungleichheit gelten?
> wobei y eine Nullstelle ist, [mm]y_1,...,y_n[/mm] sind die
> restlichen Nullstellen.
Du meinst [mm] $y_1, \dots, y_{n-1}$?
[/mm]
> Wenden sie dazu die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung auf
> [mm][y_1,...,y_{n-1}][/mm] und [1,...,1] an.
> Hallo!
>
> Wenn ich die Ungleichung wie vorgeschlagen auswerte, ergibt
> sich
>
> [mm]y_1+y_2+...+y_{n-1} \le \wurzel{y_1^2+...+y_{n-1}^2}\wurzel{n-1}[/mm]
>
> Dies bedeutet
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n-1}y_i^2 \ge \bruch{(y_1+...+y_{n-1})^2}{n-1}[/mm]
>
> Aber wie mache ich jetzt weiter? Wie bekomme ich [mm]a_1[/mm] und
> [mm]a_2[/mm] in meine Überlegungen?
Beachte, dass [mm] $a_1 [/mm] = -(y + [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] y_{n-1})$ [/mm] ist.
Weiterhin ist [mm] $a_2 [/mm] = [mm] \prod_{1 \le i < j \le n} y_i y_j$ [/mm] mit [mm] $y_n [/mm] := y$, aber k.A. ob/inwiefern dir das hilft.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Mo 08.02.2010 | | Autor: | papillon |
Danke erstmal für die Hilfe, die Gleichungen für [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] erscheinen mir nützlich. Ich vermute, dass es wie von dir vermutet um [mm] y_1 [/mm] bis [mm] y_{n-1} [/mm] geht, allerdings habe ich die Aufgabe exakt so wiedergegeben, wie sie gestellt wurde.
Kannst du mir vielleicht noch etwas ausführlicher erläutern, wie die Gleichungen für [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] zustande kommen.
Danke!
Papi
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elementarsymmetrischen Polynomen