Nullstellen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | (a) Sei n [mm] \in \mathbb{N}. [/mm] Wie viele verschiedene Nullstellen hat das Polynom n [mm] \cdot [/mm] x in [mm] (\mathbb{Z} [/mm] / 2n [mm] \mathbb{Z})[x] [/mm] ? Beweisen Sie Ihre Antwort. (Beachte Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen.)
(b) Finden Sie für jedes n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] einen Ring R und ein unitäres (d.h. Leitkoeffizient = 1) Plynom in R[x] vom Grad n mit [mm] 2^{n-1} [/mm] verschiedenen Nullstellen. |
Hallo,
ich hänge an dieser Aufgabe. Vielleicht könnt ihr mir bei folgenden Ansätzen weiterhelfen?
(a) Sei also [x] [mm] \in (\mathbb{Z} [/mm] / 2n [mm] \mathbb{Z})[x] [/mm] eine Nullstelle von [n]x, d.h. [0] = [n] [mm] \cdot [/mm] [x] = [n [mm] \cdot [/mm] x].
Aber was bedeutet das nun für nx in [mm] \mathbb{Z} [/mm] ? Und wie kann ich wenn ich die Gestalt der Nullstelle habe, auf die Anzahl schließen ??
(b) betrachte R = [mm] \mathbb{Z} [/mm] / [mm] 2^n \mathbb{Z}, [/mm] f(x) = [mm] x^n [/mm] und I = 2 [mm] \mathbb{Z} [/mm] / [mm] 2^n \mathbb{Z}.
[/mm]
Wie kann ich mir die Elemente von I vorstellen? Sind das gerade die n.ten Einheitswurzeln...?? Weil dann könnte ich ja diese in f einsetzen und zeigen, dass es Nullstellen von f sind?
Würde mich über ein paar Hinweise freuen.
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Fr 24.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> (a) Sei also [x] [mm]\in (\mathbb{Z}[/mm] / 2n [mm]\mathbb{Z})[x][/mm] eine
> Nullstelle von [n]x,
du meinst vermutlich eine nullstelle in [mm] $\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}$ [/mm] und nicht im polynomring? nennen wir die nulstelle lieber mal $[a] [mm] \in \mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}$, [/mm] die bezeichnung $x$ ist ja schon für die variable im polynomring "verbraucht".
> d.h. [0] = [n] [mm]\cdot[/mm] [x] = [n [mm]\cdot[/mm]
> x].
genau, man hat dann $[na] = [0]$.
> Aber was bedeutet das nun für nx in [mm]\mathbb{Z}[/mm] ?
nun was heißt [mm] $[m_1] [/mm] = [mm] [m_2]$ [/mm] in [mm] $\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}$? [/mm] das heißt doch gerade (je nachdem direkt nach definition) [mm] $\ell \, [/mm] | [mm] \, m_1 [/mm] - [mm] m_2$, [/mm] hier also $2n [mm] \, [/mm] | [mm] \, [/mm] na - 0 = na$
> Und wie
> kann ich wenn ich die Gestalt der Nullstelle habe, auf die
> Anzahl schließen ??
um ein gefühl für die anzahl zu bekommen, kannst du dir ja mal ein paar beispiel anschauen: was passiert für $n = 5$, wieviele nullstellen hat also $5x$ in [mm] $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$? [/mm] setze dazu einfach mal die restklassen ein uns schaue, ob du null erhälst. was passiert für $n = 8$? daran siehst du dann vermutlich auch, was du aus der gleichung $2n [mm] \, [/mm] | [mm] \, [/mm] na$ für $a$ schließen kannst.
> (b) betrachte R = [mm]\mathbb{Z}[/mm] / [mm]2^n \mathbb{Z},[/mm] f(x) = [mm]x^n[/mm]
> und I = 2 [mm]\mathbb{Z}[/mm] / [mm]2^n \mathbb{Z}.[/mm]
> Wie kann ich mir
> die Elemente von I vorstellen? Sind das gerade die n.ten
> Einheitswurzeln...?? Weil dann könnte ich ja diese in f
> einsetzen und zeigen, dass es Nullstellen von f sind?
ja, $I$ enthält die $n$-ten einheitswurzlen, allerdings die $n$-ten einheitswurzeln im ring [mm] $\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$. [/mm] bedenke aber, dass diese "nichts" mit den komplenxen $n$-ten einheitswurzelen [mm] $\exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right)$ [/mm] zu tuen haben. alle elemente von $I$ haben ja per definitionem die form $u = 2w$ mit $w [mm] \in \mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$. [/mm] was passiert nun, wenn du solch eine element in [mm] $x^n$ [/mm] einsetzt?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Andreas,
vielen vielen Dank für deine Erklärungen!
Ah, okay, dann war meine Formulierung falsch.
Ich hab mal die Beispiele angeschaut. Für n=5 haben wir 10|5 [mm] \cdot [/mm] a und für n=8 haben wir 16 | 8 [mm] \cdot [/mm] a.
D.h. die Nullstellen a können sein 2,4,6,8,10,... usw. Aber wie kann ich die abzählen...?
Vielleicht noch eine ganz grundlegende Frage, das ich mir klar machen sollte. Kann ich mir [mm] (\mathbb{Z} [/mm] / 2n [mm] \mathbb{Z}) [/mm] so vorstellen, dass die Zahlen 2 n [mm] \mathbb{Z} [/mm] in [mm] \mathbb{Z} [/mm] zur 0 gesetzt werden oder halt irgendwie "herausgeteilt" ?
zu Teil (b)
Also wäre es eigentlich besser zu schreiben I = [mm] 2(\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z}) [/mm] ? D.h. der Unterschied zu R ist nur, dass man in I die Elemente noch mal 2 nimmt?
Hm, ich kann mir das noch nicht vorstellen. Für n=1 ist R = [mm] \mathbb{Z} [/mm] / 2 [mm] \mathbb{Z} [/mm] und I = [mm] 2(\mathbb{Z} [/mm] / 2 [mm] \mathbb{Z})
[/mm]
Aber ich glaub ich muss hier auch nochmal ganz dumm fragen, sind in R also alle Restklassen, z.B. [1], die alle Zahlen repräsentiert die geteilt durch 2 den Rest 1 ergeben...?
Für n=1 wäre f(x) = 1, also wird es Null, wenn ich etwas aus I einsetze?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Fr 24.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ah, okay, dann war meine Formulierung falsch.
zumindest ungeschickt.
> Ich hab mal die Beispiele angeschaut. Für n=5 haben wir
> 10|5 [mm]\cdot[/mm] a und für n=8 haben wir 16 | 8 [mm]\cdot[/mm] a.
> D.h. die Nullstellen a können sein 2,4,6,8,10,... usw.
> Aber wie kann ich die abzählen...?
es ist doch zum beispiel [mm] $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} [/mm] = [mm] \{[0], [1], [2], ..., [9]\}$, [/mm] also endlich. insbesondere ist zum beispiel $[0] = [10]$ und so weiter. da die nullstellen alle aus dieser endlichen menge kommen sollen, muss deren anzahl natürlich auch endlich sein. wieviele sind es denn?
> Vielleicht noch eine ganz grundlegende Frage, das ich mir
> klar machen sollte. Kann ich mir [mm](\mathbb{Z}[/mm] / 2n
> [mm]\mathbb{Z})[/mm] so vorstellen, dass die Zahlen 2 n [mm]\mathbb{Z}[/mm]
> in [mm]\mathbb{Z}[/mm] zur 0 gesetzt werden oder halt irgendwie
> "herausgeteilt" ?
ja, wenn du dir das unbedingt vorstellen willst, ist das keine schlechte vorstellung.
> zu Teil (b)
> Also wäre es eigentlich besser zu schreiben I =
> [mm]2(\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z})[/mm] ? D.h. der Unterschied zu R
> ist nur, dass man in I die Elemente noch mal 2 nimmt?
> Hm, ich kann mir das noch nicht vorstellen. Für n=1 ist R
> = [mm]\mathbb{Z}[/mm] / 2 [mm]\mathbb{Z}[/mm] und I = [mm]2(\mathbb{Z}[/mm] / 2
> [mm]\mathbb{Z})[/mm]
ja. zähle mal alle elemente von $R$ und von $I$ auf. wie sieht es für $n = 2$ damit aus?
> Aber ich glaub ich muss hier auch nochmal ganz dumm
> fragen, sind in R also alle Restklassen, z.B. [1], die alle
> Zahlen repräsentiert die geteilt durch 2 den Rest 1
> ergeben...?
$[1]$ ist eine element von [mm] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, [/mm] also eine restklasse. diese spezielle restklasse enthält dann alle zahlen aus [mm] $\mathbb{Z}$, [/mm] welche beim teilen durch $2$ den rest $1$ lassen, also $[1] = [mm] \{ ..., -3, -1, 1, 3, 5, ...\}$.
[/mm]
> Für n=1 wäre f(x) = 1, also wird es Null, wenn ich etwas
> aus I einsetze?
wie kommst du denn auf $f(x) = 1$? denk nochmal darüber nach.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Andreas,
> es ist doch zum beispiel [mm]\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} = \{[0], [1], [2], ..., [9]\}[/mm],
> also endlich. insbesondere ist zum beispiel [mm][0] = [10][/mm] und
> so weiter. da die nullstellen alle aus dieser endlichen
> menge kommen sollen, muss deren anzahl natürlich auch
> endlich sein. wieviele sind es denn?
Ah, ich glaub ich verstehe, für den Fall n=5 kann a [mm] \in \{[0],[2],[4],[6],[8]\} [/mm] sein, also 5 Nullstellen.
Bei n=8 ist a [mm] \in \{[0],[1],...,[14] \}, [/mm] d.h. 8 Nullstellen.
Ok, sieht so aus als hat n [mm] \cdot [/mm] x gerade n Nullstellen in [mm] (\mathbb{Z}/2n \mathbb{Z}) [/mm] ?
Aber wie muss ich das allgemein beweisen. Wir hatten [na]=[0] [mm] \gdw [/mm] 2n|na. Kann man das dann wohl mit der EIndeutigkeit der Primfaktorzerlegung zeigen? ... nur wie?
> ja. zähle mal alle elemente von [mm]R[/mm] und von [mm]I[/mm] auf. wie sieht
> es für [mm]n = 2[/mm] damit aus?
für n=1:
R= [mm] \{[0],[1]\}, [/mm] I = [mm] \{[0],[2]\}
[/mm]
für n=2:
R= [mm] (\mathbb{Z}/4 \mathbb{Z}) [/mm] = [mm] \{[0],[1],[2],[3]\}, [/mm] I = [mm] \{ [0],[2],[4],[6] \}
[/mm]
> wie kommst du denn auf [mm]f(x) = 1[/mm]? denk nochmal darüber
> nach.
Sorry, das war ein Tippfehler f(x) = x, und wenn ich nun Elemente von I einsetze, dann sind die in R ja gerade 0, da die [2] aus I in R ja [0] ist.
Bei n=2 ist ja dann f(x) = [mm] x^2.
[/mm]
Wenn ich da Elemente aus I nehme, sind sie wieder 0 in R.
[mm] [2]^2 [/mm] = [4] = 0 in R (da 4:4 = 1 Rest 0)
[mm] [4]^2 [/mm] = [16] = 0 in R
[mm] [6]^2 [/mm] = [36] = 0 in R
Ok, hm, kannst du mir noch bitte helfen, das nun für ein beliebiges n zu zeigen? Ich freu mich ja schon, dass ich es endlich für die Bsp verstanden habe 
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Fr 24.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> Ah, ich glaub ich verstehe, für den Fall n=5 kann a [mm]\in \{[0],[2],[4],[6],[8]\}[/mm]
> sein, also 5 Nullstellen.
korrekterweise sollte man hier dann schreiben $[a] [mm] \in \{[0],[2],[4],[6],[8]\}$, [/mm] aber prinzipiell stimmt das.
> Ok, sieht so aus als hat n [mm]\cdot[/mm] x gerade n Nullstellen in
> [mm](\mathbb{Z}/2n \mathbb{Z})[/mm] ?
>
> Aber wie muss ich das allgemein beweisen. Wir hatten
> [na]=[0] [mm]\gdw[/mm] 2n|na.
damit bist du doch schon fast fertig: für $g(x) = [n]x [mm] \in (\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})[x]$ [/mm] ist $g([a]) = [0] [mm] \; \Longleftrightarrow \; [/mm] [na] = [0] [mm] \; \Longleftrightarrow \; [/mm] 2n [mm] \, [/mm] | [mm] \, [/mm] na [mm] \; \Longleftrightarrow \; \exists \, [/mm] b [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] : 2nb = na$, wobei dir die vorderen äquivalenzen schon alle klar sind und die letzte ist einfach die definition von "teiler". nun überlge dir für welche $a$ es solch ein $b$ im letzten ausdruck gibt.
> > ja. zähle mal alle elemente von [mm]R[/mm] und von [mm]I[/mm] auf. wie sieht
> > es für [mm]n = 2[/mm] damit aus?
>
> für n=1:
> R= [mm]\{[0],[1]\},[/mm] I = [mm]\{[0],[2]\}[/mm]
>
> für n=2:
> R= [mm](\mathbb{Z}/4 \mathbb{Z})[/mm] = [mm]\{[0],[1],[2],[3]\},[/mm] I = [mm]\{ [0],[2],[4],[6] \}[/mm]
im prinzip ja. wieviele elemente hat dann $I$ jeweils?
> > wie kommst du denn auf [mm]f(x) = 1[/mm]? denk nochmal darüber
> > nach.
>
> Sorry, das war ein Tippfehler f(x) = x, und wenn ich nun
> Elemente von I einsetze, dann sind die in R ja gerade 0, da
> die [2] aus I in R ja [0] ist.
>
> Bei n=2 ist ja dann f(x) = [mm]x^2.[/mm]
> Wenn ich da Elemente aus I nehme, sind sie wieder 0 in R.
> [mm][2]^2[/mm] = [4] = 0 in R (da 4:4 = 1 Rest 0)
> [mm][4]^2[/mm] = [16] = 0 in R
> [mm][6]^2[/mm] = [36] = 0 in R
>
> Ok, hm, kannst du mir noch bitte helfen, das nun für ein
> beliebiges n zu zeigen? Ich freu mich ja schon, dass ich es
> endlich für die Bsp verstanden habe
gut. das stimmt alles. nun überlege dir, wie eine element $I$ im allgemeinen aussieht und probiere mit dieser darstellung $f$ auf dieses element anzuwenden. was erhälst du?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Andreas,
> damit bist du doch schon fast fertig: für [mm]g(x) = [n]x \in (\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})[x][/mm]
> ist [mm]g([a]) = [0] \; \Longleftrightarrow \; [na] = [0] \; \Longleftrightarrow \; 2n \, | \, na \; \Longleftrightarrow \; \exists \, b \in \mathbb{Z} : 2nb = na[/mm],
> wobei dir die vorderen äquivalenzen schon alle klar sind
> und die letzte ist einfach die definition von "teiler". nun
> überlge dir für welche [mm]a[/mm] es solch ein [mm]b[/mm] im letzten ausdruck
> gibt.
Wenn a gerade ist, gibt es so ein b, oder? Also kann man sagen, weil [mm] (\mathbb{Z} [/mm] / 2n [mm] \mathbb{Z}) [/mm] 2n Elemente hat und die Hälfte gerade Zahlen sind, gibt es folglich 2n:2= n Nullstellen ??
Nur haben wir dann gar keine Primfaktorzerlegung benutzt?
>
> im prinzip ja. wieviele elemente hat dann [mm]I[/mm] jeweils?
Eigentlich dachte ich für n=1 hat I gerade [mm] 2^1 [/mm] Elemente, für n=2 sind es [mm] 2^2, [/mm] für n=3 sind es [mm] 2^3 [/mm] also hätte I für irgendein n [mm] 2^n [/mm] Elemente. Aber du schreibst nur "im Prinzip ja" - warum nur im Prinzip? Hab ich da noch Elemente doppelt in der Menge, die die gleiche Klasse darstellen?
Da es nur [mm] 2^{n-1} [/mm] NS sein sollen, schätze ich mal, muss I wohl [mm] 2^{n-1} [/mm] Elemente haben, oder? Ich seh aber noch nicht warum...?
Ah, muss ich [0] eigentlich herausnehmen? Dann sind es [mm] 2^{n-1} [/mm] Elemente...
> gut. das stimmt alles. nun überlege dir, wie eine element [mm]I[/mm]
> im allgemeinen aussieht und probiere mit dieser darstellung
> [mm]f[/mm] auf dieses element anzuwenden. was erhälst du?
Vielleicht geht es so: Du hattest ja schon geschrieben, dass so ein Element aus I die Gestalt 2 [mm] \cdot [/mm] a mit a [mm] \in (\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z}) [/mm] hat. Anwendung von f gibt
[mm] ([2a])^n [/mm] = [mm] [2]^n [a]^n [/mm] = [0] in R, da [mm] 2^n \cdot a^n [/mm] : [mm] 2^n [/mm] = [mm] a^n [/mm] Rest 0, geht das so?
D.h. in I liegen gerade die Nullstellen von [mm] f(x)=x^n \in [/mm] R[x] und deshalb gibt uns die Anzahl der Elemente in I die Anzahl der Nullstellen in R, hab ich das richtig verstanden?
Aber warum kann es nicht sein, dass es noch mehr NS gibt, die nicht in I liegen aber trotzdem NS von f(x) sind?
Viele Grüße & besten Dank,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Sa 25.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Wenn a gerade ist, gibt es so ein b, oder? Also kann man
> sagen, weil [mm](\mathbb{Z}[/mm] / 2n [mm]\mathbb{Z})[/mm] 2n Elemente hat
> und die Hälfte gerade Zahlen sind, gibt es folglich 2n:2= n
> Nullstellen ??
besser "von geraden zahlen repräsentiert werden" (bedenke, dass dies eine invariante der restklassen ist, da der modul $2n$ gerade ist). aber ansonsten passt die argumentation.
> Nur haben wir dann gar keine Primfaktorzerlegung benutzt?
wir sind aber doch trotzdem zu einem ergebnis gekommen? wenn du das mit primfaktorzerlegung machen willst, kannst du ja mal vorschläge machen, in welche richtung das gehen soll, ich fand diesen ansatz recht naheliegend.
> > im prinzip ja. wieviele elemente hat dann [mm]I[/mm] jeweils?
> Eigentlich dachte ich für n=1 hat I gerade [mm]2^1[/mm] Elemente,
dann wäre ja $I = R$, denn $R$ hat auch nur $2$ elemente.
> für n=2 sind es [mm]2^2,[/mm] für n=3 sind es [mm]2^3[/mm] also hätte I für
> irgendein n [mm]2^n[/mm] Elemente. Aber du schreibst nur "im
> Prinzip ja" - warum nur im Prinzip? Hab ich da noch
> Elemente doppelt in der Menge, die die gleiche Klasse
> darstellen?
ja. überlege dir nochmal, wann $[a] = [b]$ in [mm] $\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$ [/mm] und schau dir dann nochmal die element in $I$ an.
> Ah, muss ich [0] eigentlich herausnehmen? Dann sind es
> [mm]2^{n-1}[/mm] Elemente...
warum? was hat die $[0]$ denn getan? außerdem wären es dann [mm] $2^n [/mm] - 1$ elemente....
> Vielleicht geht es so: Du hattest ja schon geschrieben,
> dass so ein Element aus I die Gestalt 2 [mm]\cdot[/mm] a mit a [mm]\in (\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z})[/mm]
> hat. Anwendung von f gibt
> [mm]([2a])^n[/mm] = [mm][2]^n [a]^n[/mm] = [0] in R, da [mm]2^n \cdot a^n[/mm] : [mm]2^n[/mm]
> = [mm]a^n[/mm] Rest 0, geht das so?
gut. nur an ein paar stellen solltest du korrekterweise noch ein paar $[...]$ setzen.
> D.h. in I liegen gerade die Nullstellen von [mm]f(x)=x^n \in[/mm]
> R[x] und deshalb gibt uns die Anzahl der Elemente in I die
> Anzahl der Nullstellen in R, hab ich das richtig
> verstanden?
> Aber warum kann es nicht sein, dass es noch mehr NS gibt,
> die nicht in I liegen aber trotzdem NS von f(x) sind?
genau. damit sind die elemente aus $I$ auf jeden fall nullstellen von $f$, man hat also mindestens [mm] $2^{n-1}$. [/mm] warum können die anderen elemente keine nullstellen sein? welche besondere eigenschaften haben gerade die elemente aus $I$, welche du verwendet hast, um zu zeigen, dass diese nullstellen von $f$ sind?
grüße
andreas
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 So 26.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Andreas,
> wir sind aber doch trotzdem zu einem ergebnis gekommen?
> wenn du das mit primfaktorzerlegung machen willst, kannst
> du ja mal vorschläge machen, in welche richtung das gehen
> soll, ich fand diesen ansatz recht naheliegend.
Ja, der Weg ist mir auch einleuchtend so - ich hatte mich halt nur gewundert weil in der Aufgabenstellung extra der Hinweis mit der Primfaktorzerlegung gegeben war (?).
Ahso, ja, also für n=1 ist [mm] I=\{[0]\}, [/mm] für n=2: I [mm] =\{[0],[2]\}, [/mm] für n=3: I = [mm] \{[0],[2],[4],[6] \}, [/mm] also hat I genau [mm] 2^{n-1} [/mm] Elemente.
> gut. nur an ein paar stellen solltest du korrekterweise
> noch ein paar [mm][...][/mm] setzen.
Ist es korrekt zu schreiben, ein Element aus I hat die Gestalt [2 a] mit a [mm] \in (\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z}). [/mm] Anwendung von f:
f([2a]) = [mm] [2a]^n [/mm] = [0], da [mm] 2^n|(2a)^n-0 [/mm] = [mm] 2^n \cdot a^n. [/mm] Also darf ich das "hoch" n dann in die eckige Klammer hineinnehmen?
>> die nicht in I liegen aber trotzdem NS von f(x) sind?
> genau. damit sind die elemente aus [mm]I[/mm] auf jeden fall
> nullstellen von [mm]f[/mm], man hat also mindestens [mm]2^{n-1}[/mm]. warum
> können die anderen elemente keine nullstellen sein? welche
> besondere eigenschaften haben gerade die elemente aus [mm]I[/mm],
> welche du verwendet hast, um zu zeigen, dass diese
> nullstellen von [mm]f[/mm] sind?
Mhm, das ist mir noch nicht so ganz klar. ... dass sie geteilt durch [mm] 2^n [/mm] den Rest Null ergeben... aber die Eigenschaft haben die Elemente von R doch eigentlich auch - wobei I weniger Elemente sind und noch die Eigenschaft haben dass die Zahlen die die Klassen in I repräsentieren alle gerade sind und genau diese sind die Nullstellen. Irgendwie bekomm ich das nicht auf den Punkt gebracht... ;(
Viele Grüße & vielen Dank,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 So 26.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ja, der Weg ist mir auch einleuchtend so - ich hatte mich
> halt nur gewundert weil in der Aufgabenstellung extra der
> Hinweis mit der Primfaktorzerlegung gegeben war (?).
du könntest anstatt über die kongruenzen auch über die primfaktorzerlegung von $an$ und $2n$ argumentieren, wenn dir das lieber ist. aber ich denke nicht, dass es dadurch übersichtlicher wird.
> Ahso, ja, also für n=1 ist [mm]I=\{[0]\},[/mm] für n=2: I
> [mm]=\{[0],[2]\},[/mm] für n=3: I = [mm]\{[0],[2],[4],[6] \},[/mm] also hat I
> genau [mm]2^{n-1}[/mm] Elemente.
exakt.
> Ist es korrekt zu schreiben, ein Element aus I hat die
> Gestalt [2 a] mit a [mm]\in (\mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z}).[/mm]
es sollte wohl besser $[a] [mm] \in \mathbb{Z}/2^n \mathbb{Z}$ [/mm] oder $a [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] heißen, sonst wird ja im prinzip zweilmal die restklasse gebildet
> Anwendung von f:
> f([2a]) = [mm][2a]^n[/mm] = [0], da [mm]2^n|(2a)^n-0[/mm] = [mm]2^n \cdot a^n.[/mm]
> Also darf ich das "hoch" n dann in die eckige Klammer
> hineinnehmen?
überlge dir, warum das aus $[a][b] = [ab]$ folgt.
> >> die nicht in I liegen aber trotzdem NS von f(x) sind?
>
> > genau. damit sind die elemente aus [mm]I[/mm] auf jeden fall
> > nullstellen von [mm]f[/mm], man hat also mindestens [mm]2^{n-1}[/mm]. warum
> > können die anderen elemente keine nullstellen sein? welche
> > besondere eigenschaften haben gerade die elemente aus [mm]I[/mm],
> > welche du verwendet hast, um zu zeigen, dass diese
> > nullstellen von [mm]f[/mm] sind?
>
> Mhm, das ist mir noch nicht so ganz klar. ... dass sie
> geteilt durch [mm]2^n[/mm] den Rest Null ergeben... aber die
> Eigenschaft haben die Elemente von R doch eigentlich auch -
> wobei I weniger Elemente sind und noch die Eigenschaft
> haben dass die Zahlen die die Klassen in I repräsentieren
> alle gerade sind und genau diese sind die Nullstellen.
> Irgendwie bekomm ich das nicht auf den Punkt gebracht...
> ;(
wenn du hier mit primfaktorzerlegung argumentieren willst: welche besondere zahl muss den in den repräsentanten der elemente von $I$ (außer vielleicht bei $0$) in der primfaktorzerlegung vorkommen (das steht im prinzip schon in der definition von $I$)? was passiert, wenn diese nicht vorkommt? was ist die bedingung, dass $[a] = [0]$?
grüße
andreas
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 So 26.10.2008 | | Autor: | Riley |
HI Andreas,
> du könntest anstatt über die kongruenzen auch über die
> primfaktorzerlegung von [mm]an[/mm] und [mm]2n[/mm] argumentieren, wenn dir
> das lieber ist. aber ich denke nicht, dass es dadurch
> übersichtlicher wird.
Neh, mir gefällt der Weg, den du mir gezeigt hast.
> wenn du hier mit primfaktorzerlegung argumentieren willst:
> welche besondere zahl muss den in den repräsentanten der
> elemente von (außer vielleicht bei [mm]0[/mm]) in der
> primfaktorzerlegung vorkommen (das steht im prinzip schon
> in der definition von )?
2
> was passiert, wenn diese nicht vorkommt?
Dann ist das Element nicht aus I.
> was ist die bedingung, dass [a] = [0]?
[mm] 2^n [/mm] | a.
Ok, d.h. wirklich nur ELemente aus I können Nullstellen sein.
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 27.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo.
perfekt. da gibt es nichts mehr hinzuzufügen.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Andreas,
super, vielen Dank nochmal! Das hat mir wirklich sehr geholfen die Aufgaben zu verstehen
Viele Grüße,
Riley
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