Nullstellen- Komplexes Polynom < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | geg: p(z)=z³+(2-3i)z²+(1+2i)z+24-3i
a) bestimme real- und imaginärteil von p(z)
b) für welche [mm] y\in\IR [/mm] gilt p(iy)=0
c) bestimme alle nullstellen von p(z) in der form z= x+iy |
für a) habe ich
Re(p(iy)) = -2y²-2y+24 Im(p(iy)) = -y³+3y²+y-3
muss ich bei b) nur den Imaginärteil betrachten ? würd ich jetzt mal aus der reihenfolge der aufgabenstellung folgern...
(lösung wäre dann ja y=3)
wenn ja wieso ? (hab ich da ein verständnisproblem,denk ich)
und wie geh ich an c) ran ?
betrachte ich da auch wieder nur den Im teil und mach ne einfache Nullstellen berechnung (erste NS probieren , dann pq- bzw abc-formel) ?
danke & greez
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Di 02.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) stze z=x+iy ein (x,y reell) rechne alls Potenzen aus. schreib vom Ergebnis den Realteil und dem Im auf. Genau das steht in der Aufgabe.
b) hast du soweit richtig., aber p(iy)=0 nur wenn Real UND Imaginärteil 0 ist.
c) benutze a) und was ich bei b gesagt habe.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
bei a) hab nochmal aufs aufagenblatt geschaut
die korrekte aufgabenstellung lautet so :
a) bestimmen sie für jede rein imaginäre zahl z = iy den real und imaginär teil von p(iy)
|
|
|
| |
|
Hallo wongg_fei_hung!
Dann setze $z \ := \ i*y$ in die Funktionsvorschrift ein und fasse zusammen bzw. sortiere nach Real- und Imaginärteil.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> bei a) hab nochmal aufs aufagenblatt geschaut
> die korrekte aufgabenstellung lautet so :
>
> a) bestimmen sie für jede rein imaginäre zahl z = iy den
> real und imaginär teil von p(iy)
Dann ist das was Du oben ausgerechnet hast richtig !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu b) Löse das System
$0 = [mm] -2y^2-2y+24$ [/mm] , $0 = [mm] -y^3+3y^2+y-3$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
so,
hab das gleichungssystem bei b) gelöst und bin auf
[mm] y_{1}= [/mm] 3 gekommen. danach gings mit dem horner schema weiter zu [mm] y_{2,3} [/mm] = [mm] 1\pm \wurzel{10} [/mm]
bei c) bin ich ähnlich vorgegangen
( mit dem kompletten p(z)= z³+(2-3i)z²+(1+2i)z+24-3i )
die erste NS habe ich von b) [mm] y_{1}=3 [/mm] übernommen,da dort auch nach p(...)= 0 gefragt wurde
-> also [mm] z_{1}=3i [/mm]
mit dem horner schema und pq formel ergaben sich dann
[mm] z_{2,3} [/mm] = -1 [mm] \pm \wurzel{8i}
[/mm]
Ist das korrekt ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> so,
>
> hab das gleichungssystem bei b) gelöst und bin auf
>
> [mm]y_{1}=[/mm] 3 gekommen.
Richtig
> danach gings mit dem horner schema
> weiter zu [mm]y_{2,3}[/mm] = [mm]1\pm \wurzel{10}[/mm]
?????????????????
Du hast
(*) $ 0 = [mm] -2y^2-2y+24 [/mm] $ und $ 0 = [mm] -y^3+3y^2+y-3 [/mm] $
Die erste Gleichung hat die Lösungen [mm] y_1 [/mm] =3 und [mm] y_2 [/mm] =-4. Aber nur [mm] y_1 [/mm] iat auch Lösung der 2. Gleichung. Somit hat das System (*) nur die Lösung [mm] y_1
[/mm]
>
> bei c) bin ich ähnlich vorgegangen
> ( mit dem kompletten p(z)= z³+(2-3i)z²+(1+2i)z+24-3i )
>
> die erste NS habe ich von b) [mm]y_{1}=3[/mm] übernommen,da dort
> auch nach p(...)= 0 gefragt wurde
> -> also [mm]z_{1}=3i[/mm]
>
> mit dem horner schema und pq formel ergaben sich dann
>
> [mm]z_{2,3}[/mm] = -1 [mm]\pm \wurzel{8i}[/mm]
>
> Ist das korrekt ?
Rechne doch vor. Ich habe keine Lust das nachzurechnen !
FRED
|
|
|
| |
|
okay bei b) hatte ich einen denkfehler was die lösungen angeht
c) durch "ganz scharfes hinsehen" :) oder von teil b)
ist z1 = 3i
p(z) = z³+(2-3i)z²+(1+2i)z+24-3i
=> horner s.
1 2-3i 1+2i 24-3i
y=3i 0 3i 6i -24+3i
1 2 1+8i 0 => z² + 2z + 1+8i
=> pq formel
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{2} \pm \wurzel{1-(1+8i)}
[/mm]
= -1 [mm] \pm \wurzel{8i} [/mm] = -1 [mm] \pm 2\wurzel{2i}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Alles richtig
FRED
|
|
|
| |
|
ach cool - das hat ja fast ein bischen spass gemacht... ^^
DANKE für die mühe !!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> ach cool - das hat ja fast ein bischen spass gemacht... ^^
Warum nur ein "bischen" ?
FRED
> DANKE für die mühe !!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Di 02.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst [mm] \wurzel{i} [/mm] noch auflösen um dein Resultat als a+ib zu schreiben.
man schreibt eigentlich nich [mm] \pm \wurzel{i} [/mm] sondern [mm] \wurzel{i} [/mm] und jede kompexe Zahl hat 2 2te Wurzeln.
Gruss leduart
|
|
|
|
