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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Mi 29.04.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
g [mm] \in \IR[T], [/mm] z [mm] \in \IC$, \overline{z} [/mm] ist konjugation zu z
Zeige $g(z) = 0 [mm] \Rightarrow g(\overline{z}) [/mm] = 0$
Das scheint mir zu "stumpf" zu beweisen zu sein:
Sei $z = a+bi$, wobei a, b [mm] \in \IR, [/mm] i imaginar$
$g(z) = [mm] g(\overline{z})$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] g(a+bi) = g(a-bi)$
Jetzt kann ich doch nicht einfach umformen bis zu:
[mm] $\gdw [/mm] g(i) = -g(i)$
Einzige Weg der mir leider einfällt aber damit hätte ich ja auch gesagt das da eine Art Symmetrie drin sei, von daher kann das nicht stimmen. (danke ich)
Hat da jemand einen Ansatz?
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Hallo.
Du kannst ein Polynom [mm] g\in\IR[T] [/mm] zerlegen in Realteil und Imaginärteil.
Da alle Koeffzienten reell sind, änder sich [mm] g(\overline{z}) [/mm] nur geringfügig gegenüber g(z).
Es gilt nämlich: g(z)=Re(g(z))+i*Im(g(z)) [mm] \Rightarrow g(\overline{z})=Re(g(z))-i*Im(g(z)). [/mm] Wenn aber g(z)=0 => Re(g(z))=Im(g(z))=0, woraus die Aussage folgt.
Gruß Elvis
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Hallo ZodiacXP,
ich würde mir ein Polynom [mm] $g(T)=a_0+a_1T+a_2T^2+....+a_nT^n$ [/mm] hernehmen (mit Koeffizienten [mm] $a_i\in\IR$) [/mm] und es geradeheraus ausrechnen:
Du hast [mm] $0=a_0+a_1z+a_2z^2+....+a_nz^n$
[/mm]
Beide Seiten konjugieren
[mm] $\overline{0}=\overline{a_0+a_1z+a_2z^2+....+a_nz^n}$
[/mm]
Also [mm] $0=\overline{a_0}+\overline{a_1z}+\overline{a_2z^2}+....+\overline{a_nz^n}$
[/mm]
Das drösel mit den Regeln für die komplexe Konjugation mal noch weiter auf und bedenke dabei, dass die Koeffizienten reell sind, also [mm] $\overline{a_i}=...$
[/mm]
LG
schachuzipus
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