Nullstelle ln-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Fr 16.03.2007 | | Autor: | matter |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Nullstelle folgender Funktion:
y = 2·x - 5·ln(x + 1) |
Jo ich komme bis:
[mm] e^{\bruch{2}{5}x} [/mm] = x + 1
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gerstellt.
mfg
matter
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Fr 16.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
eine Lösung ist x=0
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Walde |
hi Matter,
die Lösungen solcher Gleichungen lassen sich nicht algebraisch ermitteln, sprich du kannst sie nicht einfach nach x auflösen. Die Nullstelle erhältst du durch numerische Lösungsverfahren, wie zb. Newton Iteration oder durch "scharfes hinsehen", wie es ullim schon demonstriert hat. Eine Zeichung der Funktion ist auch oft hilfreich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man ahnt, dass x=0 und x=4 Nullstellen sind und kann das durch eine Probe überprüfen. Die andere Nullstelle ist leider nicht genau bei 4, man hat aber einen Startwert für eine numerische Bestimmung.
LG walde
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Sa 17.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
man kann die Gleichung auch mittels der Lambertschen W-Funktion lösen.
Sie ist als inverse Funktion zu [mm] f(x)=xe^x [/mm] definiert.
D.h. wenn gilt [mm] xe^x=y, [/mm] dann folgt, W(y)=x.
Die Gleichung [mm] 2x=5\cdot [/mm] ln(x+1) kann man umformen in
[mm] e^{\br{2}{5}x}=x+1
[/mm]
bzw. in
[mm] e^{\br{2}{5}\left(x+1-1\right)}=x+1
[/mm]
Daraus folgt
[mm] -\br{2}{5}e^{-\br{2}{5}}=e^{-\br{2}{5}(x+1)}\left(-\br{2}{5}(x+1)\right)
[/mm]
Mit der W-Funktion folgt
[mm] x=\left(-\br{5}{2}\right)W\left(-\br{2}{5}e^{-\br{2}{5}}\right)-1
[/mm]
mfg ullim
|
|
|
|
