Nullstelle < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Do 14.02.2008 | | Autor: | Steffi21 |
| Aufgabe | [mm] f(x)=x^{4}-16x^{3}+96x^{2}-249x+240,5+r^{2}
[/mm]
Wie berechne ich das Absolutglied, bestehend aus [mm] 240,5+r^{2}, [/mm] damit die Funktion nur eine Nullstelle hat?
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Einen wunderschönen Guten Abend in den Matheraum,
obige Funktion entstammt einer Extremwertaufgabe, wobei die Funktion nur eine Nullstelle besitzen darf. Daraus kann ich dann r (Radius eines Kreises) berechnen,
[mm] f(x)=x^{4}-16x^{3}+96x^{2}-249x+ [/mm] ....
durch Probieren mit einem Funktionsplotter habe ich ca. 234,4..., somit [mm] r^{2} [/mm] ca. 6,1...
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Do 14.02.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]f(x)=x^{4}-16x^{3}+96x^{2}-249x+240,5+r^{2}[/mm]
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> Wie berechne ich das Absolutglied, bestehend aus
> [mm]240,5+r^{2},[/mm] damit die Funktion nur eine Nullstelle hat?
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> Einen wunderschönen Guten Abend in den Matheraum,
> obige Funktion entstammt einer Extremwertaufgabe, wobei
> die Funktion nur eine Nullstelle besitzen darf. Daraus kann
> ich dann r (Radius eines Kreises) berechnen,
>
> [mm]f(x)=x^{4}-16x^{3}+96x^{2}-249x+[/mm] ....
>
> durch Probieren mit einem Funktionsplotter habe ich ca.
> 234,4..., somit [mm]r^{2}[/mm] ca. 6,1...
>
> Steffi
Hallo,
ich hab da nur mal so eine Idee. Das Absolutglied kann ja mit r hinreichend groß gemacht werden, dass die Funktion gar keine Nullstelle hat. Wenn man dann [mm] r^2 [/mm] verkleinert, rutscht der Graph nach unten, bis ein Tiefpunkt erstmals die x-Achse berührt.
Die gesuchte "einzige Nullstelle" findet man also an einer lokalen Minimumstelle der Funktion. Deren Lage ist von r unabhängig. E ist lediglich die erste Ableitung Null zu setzen, um alle möglichen Extremstellen zu finden... Inwieweit das (Gleichung 3. Grades) exakt oder nur näherungsweise möglich ist, must du sehen.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 14.02.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo abakus, dann habe ich aus der 1. Ableitung die Stelle [mm] x_0= [/mm] ..., wo die Funktion 4. Grades ein Minimum hat, was auch mit dem Newton-Verfahren hinreichend genau lösbar sein sollte, dazu kann ich mir doch aber unendlich viele Funktionen 4. Grades basteln, das Absolutglied ist frei wählbar, ich benötige aber genau ein Absolutglied, genau eine Funktion 4. Grades!? Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Do 14.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus, dann habe ich aus der 1. Ableitung die Stelle
> [mm]x_0=[/mm] ..., wo die Funktion 4. Grades ein Minimum hat, was
> auch mit dem Newton-Verfahren hinreichend genau lösbar sein
> sollte, dazu kann ich mir doch aber unendlich viele
> Funktionen 4. Grades basteln, das Absolutglied ist frei
> wählbar, ich benötige aber genau ein Absolutglied, genau
> eine Funktion 4. Grades!? Steffi
Du hast doch dann aber eine konkrete Stelle x, für die du den gesamten Funktionstern (zunächst ohne Einbeziehung des Absolutglieds) konkret berechnen kannst. Was dabei herauskommt, ist sicher nicht Null. Jetzt musst du doch nur noch das Absolutglied als letzten Summanden so wählen, dass sich MIT dem Absolutglied der Funktionswert Null ergibt.
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Do 14.02.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Danke abakus, ich denke jetzt ist es mir klar, z.B. mit Newton die Nullstelle [mm] x_0 [/mm] der 1. Ableitung in Excel berechnen lassen, dann habe ich die konkrete Stelle, die in Funktion einsetzen, wobei ich y=0 machen darf (muß)
[mm] 0=x_0^{4}-16x_0^{3}+96x_0^{2}-249x_0+a_k
[/mm]
nenne ich das Absolutglied mal [mm] a_k, [/mm] so habe ich nur noch eine Unbakannte, nämlich [mm] a_k, [/mm] somit komme ich an mein [mm] r^{2}, [/mm] somit dürfte ich den Radius des Kreises haben, werde morgen mal an die Lösung gehen, so, Weg sollte funktionieren!? Meine Funktion entstammt eigentich aus dieser Lösung von mir, danke abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Do 14.02.2008 | | Autor: | Sabah |
> Danke abakus, ich denke jetzt ist es mir klar, z.B. mit
> Newton die Nullstelle [mm]x_0[/mm] der 1. Ableitung in Excel
> berechnen lassen, dann habe ich die konkrete Stelle, die in
> Funktion einsetzen, wobei ich y=0 machen darf (muß)
>
> [mm]0=x_0^{4}-16x_0^{3}+96x_0^{2}-249x_0+a_k[/mm]
>
> nenne ich das Absolutglied mal [mm]a_k,[/mm] so habe ich nur noch
> eine Unbakannte, nämlich [mm]a_k,[/mm] somit komme ich an mein
> [mm]r^{2},[/mm] somit dürfte ich den Radius des Kreises haben, werde
> morgen mal an die Lösung gehen, so, Weg sollte
> funktionieren!? Meine Funktion entstammt eigentich aus
> dieser Lösung von mir,
> danke abakus
>
Hallo Steffi,
ich bin kein Matematiker aber gerade ist mir ein Lösungsweg eingefallen.
Die Nullstellen sind ja die vielfachen vom absolutglied.
Wie wäre es, wenn wir versuchen aus [mm] 240,5+r^{2}
[/mm]
eien Primzahl zu machen.
Da 241 eine Primzahl ist ist muss dann [mm] r^{2}=0,5 [/mm] sein.
Dann haben wir genau eine Nullstelle
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