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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Nullraum der Matrix bestimmen
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Nullraum der Matrix bestimmen: Parameter setzen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:41 So 04.04.2010
Autor: Ikarus81

Aufgabe
Bestimmen sie den Nullraum der Matrix

[mm] \vmat{ 2 & 4 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 & 9 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & 5 } [/mm]

Hallo!

Beim auflösen merkt man schnell dass [mm] x_{4} [/mm] = 0 ist und somit sich die Gleichungen wegstreichen, so komme ich auf
t [mm] \pmat{ x_{1} \\ 2x_{2} \\ 3x_{3} \\ 0 } [/mm]

Unser Dozent bekommt allerdings

t [mm] \pmat{ -2x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \\ 0 } [/mm] + u [mm] \pmat{ -3x_{1} \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 } [/mm]

Ist das seine freie Interpretation oder die einzige Lösung dazu?

        
Bezug
Nullraum der Matrix bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:12 So 04.04.2010
Autor: leduart

Hallo
Warum schreibst du :
t $ [mm] \pmat{ -2x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \\ 0 } [/mm] $ + u $ [mm] \pmat{ -3x_{1} \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 } [/mm] $
und nicht
t $ [mm] \pmat{ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $ + u $ [mm] \pmat{ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] $
wenn man [mm] x_4=0 [/mm] hat bleibt doch noch die Gleichung
[mm] 2x_1+4x_2+6x_3=0 [/mm]
wenn du [mm] x_3=0 [/mm] setzest hast du den ersten Vektor, wenn du [mm] x_2=0 [/mm] setzest en zweiten,
natürlich kann man auch andere Wahlen treffen, das sind aber die einfachsten.
Dein einer Vektor löst doch die Gleichung nicht?
wie kommst du auf den?
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Nullraum der Matrix bestimmen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 01:51 So 04.04.2010
Autor: Ikarus81

Genau, das ist das Problem. Ich bekunde grosse Mühe zusehen wie aus [mm] 2x_{1} +4x_{2} +6x_{3} [/mm] die Lösung gebastelt werden kann. Wenn man nach deiner Anleitung [mm] x_{3} [/mm] Null setzt, dann bleibt ja [mm] 2x_{1}=-4x_{2}, [/mm] bzw. [mm] x_{1}=-2x_{2} [/mm] . Wenn ich nun [mm] x_{1} [/mm] als t definiere, kommt da t [mm] \pmat{ 1 \\ -2 \\ 0 \\ 0} [/mm]
raus... Irgendwie bau ich Mist, komm aber nicht dahinter wo...


Bezug
                        
Bezug
Nullraum der Matrix bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:59 So 04.04.2010
Autor: angela.h.b.

Hallo,

am besten postest Du mal Deine zeilenstufenform, dann kann man Dir gut zeigen, wie es geht.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Nullraum der Matrix bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:05 So 04.04.2010
Autor: Ikarus81

[mm] \vmat{ 2 & 4 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -16 } [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Nullraum der Matrix bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:28 So 04.04.2010
Autor: angela.h.b.


> [mm]\vmat{ 2 & 4 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -16 }[/mm]
>  

Hallo,

das ist aber nicht die Zeilenstufenform.

Die Zeilenstufenform ist [mm] \vmat{ \green{2} & 4 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \green{1 }\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 }. [/mm]

So kannst Du systematisch vorgehen:

die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und 4. Spalte.
Also kann man die 2. und 3. Variable frei wählen:

[mm] x_2=r [/mm]
[mm] x_3=s. [/mm]

Aus der 2.Zeile erhält man

[mm] x_4=0 [/mm]

und aus der ersten

[mm] x_1=0.5*(-4x_2-6x_3-x_4)=-2r-3s. [/mm]

Also haben die Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{-2r-3s\\r\\s\\0}=r\vektor{-2\\1\\0\\0}+s\vektor{-3\\0\\1\\0}. [/mm]

Die beiden Vektoren [mm] \vektor{-2\\1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{-3\\0\\1\\0} [/mm] sind eine Basis des Lösungsraumes.
Viele andere Basen sind denkbar, diese hier springt einem in die Arme.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                
Bezug
Nullraum der Matrix bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:48 So 04.04.2010
Autor: Ikarus81

Vielen herzlichen Dank für deine ausführliche Antwort!

Bezug
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